专题02 二次根式【考点精讲】（原卷版）

考点02二次根式一、二次根式及相关概念1．二次根式：形如(a)的式子叫做二次根式．2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）数被开方数不含分母，被开方数不含能的因或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成后，如果相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如eq\r(8)与eq\r(2)是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．二、二次根式的性质（1）()2＝a(a≥0)．（2）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.))（3）＝·(a≥0，b≥0)．（4）(a≥0，b>0)．（5）双重非负性：二次根式⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))三、二次根式的运算1．二次根式的加减：先将各二次根式化为，然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除（1）二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)；（3）二次根式的运算结果一定要化成．3．二次根式的开方：＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))4．二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：（1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；（2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；（3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；（4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．【考点1】二次根式的概念【例1】（2022·江苏连云港）函数中自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【例3】下列各式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．牢记二次根式相关概念：1．二次根式：式子叫做二次根式.注意被开方数a只能是非负数.2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.1．（2022·湖南衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·广西桂林）化简的结果是（

）A．2 B．3 C．2 D．23．下列各式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．4．（2022·云南）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．5．（2022·四川南充）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．【考点2】二次根式的性质【例4】（2021·湖南娄底市）是某三角形三边的长，则等于（）A． B． C．10 D．41．（2022·四川凉山）化简：＝（

）A．±2 B．－2 C．4 D．22．（2022·河北·一模）已知，则代数式的值为（

）A． B． C． D．3．（2022·四川遂宁）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．【考点3】二次根式的运算【例5】（2022·山东青岛）计算的结果是（

）A． B．1 C． D．3【例6】（2022·四川宜宾）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．【例7】计算下列各题（1）；（2）（3）；（4）二次根式运算的注意事项1．在进行二次根式的运算时,一般先把二次根式化为最简二次根式,再利用二次根式的乘除法法则进行乘除运算,同类二次根式之间可以进行加减运算(类似于合并同类项).2．运算结果要化成最简形式.3．在二次根式的运算中,要注意与次的区别.①取值不同:前者的a为任意实数,后者的a为非负数;②化简结果不同:=|a|,=a.1．（2022·黑龙江哈尔滨）计算的结果是___________．2．（2022·天津）计算的结果等于___________．3．（2022·湖南衡阳）计算：＝_____．4．（2022·山西）计算的结果是________．5．（2022·重庆）估计的值应在（

）A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间6．列各式不成立的是（）A． B．C． D．7．（2022·甘肃武威）计算：．8．（2022·贵州遵义）（1）计算：（2）先化简，再求值，其中．【考点4】二次根式综合运用【例8】（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明）例如：根据以上阅读，请解决下列问题：【基础训练】（1）求的值；【能力提升】（2）设，求S的整数部分．【拓展升华】（3）已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围．1.阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）的有理化因式可以是___________，分母有理化得___________．（2）计算：①已知，，求的值；②．2.阅读下面问题：＝＝－1；1