新高考数学二轮复习强化练习专题04 导数的基本应用（讲）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题04导数的基本应用（讲）真题体验感悟高考1．（2022·全国·高考真题（理））当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】B【分析】根据题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可解得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0即可解出．【详解】因为函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，所以依题可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0时取最大值，满足题意，即有SKIPIF1<0．故选：B.2．（2022·全国·高考真题（文））函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的最小值、最大值分别为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用导数求得SKIPIF1<0的单调区间，从而判断出SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值和最大值.【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0单调递增；在区间SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0，最大值为SKIPIF1<0.故选：D3．（2022·全国·高考真题（理））已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0结合三角函数的性质可得SKIPIF1<0;构造函数SKIPIF1<0,利用导数可得SKIPIF1<0,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选A[方法二]：不等式放缩因为当SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选A[方法三]：泰勒展开设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，计算得SKIPIF1<0，故选A.[方法四]：构造函数因为SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因为当SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式SKIPIF1<0放缩，即可得出大小关系，属于最优解．4．（2021·全国·高考真题）若过点SKIPIF1<0可以作曲线SKIPIF1<0的两条切线，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线SKIPIF1<0的图象，根据直观即可判定点SKIPIF1<0在曲线下方和SKIPIF1<0轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，所以，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意可知，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，所以，SKIPIF1<0，由题意可知，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的图象有两个交点，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线SKIPIF1<0的图象如图所示，根据直观即可判定点SKIPIF1<0在曲线下方和SKIPIF1<0轴上方时才可以作出两条切线.由此可知SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.5．（2022·全国·高考真题（文））已知函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线也是曲线SKIPIF1<0的切线．(1)若SKIPIF1<0，求a；(2)求a的取值范围．【答案】(1)3(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先由SKIPIF1<0上的切点求出切线方程，设出SKIPIF1<0上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出SKIPIF1<0即可；（2）设出SKIPIF1<0上的切点坐标，分别由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0及切点表示出切线方程，由切线重合表示出SKIPIF1<0，构造函数，求导求出函数值域，即可求得SKIPIF1<0的取值范围.（1）由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设该切线与SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，设该切线与SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.总结规律预测考向（一）规律与预测1.高考对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.2.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.3.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．4.涉及导数的几何意义、单调性、极（最）值的求参数取值范围问题，是常考题型.（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一导数的几何意义【核心知识】1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．3.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．警示:求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.【典例分析】典例1.（2022·贵州遵义·高三期中（理））若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则切点的坐标为_____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】设切点为SKIPIF1<0，求出函数的导函数，即可得到方程组，解得即可.【详解】解：设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴切点坐标为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0典例2.（2021·全国·高考真题）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则SKIPIF1<0取值范围是_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】结合导数的几何意义可得SKIPIF1<0，结合直线方程及两点间距离公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简即可得解.【详解】由题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件SKIPIF1<0，消去一个变量后，运算即可得解.典例3.（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，P是曲线SKIPIF1<0上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线SKIPIF1<0平移到与曲线SKIPIF1<0相切位置时，切点Q即为点P到直线SKIPIF1<0的距离最小.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即切点SKIPIF1<0，则切点Q到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.【总结提升】1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．一些距离类最值，可以转化为求一条直线上的点到一条曲线上的点的最小值，此时与已知直线平行的曲线的切线到已知直线的距离即为最小值.考向二利用导数的几何意义求参数【核心知识】主要涉及公切线问题、两直线位置关系问题、切点坐标、切线的斜率（切线方程）问题以及与切线相关的距离问题.【典例分析】典例4.（2022·河南·一模（理））已知曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直，则实数SKIPIF1<0的值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据导数几何意义和垂直关系可得SKIPIF1<0，解方程即可.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：A.典例5.（2021·全国·高考真题）若过点SKIPIF1<0可以作曲线SKIPIF1<0的两条切线，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线SKIPIF1<0的图象，根据直观即可判定点SKIPIF1<0在曲线下方和SKIPIF1<0轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，所以，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意可知，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，所以，SKIPIF1<0，由题意可知，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的图象有两个交点，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线SKIPIF1<0的图象如图所示，根据直观即可判定点SKIPIF1<0在曲线下方和SKIPIF1<0轴上方时才可以作出两条切线.由此可知SKIPIF1<0.故选：D.典例6.（2022·全国·高考真题）若曲线SKIPIF1<0有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】设出切点横坐标SKIPIF1<0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于SKIPIF1<0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,切线斜率SKIPIF1<0,切线方程为：SKIPIF1<0,∵切线过原点，∴SKIPIF1<0,整理得：SKIPIF1<0,∵切线有两条，∴SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<0【总结提升】利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．考向三利用导数研究函数的单调性【核心知识】导数与单调性的关系1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．【典例分析】典例7.（2022·全国·高考真题）设SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】构造函数SKIPIF1<0，导数判断其单调性，由此确定SKIPIF1<0的大小.【详解】方法一：构造法设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：C.方法二：比较法解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0【注：此类问题已连年考查】典例8.（2022·广西北海·一模（文））函数SKIPIF1<0的增区间为____________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】解不等式SKIPIF1<0即得解.【详解】由题得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故函数的增区间为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0典例9.（2021·全国·高考真题（文））设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据SKIPIF1<0及（1）的单调性性可得SKIPIF1<0，从而可求a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的图与SKIPIF1<0轴没有公共点，所以SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0轴的上方，由（1）中函数的单调性可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.【规律方法】1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0).2.利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数有：g(x)＝xf(x)，g(x)＝SKIPIF1<0，g(x)＝exf(x)，g(x)＝SKIPIF1<0，g(x)＝f(x)lnx，g(x)＝SKIPIF1<0等．3.温馨提醒：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．（2）单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认．（3）所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．考向四由函数的单调性求参数取值范围【核心知识】(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求参数的取值范围.【典例分析】典例10.（2022·上海市进才中学高三期中）已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则实数SKIPIF1<0的取值范围是__________.【答案】SKIPIF1<0.【分析】求导后得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，参变分离后得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，利用导函数求出SKIPIF1<0，从而求出实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故只需SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，其中SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.典例11.（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不单调，则SKIPIF1<0的取值范围是__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】结合函数的导数讨论单调性，确定函数在SKIPIF1<0上既有增区间又有减区间即可求解.【详解】由题可知，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，不满足题意;若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以由零点的唯一性定理可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0必定存在唯一的零点记为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递增，SKIPIF1<0时单调递减，满足题意;综上得SKIPIF1<0，故答案为:SKIPIF1<0.典例12.（2019·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】

-1;

SKIPIF1<0.【分析】首先由奇函数的定义得到关于SKIPIF1<0的恒等式，据此可得SKIPIF1<0的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.【详解】若函数SKIPIF1<0为奇函数,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.若函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函数,则SKIPIF1<0恒成立,SKIPIF1<0.即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【总结提升】1.利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.应用条件SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值范围是SKIPIF1<0不恒等于0的参数的取值范围.2.可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．3.若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．4.函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不单调，则转化为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解.5.特别提醒：（1）弄清参数对f′(x)符号的影响，分类讨论要不重不漏．（2）已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况．考向五利用导数研究函数的极值、最值【核心知识】1.导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”．2．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【典例分析】典例13.【多选题】（2022·全国·高考真题）已知函数SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0中心对称，则（

）A．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减B．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0有两个极值点C．直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的对称轴D．直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的切线【答案】AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．对A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由正弦函数SKIPIF1<0图象知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调递减；对B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由正弦函数SKIPIF1<0图象知SKIPIF1<0只有1个极值点，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为函数的唯一极值点；对C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0不是对称轴；对D，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,从而得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，切线方程为：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．故选：AD．典例14.（2019·全国·高考真题（文））已知函数SKIPIF1<0.（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）当SKIPIF1<0时，记SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)见详解；(2)SKIPIF1<0.【分析】(1)先求SKIPIF1<0的导数，再根据SKIPIF1<0的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论SKIPIF1<0的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】(1)对SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0.所以有当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0区间上单调递增，SKIPIF1<0区间上单调递减，SKIPIF1<0区间上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0区间上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0区间上单调递增，SKIPIF1<0区间上单调递减，SKIPIF1<0区间上单调递增.(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减，在区间SKIPIF1<0单调递增，所以区间SKIPIF1<0上最小值为SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0，故所以区间SKIPIF1<0上最大值为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，求导SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0单调递减.而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减，在区间SKIPIF1<0单调递增，所以区间SKIPIF1<0上最小值为SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故所以区间SKIPIF1<0上最大值为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.综上得SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.【特别提醒】1.不能忽略函数SKIPIF1<0的定义域.2.SKIPIF1<0是可导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值的必要不充分条件.3.函数的极小值不一定比极大值小.4.若函数在区间SKIPIF1<0上有唯一的极值点，则这个极值点也是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.考向六函数的极（最）值相关参数问题【核心知识】由函数极值（个数）求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．【典例分析】典例15.（2021·全国·高考真题（理））设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极大值点，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到SKIPIF1<0所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为单调函数，无极值点，不符合题意，故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两个不同零点，且在SKIPIF1<0左右附近是不变号，在SKIPIF1<0左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左右附近都是小于零的.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0成立.故选：D典例16.（2022·广东实验中学高三阶段练习）设SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0有极值点，则SKIPIF1<0取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先对函数求导，根据函数在区间有极值点，转化为导函数有零点，再由零点存在定理列出不等式求解即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单调函数，所以函数在区间SKIPIF1<0有极值点，即SKIPIF1<0，代入解得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0取值范围为SKIPIF1<0，故选：B．典例17.（2022·全国·高考真题（理））已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的极小值点和极大值点．若SKIPIF1<0，则a的取值范围是____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】法一：依题可知，方程SKIPIF1<0的两个根为SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，构造函数SKIPIF1<0，利用指数函数的图象和图象变换得到SKIPIF1<0的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0的两个根为SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0的两个根为SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，因为SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0的极小值点和极大值点，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，所以当时SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0图象在SKIPIF1<0上方当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0图象在SKIPIF1<0下方SKIPIF1<0，图象显然不符合题意，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设过原点且与函数SKIPIF1<0的图象相切的直线的切点为SKIPIF1<0，则切线的斜率为SKIPIF1<0，故切线方程为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则切线的斜率为SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导SKIPIF1<0=0的两个根为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0的极小值点和极大值点，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，此时若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，此时若有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的极小值点和极大值点，则SKIPIF1<0，不符合题意；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，此时若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时若有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的极小值点和极大值点，且SKIPIF1<0，则需满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．典例18.（2022·北京海淀·高三期中）已知函数SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极值点个数为__________；②若SKIPIF1<0恰有两个极值点，则SKIPIF1<0的取值范围是__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】①验证分段处函数值可知SKIPIF1<0为连续函数，由单调性可确定SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，由此可得极值点个数；②验证分段处函数值可知SKIPIF1<0为连续函数，根据一次函数和二次函数单调性可确定SKIPIF1<0和SKIPIF1<0必为SKIPIF1<0的两个极值点，得到SKIPIF1<0；根据二次函数的单调性，结合极值点定义可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0；由此可得SKIPIF1