七升八数学暑期衔接班讲义

第一讲与三角形有关的线段不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形的表示方法B三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”c三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边ABC可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示C【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b【辨析】有三条线段a、b、c，a+b＞c，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）(2)高的叙述方法AD是△ABC的高AD⊥BC，垂足为D点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90度[练习]画出①、②、③三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.AAABBC①②BBC①②AB边上的高是线段AB边上的高是线段AB边上的高是线段BC边上的高是BC边上的高是BC边上的高是AC边上的高是AC边上的高是AC边上的高是[辨析]高与垂线有区别吗？钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】三角形的中线 （1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线[练习]画出①、②、③三个△ABC各边的中线,并说明是哪条边的中线.AAAAB边上的中线是线段BC边上的中线是ACAB边上的中线是线段BC边上的中线是AC边上的中线是AB边上的中线是线段AB边上的中线是线段BC边上的中线是BC边上的中线是AC边上的中线是AC边上的中线是图中有相等关系的线段：[探究1]观察△ABC的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是【结论】[探究2]如图，AD为三角形ABC的中线，△ABD和△ACD的面积相比A【结论】三角形的角平分线 （1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。[辨析]三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？画出△ABC各角的角平分线,并说明是哪角的角平分线.AAC________________________________________________________________[自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：CE2________BAB12三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。【试一试】2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为()[课后作业]1、一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是()A.B.C.5，其中可构成三角形的有()3、已知三角形两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()A．13cmB．6cmC．5cmD．4cmPB=12m，那么AB间的距离不可能是()A．5mB．15mC．20mD．28m5、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个6、三角形的角平分线、中线和高都是()AD）是△ABC的()A．中线B．角平分线C．高D．既是中线，又是角平8、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列说法中，错误的是()9、若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-c|+|c-a-b|=________.（5）S△ABC＝________，S△ABD________S△ADC＝__VAODVAOBVCODVBOC（AB+BC+AC）.知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法证明：已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。AA1DCBDCBDADDC1DC1EBBCBDA1CBCDD1【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就ADB11CBAACDD85oCACB1BAC141422.已知：如图，∠1=30°,∠2=50°,∠3=45°,41EA1EA1CD4.如图，AB∥CD，∠B=55°,∠C=40°,则CDBBDBADBCFCF从例2.我们可以得到一个数学结论:三角形AA6已知：如图，∠B=30°,∠C=65°,∠BAD=50°,CBCBAACB∠BAC=80°,∠C=40°,则∠BAD=°.CBDADAD∠A=100°,∠C=30°,则∠ADB=°.D1D角平分线，∠BAC=100°,∠C=30°,则∠1=°.【实战演练】11（2）如图所示，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明2、如果一个三角形的两个外角之和为270°,那么这个三角形是()4、如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4的度数为________.5、如图所示，已知AC∥ED，∠C＝26°,∠CBE＝37°,则∠BED的度数是_________7、如图所示，AC⊥DE，垂足为O，∠B＝35°,∠E＝30°,则∠A＝________.8、把一把直尺与一个三角板如图放置，若∠1＝45°,则∠2的度数为()9、已知△ABC中，∠B、∠C的外角平分线交于点D，∠A＝40°,那么∠D＝________.10、在△ABC中，若∠A-2∠B=70°,2∠C-∠B=10°,则∠C=________.11、如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB=8cm，AD=6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB=________时，ABCD的面积最大，最大值是________.13、一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为()14、如图所示，AB∥CD，∠E=27°,∠C=52°,则∠EAB的度数为()15、如图，△ABC中，∠A=50°,点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为()16、（2006•临沂）如图，已知AB∥CD，则()A．10°B．20°C．30°D．40°1818、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为()19、若一个三角形三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数的比为()（1）若∠ABC=40°,∠ACB=60°,则∠BOC=________；（2）若∠ABC+∠ACB=116°,则∠BOC=________；（3）若∠A=76°,则∠BOC=________；（4）若∠A=m°,则∠BOC=________；（5）若∠BOC=120°,则∠A=________；（6）∠A与∠BOC之间具有的数量关系是________.发生变化，求出变化范围.（2）画两条相交的直线OX、OY，使∠XOY=60°,②在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点，③作小是否会变化？若保持不变，请求出∠C的度定义：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。∠B、∠C、∠D、∠E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等条边都相等的多边形叫做正多边形。[探究]观察下面的图形，填空：五边形六边形从五边形一个顶点出发可以引从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等于。个顶点，就能引出(n-3)条对角线，从而得出结论：从n边形的一个顶点可引出(n-3)条对角线，每一个顶点可引出(n-3)条对角线，有n个顶点，共有n(n-3)条对角线，但每条对角线都算了两次，所以n边形共有对角线的条数为多边形内角和的证明形。∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=（5—2）×180°=540°。方法2、如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和n一2）×18n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180度，n个外角连同它们各自相邻的内[自我检测]3.下列角度中,不能成为多边形内角和的是(A.105B.120C.125D5.一个四边形的内角中,钝角最多有()A.一个B.两个C.三个D.四个9.如果一个多边形除了一个内角外,其余各内角这和为1190°,则这个内角为度,是一个 边形.9.填空：如果一个多边形的各外角都等于60°,那么这个多边形是边形.10.填空：如果一个多边形的各内角都等于120°,那么这个多边形是边形.答案:19.四边形中,如果有一组对角都是直角,A.都是钝角B.都是锐角C.是一个锐角,一个钝角.D.是一个锐角,一个直角B.1:1C.5:2D.5:4【课后作业】1、过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，这个多边形的边数为()2、一个八边形的对角线的条数是()A．5B．203、一个多边形的内角和与外角和之和为2520°,这个多边形的边数为()A．12B．134、如果一个多边形的每一个外角都是锐角，那么这个多边形的边数一定不小于()5、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是()6、一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是()7、如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α,再走12米，如此重复A．30°8、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为()A．180°B．360°C．540°D．720°9、如图，∠1=65°,∠2=85°,∠3=60°,∠4=40°,则∠5=()A．45°B．50°C．55°D．60°2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=度.11、如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6的度数之和是()A．120°B．135°C．180°D．360°12、如图，若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=n•90°,则n为()么这个六边形ABCDEF的周长是()面积为()2[观察与探案]定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。4、拿出纸片，对折以后用剪刀剪出两个三角形，观察发现：这两个三角形_____、_____相同,能够,因此，我们把的两个三角形叫做全等三角形。定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如图中的两个三角形全等，记作：△ABC≌△DEF]A△ABC中，AB边的对角是，AC边的对角是，[问题]：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重[发现]：两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把重合到一起（或重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。[发现]全等三角形的性质：全等三角形的对应边，对应角用几何语言表示全等三角形的性质∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（全等三角形对应边相等）∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形对应角相等）[思考]图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完全重合?一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，但和没变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。[思考]通过刚才的操作，你能说说每对三角形的对应顶点，对应角，对应边吗？[试一试]下列图形中，至少有两个三角形是全等的，请写出你找到的对应边、对应角。ADEDOCBC根据位置元素来推理a.有公共边的，公共边是对应边；b.有公共角的，公共角是对应角；c.有对顶角的，对顶角是对应角；d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角；的个数是()DEA【课后作业】一、选择、填空A．三个角对应相等的两个三角形B．周长相等的两个三角形C．面积相等的两个三角形2、如图，若△ABC≌△EBD，且BD＝4cm，∠D＝60°,则∠ACB＝________，BC＝______4、如图，△ACB≌△A＇CB',∠BCB30°,∠ACA＇的度数为()5、在△ABC中，∠B=∠C，若与△ABC全等的一个三角形中有一个角是92°,那么92°角在△ABC中的对应角是()一定有一条边等于()A．7cmB．2cm或7cmC．5cmD．2cm或5cm8、如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于()A．585°B．540°C．270°D．315°FFCC（3）若∠A＝40°,∠E＝80°,求∠DBF的度数。DBABADAD①AB＝CD，BC＝DA②∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD③AB∥CD，BC∥DA，其中正确的是()A.①B.②C.①②D.①②③BB成的，若∠BAC＝150°,则θ的度数是________.（1）求证：AB＝BC＋BE15、如图，△ABC中，AC＝BC（1）求证：AB＝BC＋BECCDAEB第五讲全等三角形的判定（一）[思考与探究]B．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做.①三角形一内角为30°,一条边为3cm.②三角形两内角分别为30°和50°.③三角形两条边分别为4cm、6cm.[发现]给出一个或二个条件时，两个三角形不能保证全等[思考]如果给出三个条件时，两个三角形会全等吗？这些条件可以怎样分类？[操作]1、已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？[尺规作图]画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.【例1】如图所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD【例【例2】如图,已知AC=AD,BC=BD,求证AB是∠DAC的平分线.CBAD[探究]通过前面的操作，我们知道当满足三个角相等时，两个三角形不一定全等，当满足三条边相等时，两个三角形全等，如果满足二条边和一角对应相等时，两个三角形全等吗？3、以点A为圆心，以4厘米为半径作弧交射线OB于E，连结DE[操作2][思考]在以上的操作中，又满足了哪些条件呢？通过以上操作，你认为二个三角形满足什么两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS[尺规作图]角平分线的画法【例1】如图所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=C边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这二是；还需要一个条件 (这个条件可以证得吗？).(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1=∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件： (这个条件可以证得吗？).【例3】已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF.【例4】如图,已知：AB=AC,BD=CD,E为AD上一点,求证：∠BED=∠CED【课后作业】2、如图所示，已知AB＝CD，AD＝CB，∠1＝40°,∠2＝80°,则∠A＝________.3、如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，则①∠C=∠B，②∠D=∠E，③∠EAD=∠BAC，④∠B=∠E，其中错误的结论是()A．AD＝AE，BE＝CDB．AD＝AE，BD＝CEC．AB＝AC，AD＝AE，BE＝CDD．AB＝AE，AC＝AD5、如图，D为AE延长线上一点，且AB＝AC，EB＝EC，则图中共有全等三角形()6、如图所示，AC＝AD，BC＝BD，∠1＝32°,∠2＝28°,则∠CBE＝________.7、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，若要证明∠A=∠D，则要添加的辅助线是.8、如图所示，F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC＝EF，若要根据“≌△CBA，理由是________，则∠BAC=∠DCA，理由是________，则AB∥DC，理由是________13、如图所示，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB=∠AEC＝100°,∠BAE＝70°,求∠C的度数15、如图，已知AB＝CD，AC＝BD，求证：∠A=∠DEAFEAF（1）求证：∠C=∠E（2）求证：∠CDE=∠BAD第六讲全等三角形的判定（二）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三角形中已知两角一边有几种可能？[问题]如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？[做一做]三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA[思考]在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？【例2】如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE.ADOAAFED【课后作业】1、下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，BC＝EF，∠A=∠DB.∠A=∠D，∠C=∠F，AC＝EFC．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长=△DEF的周长D.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（2）∠B=∠C，________；①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以③要判定两个三角形全等，给出的条件中至少要有一条边对应相等．正确的是()②AB＝DE，∠B=∠E，BC＝EF；③∠B=∠E，BC＝EF，∠C=∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有()5、在△ABC与△A＇B＇C＇中，∠A=∠ACD和C＇D＇分别是AB边和A＇B＇边上的中可构成正确命题的个数为()6、如图，AB＝AC，AD＝AE，BD交CE③OA平分BAC；④S△AOB＝S△AOC．其中正确的是()A.①②B.①③C.①②④D.①②③④7、如图，点C是BD的中点，∠1=∠2．请补充一个条件使△ABC≌△EDC．若用“ASA”证，补充的条添加一个适当的条件，使得AC＝DF9、如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB＝AD10、已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌11、已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A=∠D，AC∥DF.求证1）△ABC≌△DEF；F、E.求证：BE＝CF第七讲直角三角形全等的条件(HL)[问题]如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量播放课件）3．以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。连接A′B′。【例1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD.【课后作业】1、下列条件不能判断两个直角三角形全等的是()A．两条直角边分别对应相等B．斜边和一个锐角分别对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一直角2、如图，AD⊥BD于D，若根据“HL”判定△ABD≌△ACD，还需要________条件，若所加条件为=∠C，则可用________判定.=CF，这样可证Rt△BCE≌Rt△CBF，理由是________.6、如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC＝BD，那么下列结论：①Rt△ABD≌Rt△BAC，②AD＝BC，③∠ABC=∠BAD，④∠DAC=∠CBD．其中正确的是()7、如图所示，已知AE＝CE，∠B=∠D=∠AEC＝90°,AB＝8cm，CD＝3cm，则BD＝______A．DE＝DBB．DE＝AEC．AE＝BE10、如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°,点P在AB上，AD⊥C足．AE=CF，求证：∠ACB=90°.【例6】已知：BC＝EF，BC∥EF，∠A=∠D，∠ABF=∠DEC。求证：AF＝DC。【课后作业】2、如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=求证1）△ABC≌△AED2）OB=OE.9、如图，点C,E分别为△ABD的边BD、AB上两点，且AE=AD,C（1）△ABC≌△DEF2）∠CBF=∠FEC.DDFECAB（2求证：CP=CD[问题]如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是已知：∠AOB.（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.12（3）作射线OC，射线OC即为所求.按以下步骤折纸将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边然后展开，观察两次折叠已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E求证：PD=PE角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.【例2】如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.且交BC的延长线于E。【课后作业】1、如图所示，∠B=∠C＝90°,根据角平分线的性质填空：（1）若∠1=∠2，则________＝________；（2）若∠3=∠4，则________＝________.2、如图所示，下列推理中正确的个数是()C.∠CPO=∠DPO5、如图，∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离A．5cmB．3cmC．2cmD．不能确定关系是()A．OD＞OE8、如图，AB＝AD，∠ABC=∠ADC＝90°,则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是()F在AC上，BD＝DF．求证1）DC＝DE2）CF＝EB.[思考]角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的条件是 ；结论是_________如果将条件和结论互换，则可以得到命题 求证：点P在∠AOB的平分线上.【例2】如图，已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上.【例3】如图，∠CAB的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，求证：BP平分∠CBN【例4】如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN.于F，EG⊥AC交AC延长线于G，求证：BF=CG。【思考】若OC为∠AOB的角平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，除了可以得到DP=PE之外，【例6】如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD=180°,求证CD=DB【课后作业】1、如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°,∠OPC＝30°,则∠PCA=2、如图，在△ABC中，∠B＝90°,点O到AB、BC两边的距离相等，则∠AOC的度数为应是________的平分线与________于P的位置说法最准确的是()A．BD＋DE＝BCB．DE平分∠ADBC．AD平分∠EDCD．AC＝AE则下列结论中不正确的是()A．DA平分∠EDFB．AE＝AFAFG；②△AED≌△AFD；③△DEG≌△DFG；④△BDE≌△CDF中正确的个数有()个加油站的位置共有()10、如图，∠B=∠C＝90°,M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证1）AM平分∠11、如图，已知∠CAD=∠CDA，AC＝BD，E在BC上，DE＝EC，求证：AD平分∠BAE.第十一讲与角平分线有关的问题（一）利用角平分线条件直接找出（或构造）全等三角形。BC交AB于E，求证：AC=AE.CO1A2ABEDBE（二）利用“角平分线+垂直”构造全等三角形E，求证：BD=2AE。(三)利用角平线在角两边截取两条相等的线段构造全等三角形AC=AE+CD.(四)已知角平分线或要证明角平分线时可考虑作垂线构造直角三角形全等.求证:AF-AB=BE.FMD1A2BA2E【例5】如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，AD，BE交（1）求证：△ACD≌△BCE；BHMDNEAC（五）角平分线中的一个常见基本图形和基本结论③∠3+∠4=180°;④OA+OB=20M，若把其中任两个作为条件，都可得出另两个结论（1）已知：①②,求证③④（3）已知：①④,求证②③AB4OMC2（2）已知：①③,求证②④（4）已知：②③,求证①④ABAB43M2【例7】.如图，点M（2，2将一个90°的角尺的直角顶点放在M处，角尺的两边分别交yx轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB交OM于P，PN⊥x轴于N，把角yB（1）求证：OM平分∠AOB；BPxAxA1（3）ON+AB的值是否发生变化？试证明你的结论2【课后作业】=2CE.9、如图，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，求证：AB-AC＞P【观察探案】观察下面的图片，它们都有些什么共同特征?你还可以举出一些例子吗？概念：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成【试一试】像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.[辨析]轴对称与轴对称图形是同一概念吗？成轴对称的两个图形具有怎么的关系？图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直.AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点讨论发现什么样的规律.垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即【例1】已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，【思考】你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上[尺规作图]用尺规作线段的垂直平分线已知:线段AB,如图.求作:线段AB的垂直平分线.作法:122.作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.[思考]刚才的作图中，体现了哪些相等的条件，你能说明为什么这样做出来的就是垂直平【尺规作图】作轴对称图形作△ABC关于直线的对称图形？（【课后作业】1、如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是()A.上B.C.D.2、图所示的四个图案中的轴对称图形，只有一条对称轴的是()沿直线DE折叠，点A落在点A＇处，且点A＇在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm.4、（2009，黄冈）如图，△ABC与△A＇B＇C＇关于直线l对称，且∠A＝78°,∠C48°,则∠B的度数为()则线段PB的长度为()8、如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．AB垂直平分CD9、如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有()①AD=BD；②AC＝BC；③∠A=∠B；④∠ACD=∠BCD；⑤∠ADC=∠BDC＝90°.则△BEC的周长为()若P1P2＝5cm，则△PMN的周长是()A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm13、如图，已知△ABC中，∠A＝50°,∠B60°,AC的垂直平分线交AB于Q，垂足为P，则∠若AC＝8cm，△ABE的周长为14cm，求AB的长.AA处的一只老鼠正向洞口逃窜，若猫以与老鼠同样[操作]请利用轴对称的知识作一个等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴.1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）1、如图，△ABC中，AB=AC，求证∠B=∠C2、如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证BD=CD,AD⊥BC以上结论用符号语言描述为（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠_=∠__,__=_;（2）∵AB=AC，AD是中线，∴∠_=∠_,_⊥_;（3）∵AB=AC，AD是角平分线，∴_⊥_,_=__A【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D求：△ABC各角的度数.ADD【例2】如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。AD=AE。求证：BD=CE。[思考]：若△ABC为等腰直角三角形，除了以上结论外，你还可以得到哪些角或线段的关系【课后作业】1、等腰三角形的对称轴是()2、等腰三角形的顶角为80°,则一腰上的高与底边的夹角为()3、一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为()4、△ABC中，AB＝AC，AD⊥CB于D，则下列两角关系中正确的是()C.∠BAC=∠ACDD.∠BAC=∠CAD5、若等腰三角形的一个内角等于88°,则另两个内角的度数分别为()7、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于()∠GEF的度数是(9、已知等腰△ABC的周长是40cm，AD为底边上的高，△ABD的周长为30cm，则AD的长为10、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为()11、如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°,则∠BDC的度数为________使∠BAD=∠CAE＝90°,则∠DBC=________度=AE，DE的延长线交BC于点F．求证：DF⊥BC。求∠BCD、∠DBC的度数图1、求证1）PD=PE（2）AD+EC=AB第十四讲等腰三角形的判定[问题]某地质专家为估测一条东西流向河流的在这棵树的正南方(南岸A