2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质1.4.4单位圆的对称性与诱导公式学案含解析北师大版必修4

PAGE4．3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4单位圆的对称性与诱导公式学问点一正弦线与利用单位圆看y＝sinx性质[填一填]1．依据单位圆理解正弦函数y＝sinx的性质(1)定义域是全体实数；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；(3)它是周期函数，其最小正周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性：在[0，eq\f(π,2)]上是增加的；在[eq\f(π,2)，π]上是削减的；在[π，eq\f(3π,2)]上是削减的；在[eq\f(3π,2)，2π]上是增加的．2．正弦线如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.线段MP叫作角α的正弦线．当角α的终边在x轴上时，M与P重合，此时正弦线变成一个点．[答一答]1．正弦线的长度等于y＝sinx的函数值吗？提示：不等于，正弦线的长度等于y＝sinx的函数值的肯定值．学问点二余弦线与利用单位圆看y＝cosx性质[填一填]3．依据单位圆理解余弦函数y＝cosx性质(1)定义域是全体实数；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；(3)它是周期函数，其最小正周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性：在[0，eq\f(π,2)]上是削减的；在[eq\f(π,2)，π]上是削减的；在[π，eq\f(3,2)π]上是增加的；在[eq\f(3,2)π，2π]上是增加的．4．余弦线如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.线段OM叫做α的余弦线．与角α的终边在y轴上时，M与O重合，此时余弦线变成一个点．[答一答]2．余弦线的长度等于y＝cosx的函数值吗？提示：不等于，余弦线的长度等于y＝cosx的函数值的肯定值．学问点三诱导公式[填一填]5．诱导公式(函数名称不变)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα.sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα.sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα.sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα.文字概括：－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．6．诱导公式(函数名称变更)sin(eq\f(π,2)＋α)＝cosα，cos(eq\f(π,2)＋α)＝－sinα.sin(eq\f(π,2)－α)＝cosα，cos(eq\f(π,2)－α)＝sinα.文字概括：eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[答一答]3．怎样记忆七组诱导公式？提示：这七组诱导公式可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k的奇偶性．例如，sin(eq\f(11π,2)＋α)，因为eq\f(11π,2)中的k＝11是奇数，且把α看成锐角时，eq\f(11π,2)＋α是第四象限角，第四象限角的正弦函数值是负数，所以sin(eq\f(11π,2)＋α)＝－cosα.1．诱导公式的实质诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．2．解读诱导公式(－α)(1)主要应用是把负角转化为正角，这也是我们在化简角时常用的一个策略．(2)角α与角－α关于x轴对称．3．解读诱导公式(2π－α)(1)由三角函数的定义知，三角函数值由角终边的位置确定，故终边相同的角肯定有相同的三角函数值．(2)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，体现了三角函数特有的“周而复始”的变更规律．4．解读诱导公式(π＋α，π－α)(1)角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)两角的终边在同一条直线上，关于原点对称，故两角的正弦值与余弦值分别是互为相反数的．(2)可以把随意角的三角函数求值问题进一步缩小为[0，eq\f(π,2)]内的角的三角函数求值问题．5．解读诱导公式(eq\f(π,2)＋α，eq\f(π,2)－α)诱导公式(eq\f(π,2)＋α，eq\f(π,2)－α)不同于前面的四个诱导公式，缘由是等号左右两边的函数名称发生了变更，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变．类型一正、余弦函数的定义域、值域、最值【例1】(1)函数y＝sineq\f(x,3)的定义域是()A．R B．[－1,1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D．[－3,3](2)函数y＝2cosx＋eq\f(1,2)的值域是()A．[－1,1] B．[－2,2]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))) D．R【解析】(1)∵y＝sinx的定义域是R，即eq\f(x,3)∈R，∴x∈R.(2)由y＝cosx的值域是[－1,1]，得－2≤2cosx≤2，∴－eq\f(3,2)≤2cosx＋eq\f(1,2)≤eq\f(5,2).∴该函数的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))).【答案】(1)A(2)C(1)函数y＝eq\f(1,sinx－1)的定义域是{x|x∈R，且x≠2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．(2)函数y＝2cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))的最大值是1；最小值是－1.解析：(1)∵sinx≠1，∴函数定义域为{x|x∈R，且x≠2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))时，cosx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，∴y＝2cosx的最大值是1，最小值为－1.类型二正、余弦函数的单调性【例2】函数y＝－eq\f(2,3)cosx，x∈(0,2π)，其单调性是()A．在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是削减的B．在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上是增加的，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是削减的C．在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是削减的D．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是增加的，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上是削减的【解析】∵y＝cosx在(0，π)是单调递减函数，在[π，2π)上是单调递增函数．∴y＝－eq\f(2,3)cosx在(0，π)是单调递增函数，在[π，2π)上是单调递减函数，A成立．【答案】A规律方法函数y＝Asinx＋B或y＝Acosx＋B型函数的单调性经常利用y＝sinx与y＝cosx的单调性解决．但要留意A>0，A<0状况的探讨．函数y＝eq\r(3)sinx的定义域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，值域是[a，b]，则b－a＝eq\f(\r(3),2).解析：y＝eq\r(3)sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上是减函数，所以y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3))).所以b＝eq\r(3)，a＝eq\f(\r(3),2)，b－a＝eq\f(\r(3),2).类型三利用诱导公式求值【例3】(1)求sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)的值；(2)计算：coseq\f(π,7)＋coseq\f(2π,7)＋coseq\f(3π,7)＋coseq\f(4π,7)＋coseq\f(5π,7)＋coseq\f(6π,7).【思路探究】(1)留意视察角，将角化为360°·k＋α，180°±α，360°－α等形式后，再利用诱导公式求解．(2)依据两互补角的余弦值互为相反数求解．【解】(1)原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.(2)原式＝(coseq\f(π,7)＋coseq\f(6π,7))＋(coseq\f(2π,7)＋coseq\f(5π,7))＋(coseq\f(3π,7)＋coseq\f(4π,7))＝[coseq\f(π,7)＋cos(π－eq\f(π,7))]＋[coseq\f(2π,7)＋cos(π－eq\f(2π,7))]＋[coseq\f(3π,7)＋cos(π－eq\f(3π,7))]＝(coseq\f(π,7)－coseq\f(π,7))＋(coseq\f(2π,7)－coseq\f(2π,7))＋(coseq\f(3π,7)－coseq\f(3π,7))＝0.规律方法本题第(1)问主要考查诱导公式，可先将负角化为正角，再化为0°～360°的角，最终化为锐角求值．对本题第(2)问进行推广，可以得到下面规律：coseq\f(π,n)＋coseq\f(2π,n)＋…＋coseq\f(n－2π,n)＋coseq\f(n－1π,n)＝[coseq\f(π,n)＋coseq\f(n－1π,n)]＋[coseq\f(2π,n)＋coseq\f(n－2π,n)]＋…＝0(n∈N＋)．求coseq\f(7,3)π＋sineq\f(7,4)π－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,6)π))的值．解：coseq\f(7,3)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).sineq\f(7,4)π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,6)π))＝coseq\f(17π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(5π,6)))＝coseq\f(5π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).所以coseq\f(7,3)π＋sineq\f(7,4)π－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,6)π))＝eq\f(1＋\r(3)－\r(2),2).类型四利用诱导公式进行化简【例4】设k为整数，化简：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).【思路探究】求解本题时，可以将整数k分为奇数、偶数两种状况进行探讨；也可以依据(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ并结合诱导公式将题目中的角均转化为kπ＋α；也可以干脆利用公式进行化简．【解】方法1：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝eq\f(sin2mπ－αcos[2m－1π－α],sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α)＝eq\f(sin－αcosπ＋α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1.当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则原式＝eq\f(sin[2m＋1π－α]cos2mπ－α,sin[2m＋2π＋α]cos[2m＋1π＋α])＝eq\f(sinπ－αcos－α,sinαcosπ＋α)＝eq\f(sinαcosα,sinα－cosα)＝－1.综上可得，原式＝－1.方法2：由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)．又sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，故原式＝eq\f(－sinkπ＋α[－coskπ＋α],[－sinkπ＋α]coskπ＋α)＝－1.方法3：原式＝eq\f(－1k－1sinα·－1k－1cosα,－1k＋1sinα·－1kcosα)＝－1.规律方法三角函数式的化简是对式子进行某种变形以清楚地显示式子中全部项之间的关系，其变形过程就是统一角、统一函数名称的过程，所以对式子变形时，一方面要留意角与角之间的关系，另一方面要依据不同的变形目的，对公式进行合理选择．化简的基本要求是：(1)能求出值的求出值；(2)使三角函数名称尽量少；(3)使项数尽量少；(4)使次数尽量低；(5)使分母尽量不含三角函数；(6)使被开方数(式)尽量不含三角函数．化简：eq\f(sinθ－5π,cos3π－θ)·eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),sinθ－3π)·eq\f(cos8π－θ,sin－θ－4π).解：原式＝eq\f(－sin5π－θ,cosπ－θ)·eq\f(sinθ,－sin3π－θ)·eq\f(cosθ,－sin4π＋θ)＝eq\f(－sinπ－θ,－cosθ)·eq\f(sinθ,－sinπ－θ)·eq\f(cosθ,－sinθ)＝eq\f(－sinθ,－cosθ)·eq\f(sinθ,－sinθ)·eq\f(cosθ,－sinθ)＝1.——易错警示——应用诱导公式时忽视对参数的探讨致误【例5】化简：eq\f(sinα＋nπ＋sinα－nπ,sinα＋nπcosα－nπ)(n∈Z)＝________.【错解】eq\f(2,cosα)(或－eq\f(2,cosα))【正解】当n为偶数时①，设n＝2k，k∈Z，原式＝eq\f(sinα＋2kπ＋sinα－2kπ,sinα＋2kπcosα－2kπ)＝eq\f(2,cosα)；当n为奇数时②，设n＝2k＋1，k∈Z，原式＝eq\f(sin[α＋2k＋1π]＋sin[α－2k＋1π],sin[α＋2k＋1π]cos[α－2k＋1π])＝－eq\f(2,cosα).【错解分析】忽视①②处对n为奇数或n为偶数的探讨，只作为一种状况求解，而导致答案错误．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosα)，n为偶数，,－\f(2,cosα)，n为奇数))【防范措施】分类探讨意识在处理含参数的式子时，经常要对参数进行探讨，有时是对参数的正负的探讨，有时是对参数的奇偶的探讨，要视题目而定，如本例中，因诱导公式中角α＋2kπ与角α＋(2k＋1)π的公式不同，所以要对n的奇偶分状况探讨．化简：sin(eq\f(4n－1,4)π－α)＋cos(eq\f(4n＋1,4)π－α)(n∈Z)．解：方法1：当n为偶数时，设n＝2k，k∈Z，原式＝sin[2kπ－(eq\f(π,4)＋α)]＋cos[2kπ＋(eq\f(π,4)－α)]＝sin[－(eq\f(π,4)＋α)]＋cos(eq\f(π,4)－α)＝－sin(eq\f(π,4)＋α)＋cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)＋α)]＝－sin(eq\f(π,4)＋α)＋sin(eq\f(π,4)＋α)＝0；当n为奇数时，设n＝2k＋1，k∈Z，原式＝sin[(2k＋1)π－(eq\f(π,4)＋α)]＋cos[(2k＋1)π＋(eq\f(π,4)－α)]＝sin(eq\f(π,2)＋eq\f(π,4)－α)＋cos(π＋eq\f(π,4)－α)＝cos(eq\f(π,4)－α)－cos(eq\f(π,4)－α)＝0.综上可知，原式＝0.方法2：因为eq\f(4n＋1,4)π－α＝eq\f(π,2)＋(eq\f(4n－1,4)π－α)，所以sin(eq\f(4n－1,4)π－α)＋cos(eq\f(4n＋1,4)π－α)＝sin(eq\f(4n－1,4)π－α)＋cos[eq\f(π,2)＋(eq\f(4n－1,4)π－α)]＝sin(eq\f(4n－1,4)π－α)－sin(eq\f(4n－1,4)π－α)＝0.方法3：原式＝sin[nπ－(eq\f(π,4)＋α)]＋cos[nπ＋(eq\f(π,4)－α)]＝(－1)n－1sin(eq\f(π,4)＋α)＋(－1)ncos(eq\f(π,4)－α)＝(－1)n－1sin(eq\f(π,4)＋α)＋(－1)ncos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)＋α)]＝(－1)n－1·sin(eq\f(π,4)＋α)＋(－1)nsin(eq\f(π,4)＋α)＝0.一、选择题1．函数y＝2cosx＋1的最小正周期为(C)A．π B．2π＋1C．2π D.eq\f(π,2)解析：函数y＝2cosx＋1的最小