2024-2025学年广东省广州大学附中九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州大学附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−2017的绝对值是(

)A.2017 B.−2017 C.12017 D.2.国际数学家大会每四年举行一次，是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议.下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是(

)A.B.C.D.3.“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“云闪付”等移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常普遍的支付方式.小明妈妈上月的移动支付账单为a元，本月参加线上购物节活动，比上月支出的3倍还多20元，那么本月的支出可表示为(

)A.(3a+20)元 B.(3a−20)元 C.3(a−20)元 D.3(a+20)元4.抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标是A.(−2,−1) B.(−2,1) C.(2,−1) D.(2,1)5.下面是昆明市2024年春节8天的空气质量指数(AQI)：日期年三十初一初二初三初四初五初六初七AQI4647474257506947下列说法正确的是(

)A.这8天的空气质量指数的众数是47 B.这8天的空气质量指数的中位数是49.5

C.这8天的空气质量指数的平均数是50 D.这8天的空气质量指数的中位数是46.56.淇淇初一时的体重是40kg，到初三时，体重增加到48.4kg，则她的体重平均每年的增长率为(

)A.5% B.10% C.15% D.20%7.下列命题错误的是(

)A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B.平行四边形的对角线互相平分

C.矩形的对角线相等 D.对角线相等的四边形是矩形8.如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为(4,0)，点B在y轴的正半轴上，且PA=PB，点P是∠AOB的平分线上的点，且横坐标为3，则点B的坐标为(

)A.(0,1)

B.(1,0)

C.(2,0)

D.(0,2)9.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A、B两点，则关于x的不等式ax2A.x<−2或x>2

B.x>2

C.x<2

D.−2<x<210.直线y=x−1与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形且S△ABC=22，则点A.(0,0

) B.(1−2,0)或(2+1,0)

C.(二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是______．12.已知关于x的方程(a−1)x2+x=2是一元二次方程，则a13.如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备的水管的长为

m.14.“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它广泛应用于数学运算中.例如：已知a+b=2，ab=−3，则a+b−2ab=2−2×(−3)=8，利用上述思想方法计算：已知2a−b=2，ab=−1，则2(a−b)−(ab−b)=______．15.已知4m×8n=32，2m16.已知抛物线y=x2−kx−k，A(1,−2)，B(4,10).抛物线与线段AB(包括A、B两点)，有两个交点，则k三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

用配方法解一元二次方程：x2+4x−1=0．18.(本小题8分)

如图，在△ABC中，点D在AC上，且BD=BC=AD，∠DBC=24°，求∠A的度数．19.(本小题8分)

如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段AD上，AE=AB，完成下列作图和证明过程．

(1)尺规作图：作∠BAD的角平分线交线段BC于点F，连接BE，EF(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)求证：AF⊥BE．20.(本小题8分)

我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识.为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量(单位：吨)，绘制出如下未完成的统计图表．

50个家庭去年月均用水量频数分布表组别家庭月均用水量(单位：吨)频数A2.0≤t<3.47B3.4≤t<4.8mC4.8≤t<6.2nD6.2≤t<7.66E7.6≤t<9.02合计50根据上述信息，解答下列问题：

(1)m=______，n=______；

(2)这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组；

(3)若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？21.(本小题8分)

“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．

定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程，其中a、b、c均不为0.请根据此定义解决下列问题：

(1)方程−12x2−x+1=0的倒方程是______．

(2)若x=5是x2−3x+c=0的倒方程的解，求出c的值；

(3)22.(本小题8分)

(1)请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形(如图)，根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：(a+b)2−(______)2=(______)；

(2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：

①若m+n=8，mn=12，求m−n的值；

②已知(2m+n)23.(本小题8分)

某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量y(kw⋅ℎ)与汽车行驶路程x(km)之间的关系如图所示(不计电池耗损及天气影响).根据图象回答下列问题：

(1)充满电最多可以行驶______km．

(2)汽车每行驶100km消耗______kw⋅ℎ．

(3)电池中的剩余电量不大于15(kw⋅ℎ)时，汽车将自动报警.那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？

(4)现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了260km，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为24.(本小题8分)

如图，在正方形ABCD中，DF=EB．

(1)求证：∠ADE=∠FBC；

(2)如图2，点P、Q分别是线段DE、FB上的动点，∠PCQ=45°，连接PQ，探究三条线段DP、PQ、BQ之间满足的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图3，在(2)的条件下，DE=8，在P、Q运动过程中，若PQ/​/CD，当PQ最小时，AD=______．25.(本小题8分)

如图，抛物线y=ax2−2ax+c(a≠0)与x轴交于A、B(A在B的左边)，A(−1,0)与y轴负半轴交于C，且OC=3OA．

(1)求a，c的值；

(2)如图1，点D是抛物线y=ax2−2ax+c在第四象限内图象上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是(0,−7)，点D是直线PD与该抛物线唯一的公共点，直线y=tx−2t+3(t≠0)与该抛物线交于M，N两点，若S△DMN=610，

①求出D点的坐标；

②求出t的值．

(3)在(2)的条件下，如图2，连接AD和BC，在抛物线上是否存在点参考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.A

6.B

7.D

8.D

9.A

10.B

11.6

12.a≠1

13.70

14.3

15.1

16.−6+217.解：x2+4x−1=0，

移项得：x2+4x=1，

配方得：x2+4x+4=5，即(x+2)2=5，

开方得：18.解：∵BD=BC，∠DBC=24°，

∴∠BDC=∠C=180°−24°2=78°，

∵AD=BD，

∴∠A=∠ABD，

∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠A=119.(1)解：图形如图所示：

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BF/​/AE，

∴∠AFB=∠FAE．

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠EAF，

∴∠BAF=∠BFA，

∴AB=FB，

∵AB=AE，

∴FB=AE，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∵AB=AE，

∴平行四边形ABFE为菱形，

∴AF⊥BE(菱形的对角线互相垂直)．

20.

21.22.

23.

24.（3）2(2+25.解：(1)∵A(−1,0)，

∴OA=1，

∵OC=3OA，

∴OC=3，

∴C(0,−3)，

把A(−1,0)，C(0,−3)分别代入y=ax2−2ax+c中得：

a+2a+c=0c=−3，

解得：a=1，c=−3．

(2)①∵a=1，c=−3，

∴抛物线的表达式为：y=x2−2x−3．

设：PD：y=k1

x−7，

联立y=k1x−7y=x2−2x−3，

则x2−(2+k1)x+4=0，

∵两个函数只有唯一公共点，

∴Δ=0，

∴(2+k1)2−16=0，

解得：x2−4x+4=0k1=2或−6，

∵点D在第四象限，

∴k1>0，

∴k1=2，

∴y=2x−7y=x2−2x−3，

解得x=2，y=−3，

∴D(2,−3)；

②过点D作y轴的平行线交MN于点E，

∵D(2,−3)，

∴E点横坐标是2，

∴E点坐标是(2,3)，

∴DE=6，

设：M，N两点的横坐标是m，n，

联立y=tx−2t+3y=x2−2x−3，

得：x2−(2+t)x+2

t−6=0，

则m+n=2+t，mn=2

t−6，

∵S△DMN=610，

∴12×6|m−n|=610，

∵|m−n|=(m+n)2−4mn=(2+t)2−4(