第12讲排列组合（十三种解法）-冲刺2025年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（解析版）

第12讲排列组合（十三种解法）题型一：捆绑法一、单选题1．（2023·安徽·统考一模）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（

）种．A．40 B．24 C．20 D．12【答案】B【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种，故选：．2．（2023·辽宁沈阳·统考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种【答案】C【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.故选：C.3．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（

）A．288 B．144 C．72 D．36【答案】C【分析】方法1：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队2位母亲排队3个小孩“捆绑”内部排队在父亲母亲产生的3个空中选一个空将3个小孩放进去.方法2：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队3个小孩“捆绑”与2位母亲排队3个小孩“捆绑”内部排队.【详解】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为.故选：C.二、填空题4．（2023·湖南邵阳·统考二模）在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．【答案】36【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有．故答案为：36.5．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的概率为______．【答案】##0.7【分析】根据排列数求3名男同学、2名女同学排成一行与至多2名男生相邻的方法总数，在利用古典概型公式求解概率即可.【详解】解：3名男同学、2名女同学排成一行的总的方法数为：，则至多2名男生相邻的方法总数为：，所以多2名男生相邻的概率为.故答案为：.6．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）五名同学站成一排合影，若站在两端，和相邻，则不同的站队方式共有___________种.（用数字作答）【答案】24【分析】相邻问题捆绑法，特殊元素优先排，用分步计数完成.【详解】C，相邻，将排在一起并看成一个整体，有2种方法，站两端，有2种方法，与，进行3个元素的全排列，有种方法，故不同的站队方式共有种.故答案为：24题型二：插空法一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B2．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.3．（2022春·全国·高三专题练习）已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相邻问题捆绑法与不相邻问题插空法计数，再根据古典概型计算概率.【详解】解：5只鸡，只兔子走出房门，共有种不同的方案，其中恰有2只兔子相邻走出房子的方案为：先排5只鸡，会产生6个空隙，再从3只兔子中选2只捆绑排列，最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有：种方案，故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为：.故选：D.二、填空题4．（2022秋·福建福州·高三福建省福州延安中学校考阶段练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答）【答案】144【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则.故答案为：144.5．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为______．【答案】【分析】首先求出基本事件总数，再分女生都不相邻和有两个女生相邻两种情况讨论，求出符合题意的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意基本事件总数为，若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法，若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列，再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入4个空中的1个空，则有种排法，故每名女生旁边都有男生的概率故答案为：题型三：特殊元素法一、单选题1．（2022·河南·校联考模拟预测）小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】C【分析】先按照周一，再安排其他两天，利用分步计数原理及排列组合知识进行求解；【详解】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有种．故选：C2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.【详解】设“甲、乙在同一组”为事件，教师随机分成三组，每组至少一人的分法为，而甲、乙在同一组的分法有，故，故选：A.3．（2022秋·四川成都·高三统考阶段练习）为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（

）A．18种 B．36种 C．68种 D．84种【答案】B【分析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论即可【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；故一共有：种分派方法故选：4．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足从开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．∴；；；；．原位小三和弦满足：．∴；；；；．故个数之和为10．故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．5．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（

）A．8种 B．14种 C．20种 D．116种【答案】B【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（

）A．72 B．84 C．90 D．96【答案】B【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B二、解答题7．（2023·全国·高三专题练习）一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用捆绑法可求解；（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.【详解】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.题型四：间接法一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（

）．A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种【答案】D【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.【详解】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.故选：D2．（2023·广西梧州·统考一模）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（

）种A．9 B．36 C．54 D．108【答案】C【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种故选：C3．（2022秋·宁夏银川·高三校考开学考试）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（

）A．720 B．1440 C．2280 D．4080【答案】C【分析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷.【详解】一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.这7个数字按题意随机排列，可以得到个不同的数字.当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14当前两位数字为11或12时，共可以得到个不同的数字，则大于3.14的不同数字的个数为故选：C二、多选题4．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（

）A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种【答案】ACD【分析】根据给定条件利用含有限制条件的组合问题，逐一分析各选项判断作答.【详解】对于A，B，抽1件不合格品有种，再抽2件合格品有种，由分步计数乘法原理知，抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种，A正确，B不正确；对于C，至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有种，2件是不合格品的抽法有种，由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，C正确；对于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从100件产品中任意抽出3件有种，抽出3件全是合格品有种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()种，D正确.故选：ACD三、填空题5．（2023·全国·高三专题练习）将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）.【答案】27【分析】按照1号球是否放在B盒子分类，结合.【详解】若1号球放在B盒子中，共有种放法；若1号球放在C盒子中，共有种放法；所以共有放法总数为.故答案为：27.6．（2023·全国·高三专题练习）2021年12月，南昌最美地铁4号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为______.【答案】65【分析】利用间接法，利用分步计数原理求出没有限制的方案数，排除没人去人民公园的方案数，即得.【详解】由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有种，若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有种，故人民公园一定要有人去的不同游览方案有种.故答案为：65.题型五：隔板法一、单选题1．（2022·山东潍坊·二模）某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，每班至少个参赛名额，则不同的分配方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】采用隔板法直接求解即可.【详解】将个参赛名额分配给这个班，名额之间并无区别，将个参赛名额采用“隔板法”分成份即可，每份至少一个名额，共有种.故选：B.二、多选题2．（2022·全国·高三专题练习）为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（

）A．不同的安排方法共有64种B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种C．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种【答案】BD【分析】根据分类、分布计数原理和排列、组合，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，每人都有3种安排方法，则不同的安排方法共有（种），所以A错误；对于B中，若恰有一地无人去，则需先在三地中选出两地，再将4人安排到这两个地方，不同的安排方法有（种），所以B正确.对于C中，根据题意，需将4人分为3组，若甲､乙在同一组，有1种分组方法，又甲､乙两人不能去地，所以安排甲､乙一组到地或地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有种情况，此时不同的安排方法有（种）；若甲､乙不在同一组，有种分组方法，又甲､乙两人不能去A地，所以安排没有甲､乙的一组去地，甲､乙所在的两组安排到，两地，有种情况，此时不同的安排方法有（种），则不同的安排方法共有（种），所以C错误；对于D中，只需将20辆救护车排成一排，在形成的19个间隙中插入挡板，将20辆救护车分为3组，依次对应，，三地即可，此时不同的安排方法有（种），所以D正确.故选：BD.三、填空题3．（2022·全国·高三专题练习）若方程，其中，则方程的正整数解得个数为______.【答案】10【分析】依据挡板法去求解即可.【详解】因为方程，其中，则.将其转化为有6个1排成一列，利用2个挡板法将其分成3组，第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则.2个挡板的放置方法共有种，故方程的正整数解的个数为10.故答案为：10四、解答题4．（2022·全国·高三专题练习）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.【分析】（1）按照分步乘法计数原理进行计算；（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，放入3个盒子中；（3）按照插板法进行计算即可；（4）先选2个空盒，再按照插板法进行计算.【详解】（1）每个小球有4种方法，共有种放法；（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法；（3）9个空中插入3个板即可，种放法；（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法.5．（2023·全国·高三专题练习）（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.【分析】(1)根据条件每个箱子先放一个，确定余下两个小球的放法即为答案；(2)将6个相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得；(3)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，求出所有分组方法数即可；(4)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，再将每一种分法放入4个不同箱子即可得解.【详解】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个小球，还剩下2个小球，则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中，所以共有2种放法；（2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，所以不同的放法种数为；（3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，所以不同的放法种数为；（4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，所以不同的放法种数为．题型六：倍缩法解决部分定序问题一、单选题1．（2022·河南郑州·统考模拟预测）某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（

）A．240种 B．480种 C．540种 D．720种【答案】A【分析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解.【详解】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，有，总共有种.故选：A.2．（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（

）A．24种 B．40种 C．60种 D．84种【答案】B【分析】先求出五个节目的全排列有种情况，要求甲、乙、丙有两种固定的出场顺序，则除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的顺序种类即可得到结果.【详解】五个元素的全排列数为，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”2种排法，所以满足条件的排法有.故选：B．3．（2023春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（

）A．20种 B．30种 C．50种 D．60种【答案】A【分析】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，利用排列得到答案.【详解】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，故共有种方法.故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有(

)A．66种 B．60种 C．36种 D．24种【答案】B【分析】首先利用全排列并结合已知条件即可求解.【详解】首先对五名学生全排列，则共有种情况，又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况，所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有种情况.故选：B5．（2022秋·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．72种【答案】C【分析】除了甲乙外，再选2人，从而利用倍缩法进行求解.【详解】先从丙、丁、戊3人中选2人，有种，再把4人排列满足甲在前、乙在后，有，∴总共有种．故选：C二、填空题6．（2022·全国·高三专题练习）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有__________种不同的插入方法．（用数字作答）【答案】330【分析】法1：先选后排，进行求解；法2：用消序法进行求解.【详解】法1：第一步，从11个位置中选3个位置，共有种方法；第二步，三个位置中节目B位置确定，节目A，C的顺序为，由分步计数原理可得共有种方法.法2：先插入节目A，再插入节目B，最后插入节目C，共有：种，其中节目B与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为.故答案为：3307．（2022·全国·高三专题练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）【答案】【分析】由题意可知，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜，所以本题是定序问题，故结合倍缩法即可求出结果.【详解】一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种故答案为：.题型七：不平均分组问题一、单选题1．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法所以，不同的安排方法共有种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.2．（2023·全国·高三专题练习）为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种【答案】A【分析】分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分配.【详解】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，故不同的安排方法共有种；故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（

）种不同的分配方案．A．18 B．20 C．28 D．34【答案】D【分析】首先分类，即本校监考分为1人和2人，在分类的基础上分配或分组.【详解】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.4．（2023·四川泸州·泸县五中校考二模）2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先安排甲乙两人，然后剩余3人分两组，一组1人，一组2人，先分组后安排即可．【详解】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，则共有种，故选：．5．（2022·全国·高三专题练习）某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（

）A．3180 B．3240 C．3600 D．3660【答案】B【分析】分三种情况进行分类讨论，依据先分组再分配原则解决“至少”问题.【详解】每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2把护士分为3组，3组人数分别为1,1,4，共有种分法，再分配给3个小区，有种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；把护士分为3组，3组人数分别为1,2,3，共有种分法，再分配给3个小区，有种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；把护士分为3组，3组人数分别为2,2,2，共有种分法，再分配给3个小区，有种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为综上，分配方案总数为故选：B6．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（

）A．36 B．81 C．120 D．180【答案】D【分析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，再将4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，最后根据分步乘法原理求解即可.【详解】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有种不同的选派方案，再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有种不同的选派方案，所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.故选：.题型八：平均分组问题一、单选题1．（2022秋·江苏常州·高三校考阶段练习）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，所以所求的概率．故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（

）A．630种 B．600种 C．540种 D．480种【答案】C【分析】先把把6名工作人员分成三组，再安排到三个村，即先分组，再排列.【详解】把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有：种；把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有：种；把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有：种；所以共有90+90+360=540种.故选：C.【点睛】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合．3．（2023·全国·高三专题练习）已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果.【详解】因为或所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中（1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个的方法有种.各放3个，1个，1个的方法有种.（2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有种.综上，总的放球方法数为种.故选：C【点睛】易错点睛：本题考查排列组合的部分均匀分组，解题时一定要注意不要重复，有n组均匀，最后一点要除以，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题.4．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）将4名大学生平均分成两组，安排到甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（

）A．24种 B．12种 C．6种 D．10种【答案】C【分析】均匀分组的计算公式，分组后进行分配，即可得解.【详解】对四人均匀分为两组共有：，再将两组与甲、乙两校全排列共有：，所以不同的实习安排方案.故选：C.二、填空题5．（2023春·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.【答案】40【分析】任选1名医生和3名护士，将医护人员分成两组安排到2所学校即可.【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为种；2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种.所以不同的分配方法共有种.故答案为：40三、解答题6．（2022·全国·高三专题练习）设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）.(1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？(2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？(3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？(5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？(7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？(8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本有方法1种，列出式子即可；（2）和（1）类似，定向分配，分好组即可，不同的分法共有种；（3）先均分为3份，再将3份分配给3个人，不同的分法共有种；（4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，再列出式子即可；（5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，列出式子即可；（6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，列出式子即可；（7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，列出式子即可；（8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，根据分析列出式子即可.（1）甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本.有方法1种，不同的分法共有（种）；（2）与（1）类似，不同的分法共有（种）；（3）先平均分为3组，种分组方式，再分配给3个人，得到不同的分法共有种；（4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，不同的分法共有（种）；（5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有（种）.（6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，不同的分法共有（种）；（7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，不同的分法共有（种）（8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有（种）题型九：分类分步问题一、单选题1．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法；故选：C.2．（2022秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考阶段练习）有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法，然后将3个项目全排列，共有种排法，所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种，所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，故选：D3．（2022秋·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（

）A．14 B．12 C．24 D．28【答案】A【分析】由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果.【详解】解：根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：①丁扶贫点最先去，有种安排方法；②丁扶贫点安排在中间位置去，有种安排方法，综合①②知共有种安排方法.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．30种【答案】C【分析】利用分类加法、分步乘法计数原理，结合排列组合知识进行求解.【详解】若甲乙和另一人共3人分为一组，则有种安排方法；若甲乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组1人，一组两人，则有种安排方法，综上：共有12+12=24种安排方法.故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．20340【答案】A【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最后答案.【详解】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有种可能；若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有种可能；小计：1+12+12=25；（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一个H外，另一个互异，故有种可能；若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有种可能；若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+种可能；YXZH※H※H※HH※※H※H※H※※H※H※※※H若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；小计：；（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有种可能；若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2种可能；若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可能.小计；诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“14=4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有种可能，故此小类有3种可能；若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；小计；（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为=种.故选：A【点睛】比较复杂一些的排列组合问题，要结合分类加法原理和分步乘法原理进行求解，特别是分类标准，要做到不重不漏，本题中，应用的是把8,10,12,14,16分为5个数（从1到4）的和的分类标准，可以做到不重不漏.6．（2022·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（

）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】D【分析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.故选：D.二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（

）A．甲从到达处的方法有种B．甲从必须经过到达处的方法有种C．甲、乙两人在处相遇的概率为D．甲、乙两人相遇的概率为【答案】BCD【解析】利用组合计数原理可判断A选项的正误；利用分步乘法计数原理结合组合计数原理可判断B选项的正误；计算出乙经过处的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断C选项的正误；计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断D选项的正误.【详解】A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走，则甲从到达处的方法有种，A选项错误；B选项，甲经过到达处，可分为两步：第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种；第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种.甲经过到达的方法数为种，B选项正确；C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，甲、乙两人在处相遇的方法数为，甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种；若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，所以，两人在处相遇的走法种数为种；若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；故甲、乙两人相遇的概率，D选项正确.故选：BCD.【点睛】结论点睛：本题考查格点问题，解决这类问题可利用如下结论求解：在平面直角坐标系中，从到，每次只能向右或向上走一步，一共要走步，其中有步向上走，步向右走，走法种数为（或）种.三、填空题8．（2022·全国·高三专题练习）有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.【答案】【分析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，①步：即步两阶，有种；②步：即步两阶与步一阶，有种；③步：即步两阶与步一阶，有种；④步：即步两阶与步一阶，有种；⑤步：即步两阶与步一阶，有种；⑥步：即步一阶，有种；综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；故7步登完楼梯的概率为故答案为：题型十：部分平均分组问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有种实习方案，当分为2,2,1人时，有种实习方案，即共有种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）某社区服务站将5名志愿者分到3个不同的社区参加活动，要求每个社区至少1人，不同的分配方案有（

）A．360种 B．300种 C．90种 D．150种【答案】D【分析】先分类，分为3个社区的志愿者人数分别为3,1,1或2,2,1，再求出两种情况下的不同分配方案，注意部分平均分组问题.【详解】若3个社区的志愿者人数分别为3,1,1，此时不同的分配方案有种，若3个社区的志愿者人数分别为2,2,1，此时不同的分配方案有种，综上：不同的分配方案有60+90=150种.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（

）A．30种 B．36种 C．42种 D．64种【答案】A【分析】由题意可得，分两个地区各分2人，另一个地区分1人和两个地区各分1人，另一个地区分3人两种情况，对两种情况的种数求和，即可求解．【详解】解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有种；②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有种．故满足条件的分法共有种．故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（

）A．18种 B．12种 C．72种 D．36种【答案】D【分析】先将4名教师分为3组，然后再分别派到甲､乙､丙三地，即可得解.【详解】解：4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲､乙､丙三地，共有种方案，所以共有36种选派方案.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（

）A．54种 B．240种 C．150种 D．60种【答案】C【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解.【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，①三组人数为1、1、3，此时有种；②三组人数为2、2、1，此时有种.所以共有60+90=150种.故选：C二、多选题6．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（

）A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为B．第二次抽到3号球的概率为C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种【答案】AB【分析】计算条件概率判断A；利用全概率公式计算判断B；利用贝叶斯公式求解判断C；求出不同元素的分组分配种数判断D作答.【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，A正确；对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为，，记第二次抽到3号球的事件为，，B正确；对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为，，记第二次抽到1号球的事件为，，第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，，，，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确；对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D不正确.故选：AB7．（2022·全国·高三专题练习）感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山，扎根基层教育默默奉献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响，有位志愿者主动到所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，每位志愿者只到一所学校支教，下列结论正确的有（

）A．不同的安排方法数为B．若甲学校至少安排两人，则有种安排方法C．小晗被安排到甲学校的概率为D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲学校安排两人的概率为【答案】AC【分析】利用分组分配原理可判断A选项；利用特殊元素优先考虑法可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用条件概率公式可判断D选项.【详解】对于A选项，将位志愿者分成组，每组至少一人，每组人数分别为、、或、、，再将这三组志愿者分配给个地区，不同的安排方法种数为种，A对；对于B选项，若甲学校至少安排两人，则甲校安排人或人，则不同的安排方法种数为种，B错；对于C选项，若小晗被安排到甲学校，则甲校可安排的人数为或或，由古典概型的概率公式可知，小晗被安排到甲学校的概率为，C对；对于D选项，记事件小晗被安排到甲校，事件甲学校安排两人，则，，由条件概率公式可得，D错.故选：AC.三、填空题8．（2022·全国·高三专题练习）将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，则共有种分配方案.故答案为：36题型十一：特殊位置法一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）将编号为的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】解：由题得任意放球共有种方法，如果有一个小球与所在的盒子的编号相同，第一步：先从5个小球里选一个编号与所在的盒子相同，有种选法；第二步：不妨设选的是1号球，则再对后面的2,3,4,5进行排列，且四个小球的编号与盒子的编号一个都不相同，假设2号盒子里放3号球，则有三种，所以后面的小球的排列共有种方法.所以剩下的四个球共有种方法.由古典概型的概率公式得恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为故选：A2．（2023·山东潍坊·统考一模）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．60种【答案】B【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法，此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法；故选拔测试的安排方案有种.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（

）个．A．600 B．300 C．360 D．180【答案】B【分析】分最后一位为1、不为1两种情况，结合特殊位置法、插空法、捆绑法及排列组合数对不同情况计数，即可得答案.【详解】当最后一位为1时，共有种；当最后一位不为1时，在3、4、5任选一个放最后有种，把余下2个数字与9全排有种，将两个1插入4个空中的2个有种，或两个1捆绑插入4个空中的1个有种，共有种；综上，共有种.故选：B4．（2021·全国·高三专题练习）某班级班委包括4名女生和2名男生，要从中抽选2名女生和1名男生参与毕业典礼志愿者工作，并把他们安排在3个不同的岗位，其中岗位不安排男生，则不同的安排方式种数为（

）A．72 B．48 C．36 D．24【答案】B【分析】先抽取2名女生和1名男生，再把他们安排在3个不同的岗位上，减去男生安排在岗位的情形，即可得答案【详解】解：先抽取2名女生和1名男生，共有种，再把他们安排在3个不同的岗位上，减去男生安排在岗位的情形，则不同的安排方式有种．故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）开学伊始，甲､乙､丙､丁四名校长分别去南校门，北校门和东校门组织迎接新生工作，要求每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则不同的安排方式有（

）A．6种 B．12种 C．15种 D．18种【答案】B【分析】考虑南校门的人数有2种情况，对南校门的人数分类讨论求解即可.【详解】由题，安排四名校长去三个校门，每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则南校门的人数为1或2，当南校门有1人时，即甲校长，剩余3人安排在另2个校门，则种安排方式；当南校门有2人时，先在除甲校长外的3人中选出1人安排在南校门，再安排剩余2人去另2个校门，则种安排方式，所以共有种；故选：B二、填空题6．（2022·全国·高三专题练习）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________．【答案】16【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，所以不同的排课方法的种数是种，故答案为：16．题型十二：染色问题一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（

）种不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．360【答案】A【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．由分类加法原理得总的染色种数为种．故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（

）A．72种 B．36种 C．12种 D．60种【答案】A【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.【详解】如下表顶点VABCD种数432C与A同色12C与A不同色11总计故选：A．3．（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法，最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种，若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法，涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种方法，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种.故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（

）A．96种 B．72种 C．48种 D．24种【答案】A【分析】如图，由题意可知②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，从而可求得结果【详解】依题意可知，将区域标号如图.用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有种.故选：A二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】选项ACD均可以对其每一步的方法数进行合理解释，而选项B方法总数错误，不能对其每一步的方法数进行合理解释.【详解】选项A：表示先着色中间两格下面一格.从4种颜色取3种，有个方法，上面一格，从与中间两格不同的颜色中取出一个，有个方法，故共有个不同方法.正确；选项B：,方法总数不对.错误；选项C：表示先对中