《数学（第8版 上册）》 课件全套 劳动 第1-4章 运算与方程 - 三角函数

运算与方程第1章1目录1.1数与式的运算1.2解方程与方程组2学习目标1.能对实数进行分类，理解绝对值的几何意义和代数意义，能进行绝对值的运算.2.能进行整数指数幂的运算；掌握乘法公式，并会用于多项式的运算；能对简单的多项式进行因式分解；能进行整式、分式运算；掌握二次根式的运算.3.会解一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程组.31.1数与式的运算4实例考察为确保棉花的质量和产量双提升，某地按照棉花品质对棉花的种植者进行补贴.已知2023年度棉花价格基础补贴标准为每千克0.35元，同时，为进一步提高棉花质量，将对优质棉花给予额外的质量补贴，其中，（1）特种棉：每千克补贴0.8元；（2）陆地棉：每千克补贴0.7元；假设某棉农有特种棉xkg，陆地棉ykg，试问他能获得多少补贴？解决这个问题需要用到整式运算的知识.51.1.1整式的运算数与式的运算是数学中的基础内容，数的运算有加、减、乘、除、乘方、开方等；式的运算有整式、分式、二次根式的四则运算、因式分解等.如果一个式子中都是数或字母的积，例如实例考察中特种棉的额外补贴0.8x元，陆地棉的额外补贴0.7y元，这样的式子叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式，例如棉花价格基础补贴0.35（x+y）元.单项式与多项式统称为整式.6整式的加减运算一般地，几个整式相加减，如果有括号则先去括号，再合并同类项.整式的乘除运算一般地，当n为正整数时，有乘方运算其中，an

称为a的n次幂，a称为底数，n称为指数，规定a1=a，a0=1（a≠0）.7对于整数幂有以下运算法则（其中a，b≠0，m，n是整数）：（1）同底数幂的乘法am·an=am+n；（2）同底数幂的除法am÷an=am-n；（3）幂的乘方（am）n=amn；（4）积的乘方（a·b）n=an·bn；（5）负整数指数幂a-n=整式相乘时，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘；单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；多项式与多项式相乘，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.89某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用乘法公式写出结果：（1）平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；（2）完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2.整式相除时，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.因式分解

多项式的因式分解就是把一个多项式分解为几个整式相乘，它与整式乘法互为逆运算，即提公因式法如果一个多项式的每一项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式分解成两个因式相乘.公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以把某些具有特殊形式的多项式分解成几个因式相乘.10十字相乘法1.对二次项系数为1的一元二次三项式x2+（m+n）x+mn.由多项式的乘法法则可得公式x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），可以利用公式直接分解的多项式有以下特点：112.对二次项系数不为1的一元二次三项式ax2+bx+c（a≠1且a≠0）.先分解二次项系数，分别写在十字线左上角和左下角；然后分解常数项，分别写在十字线右上角和右下角；最后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数.

条件：（1）a=a1a2；（2）c=c1c2；（3）bx=a1c2x+a2c1x.

则ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.121.1.2分式的运算如果

A，B

是两个整式，并且

B

中含有字母，那么式子（B≠0）就叫做分式，其中A

为分子，B

为分母.例如：甲、乙两地距离600km，列车运行速度是200km/h，后因技术改造实现了提速，如果列车提速xkm/h，那么提速后列车的运行时间是h，这就是一个分式.13分式的基本性质

分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分式的值不变，即其中A，B，M

是整式且M≠0.14分式的运算法则

1.分式的加减运算.同分母加减，分母不变，分子加减，即异分母加减，先通分变成同分母，再利用同分母的运算进行计算或化简，即152.分式的乘法运算.分子乘以分子做分子，分母乘以分母做分母，即3.分式的除法运算.被除数乘以除数的倒数，再利用分式的乘法运算进行计算或化简，即161.1.3二次根式的运算我们在初中已经学过平方根：若x2=a（a≥0），则称x为a的平方根（二次方根），即x=±．0的平方根是0，负数没有平方根.二次根式我们把形如

（a≥0）的式子叫做二次根式，一般地，17二次根式的四则运算1.二次根式的加减运算.二次根式相加减时，可以先将二次根式化为最简根式，然后将被开方数相同的二次根式进行合并.2.二次根式的乘除运算.二次根式的乘法法则是二次根式的除法法则是181.2解方程与方程组19实例考察数学服务于生活，在我们平时生活中处处可见数学的影子，方程是刻画现实世界中数量关系的一种非常有效的数学模型.2023年杭州亚运会，我国运动员获得383枚奖牌，是日本运动员获得的奖牌数的2倍还多7枚，同学们知道日本运动员获得多少枚奖牌吗？根据问题我们不妨设日本运动员获得x枚奖牌，可得2x+7=383.201.2.1一元一次方程方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次是一次，这样的方程叫做一元一次方程.使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.方程中的未知数与已知数参与运算，通过运算将方程变形，最终变为“x=常数”

的形式，也就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值，即方程的解.变形过程的数学依据是等式的基本性质.21解一元一次方程的一般步骤如图所示.221.2.2一元二次方程方程x2+3x-4=0和（1-x）2=0的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.23一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0）的形式，称为关于x

的一元二次方程的一般式.其中ax2，bx，c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项、常数项，a，b分别叫做二次项系数和一次项系数.一元二次方程的常用解法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.24下面我们探讨用公式法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.将方程二次项系数化为1，得移项，得两边同时加上，得即25其中，由a≠0，得a2>0.对于b2-4ac，有以下三种情况：（1）当b2-4ac>0时，等号两边直接开平方，得则方程有两个不相等的实数根（2）当b2-4ac=0时，方程的有两个相等的实数根，即（3）当b2-4ac<0时，<0，方程没有实数根，或者说在实数范围内方程无解.26一般地，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，记作Δ=b2-4ac.当Δ≥0时，我们也可以把一元二次方程的求根公式记为求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果，利用公式，我们可以由一元二次方程的系数，直接求出方程的根，这种方法叫做公式法.271.2.3二元一次方程组如果在一个方程中有两个未知数，且最高次为1次，例如：x+2y=10，这样的方程叫做二元一次方程.如果只有这样一个方程，我们不难发现，满足条件的x，y有无穷多组，即方程有无穷多个解.如果方程的个数与未知数的个数相等，那么有可能可以唯一确定未知数的值.类似

由两个二元一次方程组成，每个未知数的项的次数都是1次的方程组叫做二元一次方程组.28对于上述方程组，我们发现x=4，y=3同时满足两个方程，所以把它们叫做

的解，记作

一般地，同时满足二元一次方程组中两个方程的解，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，也就是把解二元一次方程组化为解一元一次方程，就可以对未知数逐个求解.这种解方程组的思想就是消元思想，解二元一次方程组有以下两种基本方法.2930不等式与集合第2章31目录2.1不等式的性质与解集2.2一元一次不等式（组）2.3一元二次不等式2.4含有绝对值的不等式32学习目标1.掌握不等式的基本性质，并会应用这些性质对不等式进行等价变换.2.理解集合、元素的概念，会判断集合与元素的关系；掌握常用数集及空集的表示：理解区间的概念并写出对应的符号表示，会进行数集与区间的互化；会用区间表示不等式的解集，并在数轴上表示出来.3.会解一元一次不等式（组），会用集合（区间）表示解集及在数轴上表示出解集，理解交集的概念并会求集合的交集.4.能描述一元二次方程、二次函数和一元二次不等式的关系，会用“数形结合”方法求解一元二次不等式，并用集合（区间）表示其解集.5.理解含有绝对值不等式及其几何意义，会解含有绝对值的不等式并用集合（区间）表示其解集.332.1不等式的性质与解集34实例考察同学们，观察下图中左右两个天平，你发现了什么？通过本次课的学习，我们就可以解释这一规律.352.1.1不等式的性质从实数的大小关系出发，可以得到不等式的基本性质：性质1

不等式的两边同时加上（或减去）同一个实数（或式子），不等号的方向不变.即性质2

不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即36性质3不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即性质4不等式具有传递性，即如果a>b且b>c，那么a>c.372.1.2集合实例考察（1）求出满足不等式x<3的全体自然数.（2）求出满足不等式x+3<5的全体实数，并用数轴表示.我们知道满足不等式x<3的全体自然数有0，1，2.由不等式的性质1可知，满足不等式x+3<5的全体实数即为满足x<2的全体实数，如图所示.38所谓解集就是解的集合.一般地，某些指定的对象组成的全体叫做集合（简称集）.集合通常用大写英文字母A，B，C，…表示.集合中的每个对象都称为这个集合的元素.集合的元素通常用小写英文字母a，b，c，…表示.集合中的元素必须是确定的.如果给定一个集合，则任何一个对象是否为其中的元素应可明确判断.如果a是集合A

的元素，就说元素a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A

的元素，就说元素a不属于集合A，记作a∉A.39集合中的元素是互异且无序的，可以是字母、数字，甚至是图形.如果集合中的元素是数，那么这样的集合叫做数集.常用数集及其符号见下表.40常用数集表我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作⌀.集合的表示方法通常有两种：列举法和描述法.通过在大括号内一一列举集合中的所有元素表示集合的方法叫做列举法.用列举法表示集合，元素之间要用逗号分隔.{x|x<2}.像这样用集合中元素的公共属性来表示集合的方法叫做描述法.描述法的一般形式为{x|x具有的公共属性}.使不等式成立的数的全体组成的集合，就是不等式的解集.412.1.3区间不等式的解集往往是数集.例如：{x丨-1≤x≤2}，{x丨-4<x<1}，{x丨0<x≤3}，{x丨x≥7}，{x丨x≤-3}等.像这样的数集经常用区间来表示.设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：1.数集{x丨a≤x≤b}称为闭区间，用符号[a，b]表示.2.数集{x丨a<x<b}称为开区间，用符号（a，b）表示.3.数集{x丨a≤x<b}称为左闭右开区间，用符号[a，b）表示.4.数集{x丨a<x≤b}称为左开右闭区间，用符号（a，b]表示.42上面的这些数集都称为区间，其中[a，b）和（a，b]统称为半开半闭区间.这里的实数a，b分别称为区间的左端点和右端点.区间在数轴上可以用一条以a，b为端点的线段表示，区间闭的一端用实心点表示，区间开的一端用空心点表示.435.实数集R可用区间（-∞，+∞）表示，“+∞”

读作

“正无穷大”，“-∞”读作

“负无穷大”.数集{x|x≥a}，{x|x≤b}，{x|x>a}，{x|x<b}则分别用区间[a，+∞），（-∞，b]，（a，+∞），（-∞，b）表示，其中a，b也称为区间的端点.442.2一元一次不等式（组）45实例考察某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种螺丝刀的把手.现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格（单位：万元/台）和每台机器日生产把手的数量（单位：个）如下表所示.根据公司预算，本次购买机器所耗资金不能超过40万元.（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于370个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？46只含有一个未知数）并且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.我们在初中已经学过一元一次不等式的解法，利用不等式的性质，将不等式逐步化成x<a（或x>a）的形式.基本步骤如图所示.由于实数与数轴上的点具有一一对应关系，不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来.472.2.2一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.

不等式组中各不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集.一般地，由属于集合A

且属于集合B

的所有元素组成的集合，称为A

与B

的交集，记作A∩B，读作

“A

交B”，即A∩B={x丨x∈A

且x∈B}.48如图所示，图中的阴影部分即表示A∩B.由交集的定义可知，对于任意两个集合A，B，都有A∩A=A，A∩⌀=⌀，A∩B=B∩A.由此可知，求不等式组的解集即求不等式组的各不等式的解集的交集.49两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况，可以归结为以下四种基本类型（设a<b）.502.3一元二次不等式51实例考察受各种成本和销售策略的影响，随着商品销量提升，工厂的利润并非总是均匀增加的.请研究以下案例：某技工院校学生毕业回家乡创业，开办工厂生产金属模具并销售.已知工厂每天销售产品数量x（单位：件）与利润y（单位：元）之间满足关系式y=-10x2+400x.若该厂希望每天的利润在3000元以上，那么一天大约应销售多少产品?52根据题意得不等式-10x2+400x>3000，整理得x2-40x+300<0.这是一个关于x的不等式，求出满足这个不等式的解集是问题的关键.53不等式都只含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次，我们把这样的不等式称为一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0（a>0），或ax2+bx+c<0（a>0）.需要注意的是，一元二次不等式的二次项系数不等于0.54

二次函数y=x2-3x-4的图像是一条开口向上的抛物线，因此：（1）当y=0时，即得到一元二次方程x2-3x-4=0，解得方程的两个实数根x1=-1，x2=4.（2）由图可知，二次函数y=x2-3x-4的图像与x轴交点的坐标分别是（-1，0），（4，0）.（3）当y<0时，x

的取值范围是（-1，4），即不等式x2-3x-4<0的解集为（-1，4）.（4）当y>0时，x的取值范围是（-∞，-1）或（4，+∞）.55一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为A

与B

的并集，记作A∪B，读作

“A

并B”，即A∪B={x|x∈A

或x∈B}.下图中的阴影部分即表示A∪B.因此，不等式x2-3x-4>0的解集为（-∞，-1）∪（4，+∞）.56上述方法可以推广到任意的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0），或ax2+bx+c<0（a>0）.我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0），方程根的判别式为Δ=b2-4ac.它的根按照Δ>0，Δ=0，Δ<0可分为三种情况.相应地，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的位置关系也可分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式的解集，见下表.57582.4含有绝对值的不等式59实例考察在生产和生活中，我们经常会接触到注明误差范围的技术要求.如图所示是一工件加工图样，要求加工过程中，三角形的高为30mm，其中误差范围在±0.042mm.若一名学生加工的工件高为dmm，则d必须满足什么条件工件才合格？60设学生实际加工的工件高与30mm之间的差为x，则x=d-30.由以上要求可知，x最大为0.042，最小为-0.042，因此得-0.042≤x≤0.042.观察如图所示数轴，数轴上符合-0.042≤x≤0.042的点到原点的距离小于等于0.042，也就是说丨x

丨≤0.042,即丨d-30丨≤0.042.61例如丨x+1丨>5，丨3x-1丨≤2等.像这样的不等式称为含有绝对值的不等式.62函数第3章63目录3.1函数的概念及表示3.2函数的基本性质3.3幂函数3.4指数函数3.5对数函数64学习目标1.理解函数的概念，会用恰当的方法（解析法、列表法、图像法）表示函数.2.会求一些简单函数的定义域.3.理解函数值的概念，会求一些简单函数的值域.4.会判断一些简单函数的奇偶性、单调性，并能利用单调性确定函数的最大值或最小值.655.了解n次方根的概念，掌握实数指数幂的运算法则，能熟练地使用计算器求幂值.6.理解对数的概念，能进行对数式与指数式的互化；掌握对数的运算法则，能进行一些简单的对数运算.7.初步学会运用函数知识理解和解决简单实际问题.8.掌握由图识性、数形结合的数学思维方法，了解幂函数、指数函数、对数函数模型的实际背景，理解它们的概念，了解它们的图像特征和性质，并能够将这些知识用于解释生活和生产中有关指数增长、指数衰减以及对数增长的问题.663.1函数的概念及表示67实例考察（1）请你根据初中学过的知识，思考下列实例中的两个变量之间的函数关系，写出相应的函数解析式及自变量的取值范围（用不等式表示），并求出表格内相应的函数值.

面积

正方形面积y是边长x的函数，可表示为y=

，自变量x的取值范围为

.68个人所得税

按照我国税法规定，个人月收入的应纳税所得额中，超过5000元不超过8000元的部分，需缴纳3%的个人所得税.设某人月收入的应纳税所得额为x元（5000<x≤8000），个人缴纳的所得税为y元.这里y是x的函数，可表示为y=

，自变量x的取值范围为

.在以上两例中，当自变量x

在取值范围内取一个确定的值时，函数y有几个值与之对应?69（2）恩格尔系数

国际上常用恩格尔系数r反映一个国家平均家庭生活质量的情况.研究发现：一个家庭收入越少，恩格尔系数就越大；反之家庭收入越多，恩格尔系数就会越小.下表中为近8年来全国居民恩格尔系数情况，请问恩格尔系数r与年份x之间有什么关系呢？这些问题都可以用本章函数的知识来解决.703.1.1函数的概念71例如（正比例函数y=kx（k≠0）的对应关系是“乘以k”，定义域是（-∞，+∞），值域也是（-∞，+∞）；二次函数y=x2+c的对应关系是

“求平方再加c”，定义域是（-∞，+∞），值域是[c，+∞）.从函数的概念可以知道，函数的定义域和对应关系是构成函数的两大要素.函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就随之确定了.723.1.2函数的表示方法解析法我们学过的正比例函数y=kx（k≠0），反比例函数y=（k≠0），一次函数y=kx+b（k≠0），二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）都是用解析式来表示两个变量之间函数关系的.这种用解析式来表示函数的方法称为解析法.优点

用解析法表示函数简单明了，便于由自变量求出对应的函数值，也便于用数学方法来研究函数.缺点

变量的关系不够直观.73列表法列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法.例如，下表记录的是某同学小学一年级到五年级，各学期的数学期末考试成绩.在这里，考试成绩是学期序号的函数.优点

列表法表示的函数便于直接查找自变量对应的函数值.缺点

有时会数据不全.74图像法图像法是指在平面上用图像来表示两个变量之间函数关系的方法.优点

函数的图像法表示直观形象，能清晰地反映函数关系及变化趋势.缺点

有时无法画出函数的完整图像.用解析法、列表法和图像法表示函数各有利弊.我们可以根据需要，择优而用，也可以将其中几种方法结合使用.753.1.3函数关系的建立用数学方法解决问题时，常常需要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式（代数式、方程、表、图等）表示出来.通常，这个过程称为建立数学模型，简称建模.函数模型是数学模型中最常用的一种.由于实践中的大量问题是两个变量之间的关系问题，因此，建立两个变量之间的函数关系（函数模型）是很重要的.76在实际问题中，有时两个变量之间的对应关系式要分几段来表示.例如，我们寄快递时，物品的重量不超过1kg，付费13元；超过1kg而不超过2kg，付费15元；超过2kg而不超过3kg，付费17元.设物品的重量为xkg（0<x≤3），应付费为y元，则有①式表示了变量x∈（0，3]与y之间的函数关系，其中x是自变量，y是x的函数.这个函数与我们以前熟悉的各种函数不同：在自变量的不同取值范围内，函数的对应法则不同.我们把这样的函数称为分段函数.分段函数的定义域是自变量的几个取值范围的并集，它的图像要在同一个直角坐标系内逐段画出.77①式所表示的函数就是定义域为（0，3]，值域为{13，15，17}的分段函数，如图所示.7879对分段函数特别要注意以下几个问题：（1）分段函数虽然在形式上会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数；（2）分段函数的图像一般由多于一段的线段或曲线段以及点组成，同样也应该把它们看作一个整体，而不是几个图像；（3）在求分段函数的函数值时，需要注意的是，对给定的自变量，首先要确定它的范围，再根据该范围的对应法则（函数表达式），计算函数值.3.2函数的基本性质80实例考察已知二次函数f（x）=x2，反比例函数f（x）=

，请你通过计算，得到f（-x）与f（x）的关系，并通过观察它们的图像，指出函数的图像特征.81二次函数

f（x）=x2定义域D

为

.f（-1）=

，f（1）=

，得到f（-1）=

;f（-2）=

，f（2）=

，得到f（-2）=

.函数的图像特征:

.反比例函数

f（x）=定义域D

为

.f（-1）=

，f（1）=

，得到f（-1）=

;f（-2）=

，f（2）=

，得到f（-2）=

.函数的图像特征:

.823.2.1函数的奇偶性我们知道，二次函数f）x）=x2

的图像关于y轴成轴对称图形，这种对称性在数值上也能反映出来.通过计算，得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2）.事实上，对于任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=（-x）2=x2=f（x）.也就是说，函数f（x）=x2

具有f（-x）=f（x）的特性.83如果函数y=f（x）（x∈D）是偶函数，那么函数y=f（x）的图像关于y轴对称.反过来，如果函数y=f（x）的图像关于y轴对称，那么这个函数一定是偶函数.对于反比例函数f（x）=，我们知道，它的图像关于原点中心对称，这种对称性在数值上也能反映出来.对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有也就是说，函数f（x）=

具有f（-x）=-f（x）的特性.84如果函数y=f（x）（x∈D）是奇函数，那么函数y=f（x）的图像关于原点中心对称图形.反过来，如果函数y=f（x）的图像关于原点中心对称图形，那么这个函数一定是奇函数.一个函数是奇函数或偶函数，我们就说这个函数具有奇偶性.根据奇函数和偶函数的定义，可以得到：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性所必须具备的条件.如果一个函数既不是奇函数，又不是偶函数，我们就把这个函数称为非奇非偶函数.853.2.2函数的单调性我们知道，对于一次函数y=kx+b（k≠0），如果k>0，那么当x∈（-∞，+∞），且x逐渐增大时，y的值随之逐渐增大.如果k<0，那么当x∈（-∞，+∞），且x逐渐增大时，y的值随之逐渐减小.上述现象反映了函数的一个基本性质———单调性.86现在来观察二次函数y=x2-2，当x在定义域（-∞，+∞）内变化时，它的图像的变化趋势如图所示.我们发现，当x∈（-∞，0]，x

逐渐增大时，y

的值随之逐渐减小；当x∈[0，+∞），x

逐渐增大时，y的值随之逐渐增大.878889如果函数y=f（x）在区间I上单调递增或单调递减，我们就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I称为函数y=f（x）的单调区间.由上可知，二次函数y=x2-2在定义域（-∞，+∞）上没有单调性，但在（-∞，0]上单调递减，区间（-∞，0]为函数的单调减区间；在[0，+∞）上单调递增，区间[0，+∞）为函数的单调增区间.3.2.3函数的最大值与最小值我们知道，二次函数y=x2-2的图像是一条抛物线，顶点（0，-2）是抛物线上的最低点，即对于任意的x，都有f（x）≥f（0）.从而得到，当x=0时，函数y取得最小值为-2.由于该函数图像没有最高点，所以函数y没有最大值.903.3幂函数91实例考察日常生活中，我们经常遇到指数相关的运算，例如：某正方形的边长为a，那么正方形的面积S=

；某商品的立方体纸盒边长为a，那么该纸盒的体积V=

.除了以上正整数指数幂运算外，我们还会出现非整数指数幂的运算，例如：一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a=

；某同学骑车用时间ts行进了1km，那么他骑车的平均速度v=

.923.3.1实数指数幂平方根

若x2=a（a≥0），则称x为a的平方根（二次方根）.立方根

若x3=a，则称x为a的立方根（三次方根）.n次方根若xn=a（a是一个实数，n是大于1的正整数），则称x为a的一个n次方根.当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里有两个n次方根，它们互为相反数，分别为

和；而对于每一个负数a，它的n次方根是没有意义的.当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只有一个n次方根，表示为，当a>0时，>0；当a<0时，<0.0的n次方根是0，即=0.93n次根式我们把形如（有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，非负数的n次方根

称为a的n次算术根，并且=a（n>1，n为正整数）.94学习了n次方根的概念，现在我们可以把整数指数幂推广到有理指数幂.例如，对于正分数指数幂，应用幂的运算法则，有又因为，所以一般地，规定其中，当n为偶数时，a≥0；当n为奇数时，a∈R.等式

的左边是分数指数幂的形式，右边是根式的形式，根据需要可以相互转换.95同样可以规定负分数指数幂的意义：设a≠0，n，m∈N*，且n>1，规定这样，就把整数指数幂的概念推广到有理指数幂.可以证明整数指数幂的运算法则对于有理数指数幂也同样适用，但须注意法则中出现的每一个有理数指数幂都应有意义.事实上，还可以将有理数指数幂推广到实数指数幂，当

m，n为实数时，整数指数幂的运算法则也成立.963.3.2幂函数初中时，我们学习过一次函数y=x，二次函数y=x2，反比例函数y=（y=x-1）的解析式，可以发现：它们都是以幂的形式出现，幂的底数是自变量x，指数是常数.97我们观察一次函数y=x，二次函数y=x2，反比例函数y=

的图像，如图所示.可以发现，幂函数的定义域、值域、单调性和常数α的取值有关，但它有一个很明显的特点，即当x=1时，y=1，所以，它的图像恒过点（1，1）.983.4指数函数99实例考察细胞分裂问题

某种细胞的分裂规律为：1个细胞1次分裂成2个与它本身相同的细胞.一个这样的细胞经过x

次分裂后，得到的细胞的个数是多少？第1次分裂后，细胞的个数是2；第2次分裂后，细胞的个数是2×2=22；第3次分裂后，细胞的个数是

；……设第x次分裂后，细胞的个数是y，则y=2x，即经过x次分裂后，得到的细胞个数是2x.100药物剩余问题

某种药物静脉注射后，通过尿液排出体外，每经过1天，药物在体内的剩余量就减少50%.成人单次注射这种药物1g，经过x天后，药物在体内的剩余量是多少？1天后，药物在体内的剩余量是1×50%=0.5g；2天后，药物在体内的剩余量是

；3天后，药物在体内的剩余量是

；……设x天后，药物在体内的剩余量是yg，则y=0.5x，即经过x天后，药物在体内的剩余量是0.5xg.由上述两个问题得到的函数具有相同的特点，即自变量x都作为指数，而底数都是大于0且不等于1的常量.1013.4.1指数函数的概念指数函数y=ax（a>0；且a≠1）的定义域是（-∞，+∞）.1023.4.2指数函数的图像和性质指数函数y=ax

的底a的取值范围可以分为0<a<1和a>1两种情形，我们仍然以前面出现过的指数函数y=2x

和y=为例进行讨论.为了便于研究，我们在同一平面直角坐标系中用描点法画出函数y=2x

和y=的图像.列表：103

从上面指数函数y=2x

和y=的图像，可以得到：（1）两个图像都在x轴上方，它们的函数值y>0.（2）两个图像都过点（0，1），即当x=0时，y=1.（3）y=2x

的图像沿x轴的正方向上升，指数函数y=2x

在定义域内是增函数；y=的图像沿x轴的正方向下降，指数函数y=在定义域内是减函数.104一般地，指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的图像和性质如下：1053.5对数函数106实例考察细胞分裂的次数

已知某种细胞的分裂规律为：1个细胞1次分裂成2个与它本身相同的细胞.即1个细胞经过第1次分裂成为2个；经过第2次分裂成为4个……那么，第几次分裂后恰好出现16个细胞？第几次分裂后恰好出现128个细胞？从上节内容可知，分裂后的细胞个数y和分裂的次数x之间的函数关系式为y=2x.上面的问题可以归结为：已知y=16，128时，求指数x

的值，相当于指数函数的逆运算.1073.5.1对数的有关概念在代数式ab=N

中有a，b，N

三个量，若已知其中两个量，就可以求出第三个量.已知a，b，求

N

是乘方运算；已知b，N，求a是开方运算；已知a，N，求b是什么运算呢?已知a，N

求b的运算是对数的运算.对数的定义108通常，我们称等式ab=N

为指数式，称等式logaN=b为对数式.

根据对数的定义，可以得到，当a>0，且a≠1时，

由上述指数式与对数式的关系，可以得到如下结论：1.零和负数没有对数；2.loga1=0，logaa=1（a>0，且a≠1）；3.alogaN=N（a>0，且a≠1）；4.logaab=b（a>0，且a≠1）.109常用对数和自然对数

我们把以10为底的对数称为常用对数.log10N通常可简记为lgN.例如，log102可简记为lg2.常用对数可以用计算器求值.

科学技术中，常出现以无理数e（e≈2.71828）为底的对数，称为自然对数.logeN

通常可简记为lnN，例如，loge5可简记为ln5.自然对数也可以用计算器求值.1103.5.2对数的运算法则由对数定义可知：若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则有：法则1loga（M·N）=logaM+logaN法则2法则3111下面我们来证明法则1和法则3.设logaM=p，logaN=q，把它们化为指数式：M=ap，N=aq，M·N=ap·aq=ap+q，Mn=（ap）n=apn，所以loga（M·N）=logaap+q=p+q=logaM+logaN，logaMn=logaapn=pn=nlogaM.112换底公式如何求log23呢?计算器上求对数的键只有

键和

键，因此，很自然地要把求log23的问题转化为求常用对数或自然对数.设log23=x，则有2x=3.将上式两边取常用对数，有1g2x=1g3，即x1g2=1g3，113所以即同样，也可用自然对数表示log23的值，即114我们将上述方法推广，就可给出对数的换底公式：若a>0，且a≠1，N>0，则有1153.5.3对数函数的概念设1个细胞经过y次分裂后，得到的细胞个数为x.根据上节所述，我们知道x与y的关系为x=2y，指数式x=2y的对数式是y=log2x（x>0），它是细胞分裂的次数y关于细胞个数x的函数.函数y=log2x以对数形式出现，真数x为自变量，底数为常数.由于对数函数y=logax（a>0，且a≠1），自变量x

是真数，因此，对数函数的定义域是（0，+∞）.116我们前面学过指数函数y=ax（a>0，且a≠1），它的对数形式是x=logay.如果互换x=logay中的字母x和y，就可以把它改写成对数函数的形式：y=logax.一般地，设函数y=f（x），定义域为

D，值域为M，如果对于

M

中的每一个y的值，都可以从关系式y=f（x）确定唯一的x的值（x∈D）与之对应，这样就确定了一个以y为自变量的新函数，这个新函数就称为函数y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y）.按习惯，我们互换x=f-1（y）中的字母x，y，把它写成y=f-1（x）的形式，它的定义域为

M，值域为D.117我们把指数函数y=ax（a>0，且a≠1），x∈（-∞，+∞）和对数函数y=logax（a>0，且a≠1），x∈（0，+∞）之间的关系称为互为反函数的关系.例如，函数y=2x

的反函数是y=log2x.y=2x

的定义域和值域分别是反函数y=log2x的值域和定义域.我们把它们的图像画在同一直角坐标系中，如图所示.不难发现，它们的图像关于直线y=x对称.1183.5.4对数函数的图像和性质与指数函数类似，对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的底数a也分为0<a<1和a>1两种情况.下面我们以y=logax和y=logx为例，讨论对数函数的图像和性质.列表：119我们在同一个平面直角坐标系中描点、连线后可得y=log2x和y=logx的函数图像，如图所示.120观察对数函数y=log2x和y=logx的图像，可以得到：（1）两个图像都在y轴的右边.（2）两个图像都过点（1，0），即当x=1时，y=0.（3）y=log2x

的图像沿x

轴的正方向上升，对数函数y=log2x在定义域内是增函数；y=logx

的图像沿x

轴的正方向下降，对数函数y=logx在定义域内是减函数.121一般地，对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的图像和性质如下：122三角函数第4章123目录4.1角的概念的推广4.2任意角的三角比4.3三角比的诱导公式4.4三角函数的图像与性质4.5正弦型函数124学习目标1.了解任意角的概念，会在直角坐标系中作任意角.2.理解弧度制是用实数表示角的一种制度，会进行角度与弧度的换算.3.会用三角比的定义和同角三角比的关系来求已知角的正弦、余弦和正切的值；会用计算器求任意角的三角比的值.4.会利用诱导公式把任意角的三角比的值化为锐角的三角比的值.5.会用五点法作正弦函数、余弦函数和正弦型函数的图像，并能根据图像得到它们的性质；会用描点法作正切函数的图像，并能根据图像得到它的性质.6.能通过三角函数的学习，认识周期现象的变化规律，并能用其解释一些自然现象.1254.1角的概念的推广126实例考察（1）如图a所示，公园里的摩天轮，选定一个机械臂的起始位置作为始边，如果机械臂从这个起始位置旋转一周，就说它转过了360°，那么当它转过一周半或者转过两周时，它转过了多少度呢？（2）如图b所示，如果时钟快了2h，应该如何校准？

校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？

如果时钟慢了2h呢？1274.1.1角的概念的推广我们规定：

按上述规定，我们就把角的概念推广到了任意角.128例如，摩天轮的机械臂转过一周半转了540°，转过两周转了720°；时针快2h，分针校准时旋转-720°，慢2h，分针校准时旋转720°.为了能准确地表示一个角，我们在画角的时候，不仅要表示出旋转方向，而且要把形成这个角的旋转过程表示出来.例如，在下图中，正角α=600°，负角β=-60°.1294.1.2象限角与终边相同的角为了方便，我们常把角放到平面直角坐标系中进行讨论.以平面直角坐标系xOy的原点O

为角的顶点，让角的始边与x

轴的正半轴重合，这时角的终边落在坐标系中的第几象限，就说这个角是第几象限角.如果一个角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.例如，在下图中，45°角是第一象限角，-240°角是第二象限角，585°角是第三象限角，300°角是第四象限角，90°角与-180°角不是象限角.130131

在0°~360°范围内，各象限角的范围如图所示.132

在同一直角坐标系中，画出30°，390°，750°，-330°角，如图所示.133

从上图可以看出，390°，750°，-330°角的终边都与30°角的终边相同.我们把它们称为与30°角终边相同的角，而且，30°=30°+0×360°，390°=30°+1×360°，750°=30°+2×360°，-330°=30°+（-1）×360°.134135这样我们可以得到与30°角终边相同的角（含30°角在内）的一般表达式β=30°+k·360°，k∈Z.4.1.3弧度制在初中，我们把圆周分成360等份，每一份称为1度的弧，1度的弧所对的圆心角称为1度（1°）的角.我们还知道1°=60'，1'=60″.这种度量角的单位制称为角度制.在数学和工程实际中还常用另一种度量角的单位制———弧度制.我们规定：136如图所示，AB

弧的长度等于圆O

的半径r，则AB

弧所对的圆心角为1rad的角.根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角α的大小是rad，即由于圆周的长度是2πr，在弧度制下它所对的圆心角的大小是因为圆周角用角度表示为360°，所以可得出360°=2πrad.137由此可得到度与弧度的换算公式：角的弧度数用实数表示，而且，任何一个角的弧度数必定是唯一确定的实数；反过来，任何一个实数也都可以看作是一个弧度数，它对应唯一确定的一个角.因此，角（弧度制表示）的集合与实数集R之间建立了一一对应关系，如图所示.1384.2任意角的三角比139实例考察在上一节的学习中，我们推广了角的概念，并介绍了在直角坐标系中研究角的方法，这种方法是否也能使锐角三角比的概念推广到任意角的三角比呢？下面我们来考察在直角坐标系中的锐角三角比.在直角三角形中

如图所示，在直角三角形OPM

中，∠M

是直角.锐角α的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有140在直角坐标系中

如图所示，在锐角α的终边上任取一点P（原点除外)，过点P作x轴的垂线，垂足为

M，这样就得到了直角三角形OPM.设点P

的坐标为

(x，y)，则角α的对边MP

的长是y，邻边OM

的长是x，斜边OP的长是r.其中r=(r>0).由此，得到1414.2.1任意角的三角比在直角坐标系中，锐角三角比可以用其终边上点的坐标来定义.这种方法同样适用于定义任意角的三角比.如图所示，在任意角α的终边上任取一点P，设点P

的坐标为（x，y），OP=r，则142我们这样定义三角比：如图所示，由相似三角形的性质，可知比值（x≠0）只依赖于角α的大小，与点P

在角α的终边上的位置无关.必须指出，当α=+kπ（k∈Z）时，点P

的横坐标x=0，此时tanα没有意义.除此以外，对于每一个确定的角α，三个三角比都有意义.143下面给出了一些特殊角的三角比的值，记住它们对于解决实际问题会有很大帮助.1444.2.2三角比值的符号我们知道，角α的终边上点P

坐标值的符号决定了角α的三角比值的符号，各三角比值在各个象限的符号列表如下：145如图所示，角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），r=OP=1.由三角比的定义，得146根据点P

的横坐标x和纵坐标y的符号，可以确定当角α的终边在不同的象限时sinα，cosα与tanα的符号，如图所示.1474.2.3利用计算器求已知角三角比的值利用计算器求已知角三角比的值时，角的大小、正负可以是任意的；角的单位可以是度，也可以是弧度.因此，在计算三角比值之前，必须先使用

键，把计算器调到相应的状态.1484.2.4同角三角比的基本关系一般地，如图所示，设P（x，y）是角α的终边与单位圆O

的交点，则丨OP丨=1，sinα=y，cosα=x.因为丨OP丨=r=，所以sin2α+cos2α=x2+y2=1.

当α≠+kπ（k∈Z）时，由三角比的定义可得149

于是，得出同角三角比的基本关系：借助同角三角比的基本关系和三角比的定义，当我们知道一个角的某个三角比的值时，就可求出这个角的其他的三角比的值.另外，还可以利用它们来化简同角的三角式.1504.3三角比的诱导公式151实例考察角-α与角α的终边关于x轴对称.如图所示，在角α的终边上取一点P，使OP=1，设点P

的坐标为（x，y），则点P'（x，-y）必在角-α的终边上，那么-α的三角比和α的三角比之间有什么联系？

三角比的诱导公式可以帮你解密.152

对于任意角α，在直角坐标系中，角α+2kπ（k∈Z），-α，π+α，π-α的终边与角α的终边有着特殊的关系.我们可以用几个公式表达上述关系.这些公式称为诱导公式.4.3.1有关α+2kπ（k∈Z）的诱导公式我们知道，在直角坐标系中，角α+2kπ（k∈Z）与角α的终边相同.根据三角比的定义，它们的同名三角比的值相等，即

利用公式一，我们能将任意角的三角比化为[0，2π）内的角的三角比.1534.3.2有关-α

的诱导公式在角α的终边上取一点P，使OP=1，设点P的坐标为（x，y），则点P'（x，-y）必在角-α

的终边上，且OP'=1.因为r=1，所以154由此，得到有关-α的诱导公式：利用公式二，我们能将任意负角的三角比转化为正角的三角比.由公式一和公式二得：sin（2π-α）=sin（-α+2π）=sin（-α）=-sinα，cos（2π-α）=cos（-α+2π）=cos（-α）=cosα，tan（2π-α）=tan（-α+2π）=tan（-α）=-tanα.155

由此，得到2π-α的诱导公式：1564.3.3有关π±α

的诱导公式如图所示，把任意角α的终边按逆时针方向旋转π弧度，就得到了角π+α的终边.从下图中可以看出，角π+α的终边与角α的终边关于原点对称.在角α的终边上取一点P，使OP=1，设点P

的坐标为（x，y），则点P'（-x，-y）必在角π+α的终边上，且OP'=1.所以157由此，得到有关π+α的诱导公式：由公式四和公式二得sin（π-α）=sin[π+（-α）]=-sin（-α）=sinα，cos（π-α）=cos[π+（-α）]=-cos（-α）=-cosα，tan（π-α）=tan[π+（-α）]=tan（-α）=-tanα.158由此，得到有关π-α的诱导公式：159利用三角比的诱导公式将任意角的三角比化为锐角三角比，一般可按下面步骤进行：1604.4三角函数的图像与性质1614.4.1正弦函数y=sinx

的图像与性质正弦函数y=sinx

的图像先用描点法画出y=sinx在区间[0，2π]上的图像.列表：用计算器计算表中的正弦函数值（精确到0.01），并填入表中.162描点：以表中对应x，y

值为坐标，在坐标系中描点.连线：将所描各点顺次用光滑曲线连接起来，即完成所画的图像.如上图b所示为用计算机软件绘制的正弦函数在区间[0，2π]上的图像.请照此核对你画的图像.163正弦函数的定义域是R，因此我们需要将y=sinx（x∈[0，2π]）的图像向两边扩展.现在，我们再利用“描点法”在同一坐标系中继续画出正弦函数

y=sinx

在区间[-2π，0]上的图像（即下图中y轴左侧的曲线）.164从上图可以看到，正弦函数在区间[-2π，0]和[0，2π]上的图像形状完全相同，只是位置不同.因此，y=sinx

在区间[-2π，0]上的图像，可以看作是把y=sinx在区间[0，2π]上的图像向左平移2π个单位得到的.事实上，由于终边相同的角的正弦函数值相等，即sin（x+2kπ）=sinx，k∈Z.正弦函数y=sinx

在区间…，[-6π，-4π]，[-4π，-2π]，[-2π，0]，[2π，4π]，[4π，6π]，…上的图像，都与它在区间[0，2π]上的图像形状完全一样，只是位置不同.我们把正弦函数y=sinx

在区间[0，2π]上的图像向左、右分别平移2π，4π，6π，…个单位，就能得到正弦函数

y=sinx（x∈R）的图像.165我们把正弦函数y=sinx（x∈R）的图像称为正弦曲线.由y=sinx（x∈[0，2π]）的图像可以看出，下面五个点在确定图像形状时起着关键作用：这五个点描出后，正弦函数y=sinx（x∈[0，2π]）的图像形状就基本上确定了.今后，当对精确度要求不高时，我们只需描出这五个关键点，用光滑的曲线顺次连接它们就可得到正弦函数在[0，2π]上的图像.像这样画正弦函数图像的方法称为五点法作图.166正弦函数y=sinx

的性质（1）定义域：正弦函数y=sinx的定义域是R.（2）值域：正弦函数y=sinx的值域是[-1，1].通过分析正弦函数的图像可知：当x=+2kπ（k∈Z）时，正弦函数y=sinx

取得最大值1，即

ymax=1；当

x=+2kπ（k∈Z）时，正弦函数y=sinx取得最小值-1，即ymax=-1.（3）周期性：一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x）.那么，函数f（x）就称为周期函数.非零常数T称为这个函数的周期.167我们知道，对于任意实数x都有sin（2kπ+x）=sinx（k∈Z），所以正弦函数y=sinx

是一个周期函数，并且…，-6π，-4π，-2π，2π，4π，6π，…都是它的周期.我们把所有周期中最小的正数2π称为正弦函数y=sinx

的最小正周期.今后，如果不特别说明，函数的周期均指最小正周期.因此，正弦函数y=sinx是周期函数，周期T=2π.函数的周期性在图像上的反映是同一形状的图形重复出现.因此，周期函数一般只要画一个周期的图像就可以了.（4）奇偶性：因为正弦函数y=sinx的图像关于原点对称，所以正弦函数y=sinx是奇函数.168（5）单调性：观察正弦曲线在一个周期

上的图像：当x由

增大到

时，曲线逐渐上升，函数y=sinx的值由-1增大到1；当x

由

增大到

时，曲线逐渐下降，函数y=sinx的值由1减小到-1.因此，正弦函数y=sinx在区间

上单调递增，在区间

上单调递减.（6）与x轴的交点：当x=kπ（k∈Z）时，y=sinx=0.因此，正弦函数与x轴的交点的横坐标是x=kπ（k∈Z）.1694.4.2余弦函数y=cosx

的图像与性质余弦函数y=c