第28章 锐角三角函数 人教版九年级数学下册学情检测卷(含答案)

第二十八章锐角三角函数学情检测卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，则sinA＝()A.eq\f(\r(7),4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(3\r(7),7)2．已知0°<θ<45°，则下列各式中正确的是()A．cosθ<eq\f(1,2)B．tanθ>1C．sinθ>cosθD．sinθ<tanθ3．若用我们数学课本上学过的科学计算器计算tan35°12′，则按键顺序正确的是()4．如图，在平行四边形ABCD中，若AB＝a，AD＝b，∠A＝α，则平行四边形ABCD的面积为()A．ab·sinαB．ab·tanαC.eq\f(ab,tanα)D.eq\f(ab,sinα)5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠CAB的值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(\r(10),10)6．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1∶eq\r(3)，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是()A．5mB．10mC．5eq\r(3)mD．8m7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝eq\r(5)，点D为边AB上一点，将△BCD沿CD折叠，使点B恰好落在边AB上的点E处．若AE＝3，则BD＝()A.eq\f(\r(5),3)B．1C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(4,3)8．已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1＋eq\r(3)，AC＝2，则∠C＝()A．45°B．75°C．90°D．105°9．如图是我国汉代数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)10．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图①所示，点A是栏杆转动的支点，点E是两段栏杆的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18m，AE＝1.2m，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)()二、填空题(本大题共3小题，共有6个空，每空3分，共18分)11.在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－cosB))2＝0，则∠C的度数是________．12．如图，点E是正方形ABCD内一点，已知∠BEC＝90°，tan∠CBE＝eq\f(1,3)，连接AE.(1)tan∠ABE＝____________；(2)若AB＝2eq\r(5)，则△ABE的面积为____________．13．如图①，把一盏台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面l垂直，底座的高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．(1)如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，此时∠ABC＝143°，则连杆端点D距桌面l的高度DE≈________cm；(2)在图②的基础上继续转动连杆CD，使得∠BCD＝164°，如图③，此时∠CDE＝________°，连杆端点D距桌面l的高度DE相比图②中的DE减小了约________cm.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)三、解答题(本大题共4小题，共42分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14.(10分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2).(1)求AC的长度；(2)求△ABC的面积．(结果保留根号)15．(10分)无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P与地面上点A之间的距离为80米，从点P处观察点A处的俯角为60°，观察大楼顶点C处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC.(结果保留根号)16．(10分)如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在小南家A的正东方向．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600米至快递站C取快递．下午第一节网课是美术课，小南拿到快递时距离正式上课只有7分钟了，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)(1)求快递站C与超市B的距离；(结果精确到个位)(2)若小南的步行速度为80米/分，则他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略小南买素描画纸的时间)17．(12分)如图①，在四边形ABCD中，∠ABE＝∠ECD＝90°，点E是BC上一点且∠AED＝90°.(1)求证：AB·CD＝BE·CE；(2)已知eq\f(BE,AB)＝eq\f(1,2).(ⅰ)如图②，若点E是BC的中点，求tan∠DAE的值；(ⅱ)如图③，AD与BC的延长线交于点F，若∠BAE＝∠F，其他条件不变，求sin∠EAF的值．

答案一、选择题答案速查12345678910BDDABBBBDA二、填空题11．120°12.(1)3(2)913.(1)37(2)53；4三、解答题14．解：(1)过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，cosB＝eq\f(BD,BC)，∴BD＝BC·cos45°＝3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝3.∵∠DCB＝90°－45°＝45°＝∠B，∴CD＝BD＝3.在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴AC＝2CD＝6.(2)由(1)知，在Rt△ACD中，AC＝6，CD＝3，∴AD＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).∴AB＝AD＋BD＝3eq\r(3)＋3.∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(9\r(3)＋9,2).15．解：如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点C作CQ⊥PH于点Q，易知CB⊥AB，则四边形CQHB是矩形，∴HQ＝BC.BH＝CQ.由题意，可得AP＝80米，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70米．∴在Rt△APH中，PH＝AP·sin60°＝80×eq\f(\r(3),2)＝40eq\r(3)(米)，AH＝AP·cos60°＝40米．∴CQ＝BH＝AB－AH＝70－40＝30(米)．∴在Rt△PCQ中，PQ＝CQ·tan30°＝10eq\r(3)米．∴BC＝HQ＝PH－PQ＝40eq\r(3)－10eq\r(3)＝30eq\r(3)(米)．∴大楼的高度BC为30eq\r(3)米．16．解：(1)过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠CDB＝90°.由题意可知，AC＝600米，∠CAD＝90°－60°＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×600＝300(米)．∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形．∴BD＝CD＝300米．∴BC＝300eq\r(2)≈300×1.414＝424.2≈424(米)．答：快递站C与超市B的距离约为424米．(2)小南上美术网课会迟到，理由如下：在Rt△ACD中，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴AD＝eq\r(3)CD＝300eq\r(3)米．∴AB＝AD－BD＝300eq\r(3)－300≈219.6(米)．∴BC＋AB≈424＋219.6≈644(米)．∵644÷80＝8.05(分钟)＞7分钟，∴小南上美术网课会迟到．17．(1)证明：∵∠AED＝∠ECD＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝∠EDC＋∠DEC＝90°.∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠ABE＝∠ECD＝90°，∴△ABE∽△ECD.∴eq\f(AB,EC)＝eq\f(BE,CD).∴AB·CD＝BE·CE.(2)解：(ⅰ)∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.由(1)知△ABE∽△ECD，∴eq\f(DE,AE)＝eq\f(CE,AB)＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(1,2).∴tan∠DAE＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(1,2).(ⅱ)∵∠BAE＝∠F，∴tan∠BAE＝tanF.∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(AB,BF)＝eq\f(1,2).设BE＝x，则AB＝2x，BF＝4x，∴EF＝BF－BE＝4x－x＝3x.由(1)知△ABE∽△ECD，∴∠BAE＝∠CED，eq\f(DE,AE)＝eq\f(EC,AB).∴∠CED＝∠F.∴D