新高考数学二轮复习专题3-1三角函数图像与性质（解析版）

专题3-1三角函数图像与性质目录TOC\o"1-1"\h\u题型01三角函数单调性 1题型02求周期 3题型03非同名函数平移 6题型04对称轴最值应用 8题型05对称中心最值应用 11题型06辅助角最值 14题型07正余弦换元型最值 17题型08一元二次型换元最值 20题型09分式型最值 21题型10最值型综合 23题型11恒等变形：求角 25题型12恒等变形：拆角求值（分式型） 27题型13恒等变形：拆角求值（复合型） 29题型14恒等变形：拆角求值（正切型对偶） 31高考练场 33题型01三角函数单调性【解题攻略】A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.ωω决定了函数的周期T＝SKIPIF1<0.（2）图象的变换（1）振幅变换要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．（2）平移变换要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．（3）周期变换要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的SKIPIF1<0_倍（纵坐标不变）即可得到．【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都单调递增的一个区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.【详解】当SKIPIF1<0从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0从0递减到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递增到1，所以SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递减到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递减到SKIPIF1<0，A错误；当SKIPIF1<0从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递减到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从1递减到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递增到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递减到SKIPIF1<0，B错误；当SKIPIF1<0从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递减到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递减到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递增到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递减到SKIPIF1<0，C错误；当SKIPIF1<0从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0从-1递增到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递减到0，所以SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递增到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0递增到SKIPIF1<0，D正确；故选：D【典例1-2】已知函数SKIPIF1<0，则f（x）（

）A．在（0，SKIPIF1<0）单调递减 B．在（0，π）单调递增C．在（—SKIPIF1<0，0）单调递减 D．在（—SKIPIF1<0，0）单调递增【答案】D【分析】先用诱导公式化简得到SKIPIF1<0，再将选项代入检验，求出正确答案.【详解】SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不单调，AB错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故D正确故选：D【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数SKIPIF1<0的单调递增区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.【详解】设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，取SKIPIF1<0单调增的部分，所以可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0答案：A.【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数SKIPIF1<0在下列某个区间上单调递增，这个区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由二倍角公式结合辅助角公式化简可得SKIPIF1<0的表达式，求出其单调增区间，结合选项，即可判断出答案.【详解】∵SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增.故选：A【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.【详解】若函数SKIPIF1<0区间SKIPIF1<0上单调递增，则令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0是区间，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件,故选：A..题型02求周期【解题攻略】求周期方法直接法：形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acos（ωx＋φ）函数的周期T＝SKIPIF1<0.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝SKIPIF1<0观察法：形如

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值3.恒等变形转化法。4.定义证明法【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小正周期（

）A．与SKIPIF1<0有关，且与SKIPIF1<0有关 B．与SKIPIF1<0有关，但与SKIPIF1<0无关C．与SKIPIF1<0无关，且与SKIPIF1<0无关 D．与SKIPIF1<0无关，但与SKIPIF1<0有关【答案】D【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数这一结论，解答即可.【详解】SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，其最小正周期为SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，其最小正周期为SKIPIF1<0，所以对于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期都为SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，其最小正周期为SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，其最小正周期为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，其最小正周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期与SKIPIF1<0无关，但与SKIPIF1<0有关.故选：D.【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为SKIPIF1<0的个数是（

）SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.【详解】画出函数SKIPIF1<0的图象如图所示：

由图可知函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，满足题意；对于SKIPIF1<0而言，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的最小正周期不是SKIPIF1<0，不满足题意；对于SKIPIF1<0而言，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的最小正周期不是SKIPIF1<0，不满足题意；对于SKIPIF1<0而言，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的最小正周期不是SKIPIF1<0，不满足题意；综上所述，满足题意的函数的个数有1个.故选：A.【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是SKIPIF1<0的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】确定SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.【详解】对选项A：SKIPIF1<0，函数定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数为偶函数，排除；对选项B：SKIPIF1<0，函数定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数为偶函数，排除；对选项C：SKIPIF1<0，函数定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数为偶函数，排除；对选项D：SKIPIF1<0，函数定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数为奇函数，SKIPIF1<0，满足条件；故选：D.【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为R，则“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为周期函数”是“SKIPIF1<0为周期函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期.SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为周期函数，但SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为周期函数不正确，故不是必要条件；因此为不充分不必要条件.故选：D【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0中，最小正周期为π的函数有（）A．①③ B．①④C．③④ D．②③【答案】D【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，SKIPIF1<0，最小值周期为SKIPIF1<0；②由翻折变换可知，函数SKIPIF1<0的图象如图：由图知SKIPIF1<0的最小值周期为SKIPIF1<0；③由周期公式得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值周期为SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的最小值周期为SKIPIF1<0.故选：D题型03非同名函数平移【解题攻略】平移变换：1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；2.正到余，余到正：方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重点）【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数SKIPIF1<0的图象，只需将函数SKIPIF1<0的图象（

）A．先向右平移SKIPIF1<0个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移SKIPIF1<0个单位长度，再向上平移1个单位长度C．先向右平移SKIPIF1<0个单位长度，再向下平移1个单位长度D．先向左平移SKIPIF1<0个单位长度，再向上平移1个单位长度【答案】B【解析】根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可判断.【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0先向左平移SKIPIF1<0个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到SKIPIF1<0的图象.故选：B.【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数SKIPIF1<0的图象，只需将函数SKIPIF1<0的图象（

）A．向左平移SKIPIF1<0个单位长度 B．向右平移SKIPIF1<0个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【答案】C【分析】把SKIPIF1<0化成SKIPIF1<0可得平移的发现及其长度.【详解】因为SKIPIF1<0，所以要得到函数SKIPIF1<0的图象，只需把函数SKIPIF1<0的图象上所有的点向左平移1个单位长度.故选：C.【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数SKIPIF1<0的图象，只需将函数SKIPIF1<0的图象（

）A．向左平移SKIPIF1<0个单位 B．向右平移SKIPIF1<0个单位C．向左平移SKIPIF1<0个单位 D．向右平栘SKIPIF1<0个单位【答案】C【解析】由题意利用函数SKIPIF1<0的图象变换规律，得出结论．【详解】解：要得到函数SKIPIF1<0的图象，只需将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位即可，故选：C．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数SKIPIF1<0的图象，只需将函数SKIPIF1<0图象上所有的点（

）A．向左平移SKIPIF1<0个单位长度 B．向右平移SKIPIF1<0个单位长度C．向左平移SKIPIF1<0个单位长度 D．向右平移SKIPIF1<0个单位长度【答案】D【分析】先得到SKIPIF1<0，再利用平移变换求解.【详解】解：因为SKIPIF1<0，将其图象上所有的点向右平移SKIPIF1<0个单位长度，得到函数SKIPIF1<0的图象.A，B，C都不满足.故选：D【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，为了得到函数SKIPIF1<0的图象只需将y=f（x）的图象（

）A．向右平移SKIPIF1<0个单位 B．向右平移SKIPIF1<0个单位C．向左平移SKIPIF1<0个单位 D．向左平移SKIPIF1<0个单位【答案】C【分析】根据诱导公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可得到平移方法.【详解】函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以为了得到函数SKIPIF1<0的图象只需将y=f（x）的图象向左平移SKIPIF1<0个单位.故选：C题型04对称轴最值应用【解题攻略】正余弦对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值SKIPIF1<0【典例1-1】已知函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0，使得对任意实数SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高三上学期数学试题【答案】B【分析】结合三角恒等变换求得SKIPIF1<0的最大值和最小值，并求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0.依题意，存在实数SKIPIF1<0，使得对任意实数SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是整数，SKIPIF1<0为奇数，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度得到SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一条对称轴，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用三角函数对称性列方程求解即可．【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条对称轴，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为SKIPIF1<0【变式1-1】已知把函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先化简函数SKIPIF1<0，然后根据图像的变换得函数SKIPIF1<0的解析式，通过判断得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同时令SKIPIF1<0取得最大值或最小值时，SKIPIF1<0，再结合函数SKIPIF1<0的图像，即可求得SKIPIF1<0的最大值.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．将图象向右平移至SKIPIF1<0个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同时令SKIPIF1<0取得最大值或最小值时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据函数的图象可知SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0个周期的长度，即SKIPIF1<0故选：C.【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数SKIPIF1<0的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的SKIPIF1<0，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据三角函数平移变换,先求得SKIPIF1<0的解析式.根据SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.根据SKIPIF1<0可分别求得SKIPIF1<0的最大值和SKIPIF1<0的最小值,即可求得SKIPIF1<0的最大值.【详解】根据平移变换将函数SKIPIF1<0的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的SKIPIF1<0,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,可得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0故选:A【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个单位长度后得到函数SKIPIF1<0的图象，若使SKIPIF1<0成立的a、b有SKIPIF1<0，则下列直线中可以是函数SKIPIF1<0图象的对称轴的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据三角函数平移关系求出SKIPIF1<0的解析式，结合SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的关系，结合最小值建立方程求出SKIPIF1<0的值即可.解：将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个单位长度后得到函数SKIPIF1<0的图象，

即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），

即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，

当SKIPIF1<0时，对称轴方程为SKIPIF1<0.故选：D.题型05对称中心最值应用【解题攻略】正余弦对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的两条相邻对称轴之间的距离为SKIPIF1<0，则下列点的坐标为SKIPIF1<0的对称中心的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为SKIPIF1<0，由此可求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0解析式；利用正弦型函数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.【详解】SKIPIF1<0两条相邻对称轴之间的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小正周期SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称中心为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的一个对称中心为SKIPIF1<0.故选：C.【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其图象的一个最低点是SKIPIF1<0，距离SKIPIF1<0点最近的对称中心为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象的一条对称轴C．SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增D．SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位后得到SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0【答案】C【分析】由函数的图像的顶点坐标求出SKIPIF1<0，由周期求出SKIPIF1<0，由最低点求出SKIPIF1<0的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．【详解】解：SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象的一个最低点是SKIPIF1<0，距离SKIPIF1<0点最近的对称中心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0，故A错误；SKIPIF1<0，故函数关于SKIPIF1<0对称，故B错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，故C正确；把SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位后得到SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，故D错误，故选：C【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数SKIPIF1<0的图象，且SKIPIF1<0的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为SKIPIF1<0，对于函数SKIPIF1<0有以下几个结论：（1）SKIPIF1<0；（2）它的图象关于直线SKIPIF1<0对称；（3）它的图象关于点SKIPIF1<0对称；（4）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；则上述结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先根据图像平移的性质求出SKIPIF1<0的函数解析式，逐项代入分析即可.【详解】解：由题意得：SKIPIF1<0，向左平移SKIPIF1<0个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数SKIPIF1<0.对于选项A：由SKIPIF1<0的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为SKIPIF1<0，最小正周期SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以（1）错误；当SKIPIF1<0时，代入SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，故图像的一条对称轴是SKIPIF1<0，故（2）正确；当SKIPIF1<0时，代入SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，故图像的一个对称点是SKIPIF1<0，故（3）正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的取值范围是SKIPIF1<0，故（4）正确；由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为SKIPIF1<0个.故选：C【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数SKIPIF1<0的图象分别向左、向右各平移SKIPIF1<0个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．6【答案】A【分析】根据三角函数的图象变换求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的对称中心重合，得到SKIPIF1<0，即可求解.【详解】解：将函数SKIPIF1<0的图象分别向左平移SKIPIF1<0个单位长度后，可得SKIPIF1<0将函数SKIPIF1<0的图象分别向右各平移SKIPIF1<0个单位长度后，可得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的对称中心重合，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知SKIPIF1<0的一个对称中心为SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0的图像向右平移SKIPIF1<0个单位后，可以得到偶函数SKIPIF1<0的图象，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得到SKIPIF1<0的解析式，结合函数的奇偶性，求出SKIPIF1<0的取值，从而计算可得；【详解】解：因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即函数的对称中心坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0的图像向右平移SKIPIF1<0个单位得到SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；故选：D题型06辅助角最值【解题攻略】SKIPIF1<0辅助角范围满足：SKIPIF1<0【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0可得出不等式SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，化简得出SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两种情况讨论，结合SKIPIF1<0可求得实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由题意可知，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C.【典例1-2】已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】化简得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再结合三角函数的性质可求解.【详解】由题意得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【变式1-1】.已知函数SKIPIF1<0，周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0处取得最大值，则使得不等式SKIPIF1<0恒成立的实数SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得SKIPIF1<0，①，再根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，②，通过①②求出SKIPIF1<0的值，再根据三角函数的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，根据不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，即可求出答案．【详解】SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0处取得最大值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），由①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0最小，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，故选：B【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取到最大值，则SKIPIF1<0是（）A．奇函数，在SKIPIF1<0时取到最小值； B．偶函数，在SKIPIF1<0时取到最小值；C．奇函数，在SKIPIF1<0时取到最小值； D．偶函数，在SKIPIF1<0时取到最小值；【答案】B【分析】由辅助角公式可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0时SKIPIF1<0有最大值可得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，再根据奇偶性并计算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可得答案.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，故选：B.【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．【答案】4【分析】化简SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等实根，转化为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等实根，故SKIPIF1<0，即可得出答案．【详解】SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，+SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等实根，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等实根，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恒成立．由②得SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：4题型07正余弦换元型最值【解题攻略】SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在同一函数中一般可设SKIPIF1<0进行换元．换元时注意新元的取值范围．SKIPIF1<0之间的互化关系1.SKIPIF1<02.SKIPIF1<0【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域为．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用换元法，令SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，再利用函数的单调性即可求解.【详解】由SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又对勾函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合对勾函数的图象，如下：所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数的值域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数SKIPIF1<0的值域为．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用SKIPIF1<0通过换元将原函数转化为含未知量SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，再解出函数SKIPIF1<0的值域即为函数SKIPIF1<0的值域.【详解】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【变式1-1】已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<