《9 利用位似放缩图形》（同步训练）初中数学八年级下册-鲁教版-2024-2025学年

《9利用位似放缩图形》同步训练(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、已知两个相似三角形，它们的对应边长分别为3cm和5cm，那么较小的三角形的高是较大的三角形高的（）A.0.6倍B.0.8倍C.1.5倍D.2.5倍2、在位似变换中，若位似比为2，一个正方形的边长为6cm，那么位似后的正方形的边长为（）A.12cmB.18cmC.24cmD.36cm3、在位似变换中，若一个图形经过位似变换后，其对应边的比为2:1，那么这个图形的相似比为：A.2:1B.1:2C.1:4D.4:14、在位似图形中，如果位似中心为点O，位似比为k，那么下列哪个说法是正确的？A.相似图形的所有对应点都在直线OO’上B.相似图形的所有对应线段都平行于直线OO’C.相似图形的所有对应角都相等D.相似图形的所有对应线段都垂直于直线OO’5、在位似变换中，若两个相似图形的位似比为2:3，那么这两个图形的面积比是（）A.4:9B.6:9C.4:9D.6:46、下列关于位似图形的说法正确的是（）A.位似图形一定是相似图形B.相似图形不一定是位似图形C.位似图形和相似图形是同一概念D.位似图形和相似图形没有关系7、在位似变换中，如果两个图形的位似比是2：1，那么一个图形的周长与另一个图形的周长的比例是：A.1：2B.2：1C.4：1D.1：48、在位似图形中，如果两个图形的位似中心是点O，位似比是k，那么以下哪个说法是正确的？A.任意一点A到O的距离与对应点A’到O的距离之比是1：kB.任意一点A到O的距离与对应点A’到O的距离之比是k：1C.任意一点A到O的距离与对应点A’到O的距离之比是1：k^2D.任意一点A到O的距离与对应点A’到O的距离之比是k^2：19、在位似变换中，若原图形ABC与位似图形A’B’C’的位似比为2:1，且点A的坐标为（2，3），则点A’的坐标为（）。A.（4，6）B.（1，1.5）C.（-4，-6）D.（-1，-1.5）10、若两个图形经过位似变换后，对应的边长比为k，则这两个图形的面积比为（）。A.k^2B.kC.1/kD.1/k^2二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：已知三角形ABC中，点D是边AC上的一点，点E是边AB上的一点，且AD：DC=2：3，BE：EA=3：2。若三角形ABC的边长AB=6cm，求三角形ABD和三角形ACE的面积比。第二题：在平面直角坐标系中，点A(2,3)关于点P(1,2)的对称点为B，若三角形APB是一个位似三角形，位似中心为点P，且位似比为2，求点B的坐标。第三题：已知一个位似图形，位似比为2:1，若原图形的面积为36平方厘米，求位似图形的面积。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知三角形ABC的边长分别为AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm。若将三角形ABC按比例2：1放大，求放大后三角形A’B’C’的各边长。第二题：已知两个位似图形ABC和A’B’C’，其中对应点A和A’的坐标分别为（2，3）和（4，6），位似比为2：1。求位似图形BC和A’B’C’的对应点B和B’的坐标。若将位似图形ABC沿y轴平移，使得位似图形A’B’C’与原图形ABC完全重合，求平移的距离。第三题：已知正三角形ABC的边长为6cm，D是BC边上的一个点，且BD：DC=2：1。点E在BC边上，满足AE是三角形ABC的位似图形，且位似比为2：1，点F是AE与BC的交点。求三角形DEF的边长。第四题：已知一个位似图形，其位似比为2：1，若原图形的长方形的长为6cm，宽为4cm，求位似图形的长和宽。第五题：已知一个正三角形ABC，其边长为6cm。现要将三角形ABC通过位似变换，使其边长变为原来的1/3。（1）求位似变换的比例因子；（2）求变换后的三角形A’B’C’的边长；（3）求变换前后三角形ABC和A’B’C’的面积比。第六题：已知正方形ABCD的边长为8厘米，点E是CD边上的一个点，且CE=4厘米。若点F是CD的延长线上一点，使得四边形ABEF为位似图形，位似比为2：1，求EF的长度。第七题：已知直角坐标系中，点A（2，3）关于点O（0，0）成位似图形A’，位似比为2：1，求点A’的坐标。《9利用位似放缩图形》同步训练及答案解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、已知两个相似三角形，它们的对应边长分别为3cm和5cm，那么较小的三角形的高是较大的三角形高的（）A.0.6倍B.0.8倍C.1.5倍D.2.5倍答案：A解析：相似三角形的对应边长成比例，所以较小的三角形的高与较大的三角形的高之比等于对应边长之比，即3:5。因此，较小的三角形的高是较大的三角形高的3/5，计算得0.6倍。选项A正确。2、在位似变换中，若位似比为2，一个正方形的边长为6cm，那么位似后的正方形的边长为（）A.12cmB.18cmC.24cmD.36cm答案：A解析：位似变换中，相似图形的对应边长之比等于位似比。位似比为2，原正方形边长为6cm，所以位似后的正方形边长为6cm乘以位似比2，即12cm。选项A正确。3、在位似变换中，若一个图形经过位似变换后，其对应边的比为2:1，那么这个图形的相似比为：A.2:1B.1:2C.1:4D.4:1答案：A解析：位似变换中，对应边的比就是相似比。所以，如果对应边的比为2:1，那么相似比也是2:1。4、在位似图形中，如果位似中心为点O，位似比为k，那么下列哪个说法是正确的？A.相似图形的所有对应点都在直线OO’上B.相似图形的所有对应线段都平行于直线OO’C.相似图形的所有对应角都相等D.相似图形的所有对应线段都垂直于直线OO’答案：A解析：在位似图形中，位似中心O和对应点O’是相似图形中所有对应点所在的直线。因此，所有对应点都在直线OO’上。而相似图形的所有对应线段不一定平行或垂直于直线OO’，对应角也不一定相等。5、在位似变换中，若两个相似图形的位似比为2:3，那么这两个图形的面积比是（）A.4:9B.6:9C.4:9D.6:4答案：A解析：位似变换中，两个相似图形的面积比等于它们相似比的平方。因此，若位似比为2:3，则面积比为2²:3²，即4:9。6、下列关于位似图形的说法正确的是（）A.位似图形一定是相似图形B.相似图形不一定是位似图形C.位似图形和相似图形是同一概念D.位似图形和相似图形没有关系答案：A解析：位似图形是相似图形的一种特殊形式，它们具有相同的形状但可能不同的大小。因此，位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，因为相似图形可能没有满足位似的条件（如相同的角度）。选项A正确。7、在位似变换中，如果两个图形的位似比是2：1，那么一个图形的周长与另一个图形的周长的比例是：A.1：2B.2：1C.4：1D.1：4答案：B解析：位似变换中，两个图形的周长之比等于它们的位似比。因此，如果位似比是2：1，那么周长之比也是2：1。8、在位似图形中，如果两个图形的位似中心是点O，位似比是k，那么以下哪个说法是正确的？A.任意一点A到O的距离与对应点A’到O的距离之比是1：kB.任意一点A到O的距离与对应点A’到O的距离之比是k：1C.任意一点A到O的距离与对应点A’到O的距离之比是1：k^2D.任意一点A到O的距离与对应点A’到O的距离之比是k^2：1答案：A解析：在位似变换中，任意一点A到位似中心O的距离与其对应点A’到位似中心O的距离之比等于位似比k。因此，正确答案是A。9、在位似变换中，若原图形ABC与位似图形A’B’C’的位似比为2:1，且点A的坐标为（2，3），则点A’的坐标为（）。A.（4，6）B.（1，1.5）C.（-4，-6）D.（-1，-1.5）答案：A解析：位似变换中，对应点的坐标成比例变化。由于位似比为2:1，点A的坐标为（2，3），那么点A’的坐标将是（2×2，3×2）即（4，6）。因此，正确答案是A。10、若两个图形经过位似变换后，对应的边长比为k，则这两个图形的面积比为（）。A.k^2B.kC.1/kD.1/k^2答案：A解析：在位似变换中，相似图形的面积比是相似比的平方。如果对应边长比为k，那么面积比将是k的平方，即k^2。因此，正确答案是A。二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：已知三角形ABC中，点D是边AC上的一点，点E是边AB上的一点，且AD：DC=2：3，BE：EA=3：2。若三角形ABC的边长AB=6cm，求三角形ABD和三角形ACE的面积比。答案：三角形ABD和三角形ACE的面积比为4：9。解析：由于AD：DC=2：3，BE：EA=3：2，我们可以得出AD：AB=2：5，因为AB=AD+DB，且AD+DB=AB。同理，AE：AB=3：5。由于位似三角形的面积比等于对应边长比的平方，我们可以计算出三角形ABD和三角形ACE的面积比：面积比(ABD)：面积比(ACE)=(AD：AB)^2=(2：5)^2=4：25。但是，我们需要找出三角形ABD和三角形ACE的面积比，而不是它们各自与三角形ABC的面积比。由于三角形ABC的面积是三角形ABD和三角形ACE面积之和，我们可以通过以下步骤来找出所需的面积比：设三角形ABD的面积为S1，三角形ACE的面积为S2，三角形ABC的面积为S。根据面积比，我们有：S1：S2=4：25。由于S=S1+S2，我们可以设S1=4x，S2=25x，其中x是一个比例系数。因此，S=4x+25x=29x。现在，我们需要找到x的值。由于三角形ABC的边长AB=6cm，我们可以假设三角形ABC是一个直角三角形，其中AB是直角边之一。在这种情况下，我们可以使用三角形的面积公式来找到S的值：S=(1/2)*AB*BC。假设BC=10cm（为了方便计算，这里取一个与比例系数x无关的值），则：S=(1/2)*6cm*10cm=30cm²。由于S=29x，我们有：29x=30cm²。解得：x=30cm²/29。因此，S1=4x≈4*(30cm²/29)≈40.68cm²，S2=25x≈25*(30cm²/29)≈84.91cm²。所以，三角形ABD和三角形ACE的面积比约为：S1：S2≈40.68cm²：84.91cm²≈4：9。由于题目要求给出整数比，我们可以四舍五入得到：三角形ABD和三角形ACE的面积比为4：9。第二题：在平面直角坐标系中，点A(2,3)关于点P(1,2)的对称点为B，若三角形APB是一个位似三角形，位似中心为点P，且位似比为2，求点B的坐标。答案：点B的坐标为(0,1)。解析：由于点A和点B关于点P对称，根据对称点的坐标规律，有：对称点横坐标的关系：x对称点纵坐标的关系：y将点A和点P的坐标代入上述关系式中，得到：-x-y因此，点B的坐标为(0,1)。由于三角形APB是位似三角形，位似比为2，这意味着从A到B的向量与从P到A的向量在长度上成2倍关系。但是，由于我们已经通过对称找到了点B的坐标，不需要进一步计算位似比来验证。综上所述，点B的坐标为(0,1)。第三题：已知一个位似图形，位似比为2:1，若原图形的面积为36平方厘米，求位似图形的面积。答案：18平方厘米解析：由于位似图形的位似比为2:1，即对应边的比为2:1，那么对应面积比为（2:1）^2=4:1。设位似图形的面积为x平方厘米，则有：36平方厘米:x平方厘米=4:1通过交叉相乘得：36*1=x*436=4xx=36/4x=9所以，位似图形的面积为18平方厘米。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知三角形ABC的边长分别为AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm。若将三角形ABC按比例2：1放大，求放大后三角形A’B’C’的各边长。答案：放大后三角形A’B’C’的边长分别为：A’B’=2×AB=2×6cm=12cmB’C’=2×BC=2×8cm=16cmA’C’=2×CA=2×10cm=20cm解析：本题考查位似放缩的性质。位似放缩是指一个图形按照一定的比例放大或缩小后，得到的图形与原图形相似。相似图形的对应边长成比例。根据题意，三角形ABC按比例2：1放大，即每个边长都扩大为原来的2倍。因此，放大后的三角形A’B’C’的各边长分别是原三角形ABC对应边长的2倍。计算过程如下：A’B’=2×AB=2×6cm=12cmB’C’=2×BC=2×8cm=16cmA’C’=2×CA=2×10cm=20cm所以，放大后三角形A’B’C’的边长为12cm，16cm，20cm。第二题：已知两个位似图形ABC和A’B’C’，其中对应点A和A’的坐标分别为（2，3）和（4，6），位似比为2：1。求位似图形BC和A’B’C’的对应点B和B’的坐标。若将位似图形ABC沿y轴平移，使得位似图形A’B’C’与原图形ABC完全重合，求平移的距离。答案：位似图形BC和A’B’C’的对应点B和B’的坐标分别为（4，6）和（2，3）。平移的距离为2个单位。解析：根据位似比的定义，对应点的坐标之比等于位似比。由于位似比为2：1，所以有：A已知点A和A’的坐标分别为（2，3）和（4，6），代入上式得：4解得x=8，即点B的坐标为（8，6）。同理，点B’的坐标为（2，3）。由于位似图形A’B’C’与原图形ABC完全重合，且位似比为2：1，所以位似图形A’B’C’是原图形ABC沿y轴平移后的结果。由于位似比为2：1，所以平移的距离为原图形上对应点在y轴上的坐标之差的一半，即：6所以平移的距离为2个单位。第三题：已知正三角形ABC的边长为6cm，D是BC边上的一个点，且BD：DC=2：1。点E在BC边上，满足AE是三角形ABC的位似图形，且位似比为2：1，点F是AE与BC的交点。求三角形DEF的边长。答案：DE=2cmEF=3cmDF=4cm解析：由于AE是三角形ABC的位似图形，且位似比为2：1，因此DE=2*2=4cm。在三角形ABC中，BD：DC=2：1，所以BC=BD+DC=3*2=6cm。由于点E在BC边上，且AE与BC的交点为F，根据位似比，可以得出EF：BC=2：1。因此，EF=2*(BC/3)=2*(6/3)=4cm。在三角形DEF中，由于AE是三角形ABC的位似图形，且位似比为2：1，可以得出DF=2*AE=2*4=8cm。但是，由于点F在BC上，且EF=4cm，因此DF的实际长度为DF-EF=8cm-4cm=4cm。综上，三角形DEF的边长为DE=2cm，EF=3cm，DF=4cm。第四题：已知一个位似图形，其位似比为2：1，若原图形的长方形的长为6cm，宽为4cm，求位似图形的长和宽。答案：位似图形的长为12cm，宽为2cm。解析：由题意知，原图形的长方形的长为6cm，宽为4cm，位似比为2：1。根据位似比的定义，位似图形的对应边长之比等于位似比。即：位似图形的长/原图形的长=2/1代入已知数值，得到：位似图形的长/6cm=2/1解这个比例，得到位似图形的长：位似图形的长=6cm×2=12cm同理，位似图形的宽/原图形的宽=2/1代入已知数值，得到：位似图形的宽/4cm=2/1解这个比例，得到位似图形的宽：位似图形的宽=4cm×2=2cm所以，位似图形的长为12cm，宽为2cm。第五题：已知一个正三角形ABC，其边长为6cm。现要将三角形ABC通过位似变换，使其边长变为原来的1/3。（1）求位似变换的比例因子；（2）求变换后的三角形A’B’C’的边长；（3）求变换前后三角形ABC和A’B’C’的面积比。答案：（1）位似变换的比例因子为1/3；（2）变换后的三角形A’B’C’的边长为6cm×1/3=2cm；（3）三角形ABC和A’B’C’的面积比为(1/3)^2=1/9。解析：（1）位似变换的比例因子是指相似图形对应边的比例，由于变换后边长变为原来的1/3，因此比例因子为1/3。（2）根据位似变换的性质，变换后的三角形A’B’C’的每条边长都是原三角形ABC对应边长的1/3，所以A’B’=BC/3=6cm/3=2cm，同理C’A’=AB/3=6cm/3=