沪教版2024-2525学年六年级数学上册同步讲义第13讲方程与列方程等式的性质(八大题型)(学生版+解析)

第13讲方程与列方程等式的性质（八大题型）学习目标1、知道方程的概念、掌握列方程、方程的解；2.学会等式的性质及应用；3、解方程的概念、利用等式的性质解方程；一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．

3．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.二、等式的性质

1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.

知识引入：已知图3-2-1中(1)(3)的天平平衡.从图3-2-1(1)到图3-2-1(2),天平左右两边的质量各发生了怎样的变化?天平的平衡状态有无变化?从图3-2-1(3)到图3-2-1(4)呢?观察图3-2-1(1)和图3-2-1(2)可以发现，平衡的天平两边加上同样的砝码，天平仍保持平衡.观察图3-2-1(3)和图3-2-1(4)可以发现，平衡的天平两边减去同样的砝码，天平也保持平衡.等式就像平衡的天平，也具有同样的性质.等式的性质：

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：

如果，那么(c为一个数或一个式子).

我们还能发现，平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的2倍，天平仍保持平衡.平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的一半，天平也保持平衡.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点：根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．三、解方程、利用等式的性质解方程1.我们可以用等式性质1,求得方程(x+16)-17=11的解.合并同类项，得x-1=11.根据等式性质1,在等式两边同加上1,得x-1+1=11+1.解得x=12.2.我们可以用等式性质2,求得方程3y+y=152的解.合并同类项，得4y=152.根据等式性质2,在等式两边同除以得4y÷4=152÷4.解得y=38.以上求方程的解的过程叫作解方程.题型1：方程的概念【典例1】．下列各式中属于方程的是（）A． B． C． D．【典例2】．下列说法中正确的是（

）A．含有未知数的式子叫方程 B．能够成为等式的式子叫方程C．方程就是等式，等式就是方程 D．方程就是含有未知数的等式【典例3】．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（

）．A．①②④⑤ B．①②⑤ C．①④⑤ D．6个都不是【典例4】．判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”并说明原因．（1）－2＋5＝3（

）；（2）3x－2＝7（

）

（3）m＝5（

）；（4）x＞4（

）（5）x＋y＝6（

）；（6）2x²－5x＋1＝0（

）（7）2a＋b（

）；（8）x＝3（

）题型2：列方程【典例5】．根据下列条件，列出方程．（1）x的倒数减去-5的差为9；（2）5与x的差的绝对值等于4的平方；（3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40；（4）y减去13的差的一半为x的．【典例6】．只列方程，不解方程(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？【典例7】．两数a、b的平方和等于这两数的积的两倍，用等式表示为．【典例8】．一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为．【典例9】．几个人共同种一批树苗，如果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种；如果每人种6棵，则缺4棵树苗．若设参与种树的人数为人，可列方程．题型3：方程的解【典例10】．下列方程中，解为的方程是（

）A． B． C． D．【典例11】．若是关于x的方程的解，则a的值是(

)．A． B．0 C．2 D．3【典例12】．方程的解．（填“是”或“不是”）【典例13】．，各是下列哪个方程的解？（1）；（2）；（3）．题型4：等式的性质【典例14】．下列利用等式的性质，错误的是（

）A．由，得到 B．由，得到C．由，得到 D．由．得到【典例15】．下列说法中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【典例16】．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【典例17】．利用等式的性质解下列方程：（1）；（2）；（3）．【典例18】．若，则下列式子正确的有（

）①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例19】．下列变形正确的是（

）A．变形得B．变形得C．变形得D．变形得【典例20】．方程从到变形的依据是．【典例21】．认真思考，回答下列问题：（1）由能不能得到？为什么？（2）由能不能得到？为什么？（3）由能不能得到？为什么？（4）由能不能得到？为什么？反之，能不能由得到？为什么？（5）由，能不能得到？为什么？【典例22】．若，则．【典例23】．若，则．题型5：等式的性质的应用【典例24】．如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（）

A．350克 B．300克 C．250克 D．200克【典例25】．如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（

）A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【典例26】．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么题型6：分析利用等式的性质变形过程【典例27】．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示：将等式变形两边同时加，得（第①步）两边同时除以，得（第②步）(1)第______步等式变形产生错误；(2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值．【典例28】．在将等式变形时，小明的变形过程如下：因为，所以，（第一步）所以．（第二步）(1)上述过程中，第一步的依据是什么？(2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正．题型7：利用等式的性质解方程【典例29】．利用等式的性质，在横线上填上适当的数或式子，并说明变形的根据．（1）如果，则，根据；，根据；（2）如果，则，，根据；，根据．【典例30】．利用等式的性质解下列方程：(1)(2)(3)(4)．【典例31】．利用等式性质解方程(1)(2)(3)(4)【典例32】．利用等式的性质解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．题型8：方程的解等式的性质综合应用【典例33】．要使关于的方程无解，则常数的值应取（

）A．1 B． C． D．0【典例34】．关于x的一次式的值随的取值不同而不同，如表是当取不同值时对应的一次式的值，则关于的方程的解是（

）01220A． B． C． D．【典例35】．将9个数填入(三行三列)的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图，一个三阶幻方如下，若，，，，则整式．一、单选题1．在①；②；③；④中，方程共有（

）A．1个 B．3个 C．2个 D．4个2．是下列方程的解的有（）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．4．下列方程中，解为的是（）A． B．C． D．5．下列说法中，正确的有（

）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．下列语句：①含有未知数的代数式叫方程;②方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立;③等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式;④x=-1是方程-1=x+1的解.其中错误的语句的个数为（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．下列方程的变形，正确的是（

）A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得8．如图中“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平如图（1）、（2）所示均保持平衡．为了使第三架天平如图（3）所示也能保持平衡，现在“？”处只放置“■”物体．那么应放“■”的个数是（

）（1）如果，那么，理由：根据等式性质，在等式两边．（2）如果．那么．理由：根据等式性质，在等式两边．（3）如果，那么，理由：根据等式性质，在等式两边．（4）如果，那么．理由：根据等式性质，在等式两边．15．列等式表示：比的倍大的数等于的倍，得16．（填“是”或“不是”）方程的解.17．已知，利用等式的基本性质，的值为．18．有个球，其中的球质量相同，另有个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少次可以找出这个较轻的球．三、解答题19．根据下列条件，列出方程；（1）x的3倍减5，等于x的2倍加1；（2）x的30%加2的和的一半，等于x的20%减5．20．根据题意列出方程．(1)一个数的与3的差等于最大的一位数，求这个数；(2)从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一个长方形条，余下的面积是80cm2，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？(3)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？21．，各是下列哪个方程的解？（1）；（2）；（3）．22．下列方程的变形是否正确？为什么？(1)由，得．(2)由，得．(3)由，得．(4)由，得．23．利用等式的性质解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．24．用等式的性质解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．25．某天王强对张涛同学说：“我发现5可以等于4．这里有一个方程：5x﹣8=4x﹣8，等式两边同时加上8得5x=4x，等式两边同时除以x得5=4．”请你想一想，王强说的对吗？请简要说明理由．26．能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？27．已知关于的方程，当，为何值时：(1)方程有唯一解；(2)方程有无数个解；(3)方程无解．第13讲方程与列方程等式的性质（八大题型）学习目标1、知道方程的概念、掌握列方程、方程的解；2.学会等式的性质及应用；3、解方程的概念、利用等式的性质解方程；一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．

3．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.二、等式的性质

1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.

知识引入：已知图3-2-1中(1)(3)的天平平衡.从图3-2-1(1)到图3-2-1(2),天平左右两边的质量各发生了怎样的变化?天平的平衡状态有无变化?从图3-2-1(3)到图3-2-1(4)呢?观察图3-2-1(1)和图3-2-1(2)可以发现，平衡的天平两边加上同样的砝码，天平仍保持平衡.观察图3-2-1(3)和图3-2-1(4)可以发现，平衡的天平两边减去同样的砝码，天平也保持平衡.等式就像平衡的天平，也具有同样的性质.等式的性质：

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：

如果，那么(c为一个数或一个式子).

我们还能发现，平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的2倍，天平仍保持平衡.平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的一半，天平也保持平衡.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点：根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．三、解方程、利用等式的性质解方程1.我们可以用等式性质1,求得方程(x+16)-17=11的解.合并同类项，得x-1=11.根据等式性质1,在等式两边同加上1,得x-1+1=11+1.解得x=12.2.我们可以用等式性质2,求得方程3y+y=152的解.合并同类项，得4y=152.根据等式性质2,在等式两边同除以得4y÷4=152÷4.解得y=38.以上求方程的解的过程叫作解方程.题型1：方程的概念【典例1】．下列各式中属于方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据方程式的定义“既含有未知数又是等式”即可求解．【解析】解：A、既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程，故本选项正确；B、不含有未知数，不是方程，故本选项错误；C、不是方程，故本选项错误；D、是不等式，不是方程，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了方程的定义，熟记知识点是解题关键．【典例2】．下列说法中正确的是（

）A．含有未知数的式子叫方程 B．能够成为等式的式子叫方程C．方程就是等式，等式就是方程 D．方程就是含有未知数的等式【答案】D【分析】根据方程的定义结合选项选出正确答案即可．【解析】A、含有未知数，但不是方程，A选项错误；B、是等式，但不是方程，B选项错误；C、是等式，但不是方程，C选项错误；D、方程就是含有未知数的等式，D选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含未知数的等式叫方程．【典例3】．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（

）．A．①②④⑤ B．①②⑤ C．①④⑤ D．6个都不是【答案】A【分析】根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可．【解析】解：①2x-1=5符合方程的定义，故本小题正确；②4+8=12不含有未知数，不是方程，故本小题错误；③5y+8不是等式，故本小题错误；④2x+3y=0符合方程的定义，故本小题正确；⑤2x2+x=1符合方程的定义，故本小题正确；⑥2x2-5x-1不是等式，故本小题错误．综上，是方程的是①④⑤．故选：C．【点睛】本题考查了方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解答此题的关键．【典例4】．判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”并说明原因．（1）－2＋5＝3（

）；（2）3x－2＝7（

）

（3）m＝5（

）；（4）x＞4（

）（5）x＋y＝6（

）；（6）2x²－5x＋1＝0（

）（7）2a＋b（

）；（8）x＝3（

）【答案】（1）×；见解析；（2）√；（3）√；（4）×；见解析；（5）√；（6）√；（7）×；见解析；（8）√【解析】略题型2：列方程【典例5】．根据下列条件，列出方程．（1）x的倒数减去-5的差为9；（2）5与x的差的绝对值等于4的平方；（3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40；（4）y减去13的差的一半为x的．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）表示出x的倒数，再表示出这个倒数与-5差等于9，即可得方程；（2）表示出5与x差，根据差的绝对值等于4的平方，即可得方程；（3）根据长方形周长公式即可得方程；（4）表示出y与13差，再表示出这个差的一半，以及x的，即可得方程．【解析】（1）根据题意，得：，【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出方程，建立方程要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的相等关系关系．【典例6】．只列方程，不解方程(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？【答案】(1)(2)【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得．【解析】（1）解：设这个班女生有人，由题意列方程为．（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，由题意列方程为．【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．【典例7】．两数a、b的平方和等于这两数的积的两倍，用等式表示为．【答案】【分析】根据题意列出代数式即可．【解析】解∶由题意可得∶，故答案为∶．【点睛】本题考查了代数式，正确理解题目中的数量关系是解题的关键．【典例8】．一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为．．故答案为．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键．【典例9】．几个人共同种一批树苗，如果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种；如果每人种6棵，则缺4棵树苗．若设参与种树的人数为人，可列方程．【答案】；【解析】试题解析：由题意得，设参与种树的人数为x人，则所列方程为：；故答案为.题型3：方程的解【典例10】．下列方程中，解为的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行进行检验，看能否使方程的左右两边相等．【解析】解：分别将代入四个方程：【点睛】本题的关键是正确理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【典例11】．若是关于x的方程的解，则a的值是(

)．A． B．0 C．2 D．3【答案】D【点睛】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键．【典例12】．方程的解．（填“是”或“不是”）【答案】是【点睛】本题主要考查了方程解的定义，解题的关键是理解方程解的定义．【典例13】．，各是下列哪个方程的解？（1）；（2）；（3）．【答案】是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解【分析】将代入方程（3），使方程左右两边相等，即可判断；是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解．【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程中等号左右两边相等的的未知数的值就是方程的解．题型4：等式的性质【典例14】．下列利用等式的性质，错误的是（

）A．由，得到 B．由，得到C．由，得到 D．由．得到【答案】C【分析】根据等式的性质逐项分析即可判断．【解析】解：A．∵，∴，∴，故正确；B．当时，由，不能得到，故不正确；C．∵，∴，故正确；D．∵，∴，故正确；【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．【典例15】．下列说法中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．【解析】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；B、若，则，故此选项错误；C、若，则，故此选项正确；D、若，则，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．【典例16】．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】本题考查了等式的性质，掌握性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，是解题的关键．根据等式的性质解答．【解析】解：A、当时，等式不成立，故本选项错误．B、的两边同时乘以3，等式才成立，即，故本选项错误．C、的两边同时除以m，只有时等式才成立，即，故本选项错误．D、的两边同时减去m，等式仍成立，即，故本选项正确．故选：D．【典例17】．利用等式的性质解下列方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）x=-27．【分析】（1）方程两边减7就得出x的值；（2）两边同时除以-5，即可得出x的值；（3）方程两边加5，最后两边同时乘以-，即可得出x的值．【解析】解：（1）两边减7，得：．于是x=19；（2）两边除以，得：．于是x=-4；（3）两边加5，得：，化简，得：，两边乘，得：x=-27．【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．【典例18】．若，则下列式子正确的有（

）①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据等式的基本性质：①等式两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍然成立；②等式的两边同时乘以或同时除以同一个不为0的数或字母，等式仍然成立，逐一判断即可．【解析】解：①根据等式的基本性质1，等式两边都减2，等式仍成立，故①正确；②等式的两边乘的是不同的数，故②错误；③根据等式的基本性质2，等式的两边同时乘，等式仍成立，故③正确；④根据等式的基本性质2，等式的两边都乘5，得到，然后再根据等式的基本性质1，等式的两边都减1，得到，故④正确；⑤当时，等式无意义，故⑤错误．故正确的式子有①③④共3个，故选：C．【点睛】本题主要考查等式的性质，需利用等式的性质对根据已知得到的等式进行变形，从而找到最后答案．【典例19】．下列变形正确的是（

）A．变形得B．变形得C．变形得D．变形得【答案】D【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可．【解析】解：变形得，选项A错误，不符合题意；变形得，选项B错误，不符合题意；变形得，选项C错误，不符合题意；变形得，选项D正确，符合题意；【典例20】．方程从到变形的依据是．【答案】等式的性质1【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立.．根据等式的基本性质即可解答.【解析】解：∵方程的两边同时减去，再同时减去21，即可得到，∴依据是等式的性质1．故答案为：等式的性质1．【典例21】．认真思考，回答下列问题：（1）由能不能得到？为什么？（2）由能不能得到？为什么？（3）由能不能得到？为什么？（4）由能不能得到？为什么？反之，能不能由得到？为什么？（5）由，能不能得到？为什么？【答案】（1）等式不能得到，见解析；（2）能得到，见解析；（3）当时，不能得到；当时，能得到，见解析；（4）不能由得到，见解析；能由得到，见解析；（5）能得到，见解析【分析】根据等式的基本性质，即可求解【解析】（1）由等式不能得到，理由如下：因为根据等式性质1，等式两边都减去3，得．再根据等式性质2，等式两边都除以2，得，所以不能得到；（2）由能得到，理由如下：因为根据等式性质2，等式两边都除以2，得，所以能得到；（3）由不一定能得到，理由如下：因为当时，由不能得到，这是因为等式两边不能都除以0；当时，根据等式性质2，能得到，这时在等式两边可以同除以；（4）不能由得到，理由如下：因为当时，不能利用等式性质2，两边同除以；当时，可利用等式性质2，两边同除以，得到；能由得到，理由如下：这是因为由隐含条件可知，利用等式性质2，两边同乘，可得到；（5）因为，所以可利用等式性质2，两边同除以，得到所以可以得到．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立是解题的关键．【典例22】．若，则．【答案】/【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质解答即可．【解析】解：∵，∴．故答案为：．【典例23】．若，则．【答案】【分析】把n的系数化为1即可求解．【解析】解：∵0.5n=2m，∴n=4m，故答案为：4m．【点睛】本题考查了等式的性质，两边都乘或除以同一个不为零的数，结果不变，两边都加或都减同一个数，结果仍是等式．题型5：等式的性质的应用【典例24】．如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（）

A．350克 B．300克 C．250克 D．200克【答案】A【分析】根据等式的性质即可求出答案．【解析】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克，∴，，相加得：，∴．∴需要在天平右盘中放入砝码250克，故选：C．【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．【典例25】．如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（

）A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【答案】D【分析】设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案．【解析】解：设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②，∴得，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键．【典例26】．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案．【解析】解：由图形可得如果，那么，故选：A．题型6：分析利用等式的性质变形过程【典例27】．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示：将等式变形两边同时加，得（第①步）两边同时除以，得（第②步）(1)第______步等式变形产生错误；(2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值．【答案】(1)；(2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为．【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步；（）根据等式的基本性质即可解答；本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．【解析】（1）解：第步等式变形产生错误，故答案为：；（2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为．正确过程：两边同时加，得，两边同时减，得，两边同时除以，得．【典例28】．在将等式变形时，小明的变形过程如下：因为，所以，（第一步）所以．（第二步）(1)上述过程中，第一步的依据是什么？(2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正．【答案】(1)等式的性质1(2)小明第二步的结论不正确，理由见解析【分析】此题考查了等式性质的应用能力：（1）运用等式的性质1进行求解；（2）根据等式的性质2进行求解．【解析】（1）∵∴根据等式的性质1，两边都减去得∴第一步的依据是：等式的性质1；（2）小明第二步的结论不正确，∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立，∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立，当时，两边都除以a，得不成立，∴小明第二步的结论不正确．题型7：利用等式的性质解方程【典例29】．利用等式的性质，在横线上填上适当的数或式子，并说明变形的根据．（1）如果，则，根据；，根据；（2）如果，则，，根据；，根据．【答案】-2等式的基本性质1-1等式的基本性质2-5等式的基本性质115等式的基本性质2【分析】（1）先由等式的性质1得出，再由等式的性质2即可得出结论；（2）先由等式的性质1得出，再由等式的性质2即可得出结论．【解析】解：（1）方程两边同时加，得：，方程两边同时除以，得：，故答案为：；等式的基本性质；；等式的基本性质；（2）方程两边同时减，得：，方程两边同时乘以，得：，故答案为：；等式的基本性质；；等式的基本性质．【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟记等式的两个基本性质是解答此题的关键．【典例30】．利用等式的性质解下列方程：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了等式的基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；熟练掌握等式的性质是解题的关键．结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可．【解析】（1）解：两边同时减去，得，解得．（2）解：两边同乘，得，解得．（3）解：两边同时减去得，，两边同除以得，解得．（4）解：两边减去得，解得．【典例31】．利用等式性质解方程(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】本题考查等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．（1）两边同时加上4即可求解；（2）两边同时除以即可求解；（3）方程两边同加上10，再除以5即可求解；（4）两边同时减去1，再除以3即可求解．【解析】（1）解：，两边同时加上4，得；（2）解：，两边同时除以，得；（3）解：，方程两边同加上10，得，两边同时除以5，得；（4）解：，两边同时减去1，得，两边同时除以3，得．【典例32】．利用等式的性质解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可．【解析】（1）解：方程两边同时减去8，得，所以；（2）解：方程两边同时乘以，得，所以；（3）解：方程两边同时减去7，得，化简，得，方程两边同时乘以，得；（4）解：方程两边同时加，得，化简，得，方程两边都乘12，得，整理得，方程两边都除以5，得．【点睛】本题运用了等式的基本性质．等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．题型8：方程的解等式的性质综合应用【典例33】．要使关于的方程无解，则常数的值应取（

）A．1 B． C． D．0【答案】D【分析】先将方程变形为的形式，再根据一元一次方程无解的情况：，，求得方程中的值．【解析】解：将原方程变形为．由已知该方程无解，所以，解得．故的值应取1．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程解的情况．一元一次方程的标准形式为，它的解有三种情况：①当，时，方程有唯一一个解；②当，时，方程无解；③当，时，方程有无数个解．【典例34】．关于x的一次式的值随的取值不同而不同，如表是当取不同值时对应的一次式的值，则关于的方程的解是（

）01220A． B． C． D．【答案】A【分析】将两边同时乘以，再根据表格即可得出方程的解．【解析】解：将两边同时乘以得：，根据表格可知，当时，，故选：C．【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是掌握等号两边同时乘以同一个数，等式仍成立．【典例35】．将9个数填入(三行三列)的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图，一个三阶幻方如下，若，，，，则整式．【答案】/【分析】本题考查整式的加减，等式得性质，根据题意可得，从而得到，整体代入求解即可．【解析】解：依题意得：，∴，∴，又∵，，，∴，故答案为：．一、单选题1．在①；②；③；④中，方程共有（

）A．1个 B．3个 C．2个 D．4个【答案】A【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答．【解析】解：方程有③；④，故选：C．【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键．2．是下列方程的解的有（）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解．将代入各方程即可．【解析】解：①左边，右边，左边右边，∴不是方程的解；②左边，右边，左边右边，∴是方程的解；③左边，右边，左边右边，∴是方程的解；④左边，右边，左边右边，∴是方程的解．故选：C．3．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．【解析】解；A、若，则，原等式成立，不符合题意；B、若，则，即，原等式成立，不符合题意；C、若，则，原等式不一定成立，符合题意；D、若，则，原等式成立，不符合题意；故选：C．4．下列方程中，解为的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把代入每个方程，看看方程两边是否相等即可．【解析】解：A．把代入方程，左边，右边，左边右边，则不是方程的解，故此选项不符合题意；B．把代入方程，左边，右边，左边右边，则不是方程的解，故此选项不符合题意；C．把代入方程，左边，右边，左边右边，则不是方程的解，故此选项不符合题意；D．把代入方程，左边，右边，左边右边，则是方程的解，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解题的关键．5．下列说法中，正确的有（

）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1∶等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2∶等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)所得结果仍是等式，利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．【解析】解：①根据等式性质1，两边都减即可得到，符合题意；②根据等式性质2，需加条件，不符题意；③根据等式性质1，两边都加即可得到，符合题意；④根据等式性质2，两边都乘以m，即可得到，符合题意．综上所述，①③④正确.故选∶C.6．下列语句：①含有未知数的代数式叫方程;②方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立;③等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式;④x=-1是方程-1=x+1的解.其中错误的语句的个数为（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据方程的概念：含有未知数的等式叫方程，可判断①；根据方程的解的概念：使得方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解，可判断②；根据等式的性质2：等式的两边同时除以一个不为0的数，所得结果仍是等式，可判断③；根据方程的解的概念，可知方程的解一定满足方程，把x=1带入方程即可判断④.【解析】①含有未知数的等式叫方程，故①错误；②根据方程的解的概念：使得方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解；可知方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立，正确，故②正确；③根据等式的性质2，两边都除以0，就不是等式，故③错误；④把x=1带入方程，左边=−1=-1，右边=-1+1=0，左边不等于右边，故④错误.错误的有：①③④，共3个，故选：B.【点睛】本题考查了等式的性质，方程的概念和方程的解的概念，熟练掌握各个概念是解题的关键7．下列方程的变形，正确的是（

）A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得【答案】D【分析】直接根据等式的性质求解．【解析】3+x=5，两边同时减去3，得x=5－3，A错误；，两边同时除以7，得，B错误；，两边同时乘以2，得，C错误；，两边同时减去3，得，D正确；故答案为：D．【点睛】本题主要考查了等式的性质应用，准确计算是解题的关键．8．如图中“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平如图（1）、（2）所示均保持平衡．为了使第三架天平如图（3）所示也能保持平衡，现在“？”处只放置“■”物体．那么应放“■”的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【分析】根据图（1）、（2）求出a=2b，c=3b，即可得到答案．【解析】解：用a、b、c分别表示●、■、▲，由图（2）得a+b=c，∴2a+b=a+c，由图（1）得2a=b+c，∴a=2b，∴c=3b，∴由图（3）得a+c=5b，即右边应放5个■，故答案为：C．【点睛】此题考查了等式的性质，正确理解图形中的数量关系是解题的关键．9．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】设田地有x亩，则参与分配田地为，根据等量关系“留三亩”即可列出方程．【解析】解：设田地有x亩，根据题意：可知方程为．故选：B．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、明确等量关系是解答本题的关键．10．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设小长方形的长为x，宽为y，再根据大长方形的长不变可得，再求出的值，即为长与宽的差．【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：，即，整理得：，则小长方形的长与宽的差是，故选：D．【点睛】此题考查了列方程、整式的加减、等式的性质，根据大长方形的长不变建立方程是解本题的关键．二、填空题11．下列各式是方程的有①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）；②＋y＝5；③x2﹣2x＝1；④x2﹣2x＝x﹣y；⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数）【答案】②③④【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断．【解析】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程；②＋y＝5，是方程；③x2﹣2x＝1，是方程；④x2﹣2x＝x﹣y，是方程；⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程；故答案为：②③④．【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键．12．设，则下列判断：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中正确的有．（填序号）【答案】（2）（3）（4）（5）【分析】根据等式的性质，分别判断即可．【解析】解：（1）左边是加4，右边是减4，不成立；（2）两边同乘，成立；（3）两边同乘4，成立；（4）两边同乘，成立；（5）两边同乘0，成立；（6）两边同除以0无意义，不成立，故答案为：（2）（3）（4）（5）．【点睛】本题考查了等式的性质，熟知1、等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；2、等式两边同时乘或除相等且不为零的数或式子，两边依然相等；3、等式两边同时乘方或开方，两边依然相等；是解题的关键．13．用适当的数或者式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的．（1）若，则，．（2）若，则，．（3）若，则，．（4），则，．【答案】根据等式的性质1，等式两边同时减5根据等式的性质2，等式两边同时除以根据等式的性质1，等式两边同时加18根据等式的性质2，等式两边同时乘3【分析】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．（1）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时减5；（2）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同除以；（3）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时加；（4）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同乘3．【解析】（1）若，则，根据等式的性质1，等式两边同时减5．（2）若，则，根据等式的性质2，等式两边同时除以．（3）若，则，根据等式的性质1，等式两边同时加．（4）若，则，根据等式的性质2，等式两边同时乘3．故答案为：（1），根据等式的性质1，等式两边同时减5；（2），根据等式的性质2，等式两边同时除以；（3），根据等式的性质1，等式两边同时加；（4）18，根据等式的性质2，等式两边同时乘3；14．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．（1）如果，那么，理由：根据等式性质，在等式两边．（2）如果．那么．理由：根据等式性质，在等式两边．（3）如果，那么，理由：根据等式性质，在等式两边．（4）如果，那么．理由：根据等式性质，在等式两边．【答案】5在等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等都加2在等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等都除以4在等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等都减在等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等都乘【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．【解析】解：（1）如果，那么，理由：根据等式性质：在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，在等式两边都加2．（2）如果．那么．理由：根据等式性质：在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．在等式两边都除以．（3）如果，那么，理由：根据等式性质：在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，在等式两边都减．（4）如果，那么．理由：根据等式性质：在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，在等式两边都乘以，故答案为：5，在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，都加2；，在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，都除以；4，在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，都减；，在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，都乘以．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．15．列等式表示：比的倍大的数等于的倍，得【答案】【分析】根据题意可直接进行求解．【解析】解：由题意可列等式为；故答案为．【点睛】本题主要考查一元一次方程，解题的关键是理解题意．16．（填“是”或“不是”）方程的解.【答案】是【分析】代入方程验证，如果成立就是方程的解，如果代入不成立，就不是方程的解.【解析】4=2=-5，故答案为：是.【点睛】(1)使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解叫方程的解.(2)求方程中的未知数,叫做解方程.17．已知，利用等式的基本性质，的值为．【答案】2【分析】首先根据等式的性质1，两边同时＋3得，再根据等式的性质2，两边同时除以5即可得到答案．【解析】解：，根据等式的性质1，两边同时＋3得：，即：，根据等式的性质2，两边同时除以5得：，∴，故填：2．【点睛】此题主要考查了等式的性质，关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．18．有个球，其中的球质量相同，另有个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少次可以找出这个较轻的球．【答案】【分析】先把个球平均分成三组，用一次天平可找出有较轻的球的那组，再把球轻的哪个组的个球，分成，，三组，把个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，【解析】解：先把个球分成个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组；再把球轻的哪个组的个球，分成，，三组，把个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，故至少次可以找出这个较轻的球．故答案为：【点睛】本题考查了等式的性质，合情推理是解题的关键三、解答题19．根据下列条件，列出方程；（1）x的3倍减5，等于x的2倍加1；（2）x的30%加2的和的一半，等于x的20%减5．【答案】(1)3x﹣5=2x+1；（2）.【分析】（1）首先理解题意，再找出题目中的相等关系，根据相等关系列出方程即可；（2）首先要理解题意，根据题中的相等关系列出方程即可．【解析】解：（1）将题中的表述转化为式子，x的3倍减5，即3x﹣5；x的2倍加1即2x+1；从而得到了方程为：3x﹣5=2x+1.（2）x的30%加2的和的一半为：，x的20%减5转化为式子是：x•20%﹣5，从而得到方程为：=x•20%﹣5.【点睛】解决本题的关键理解清楚题意从而找出能使方程左右两边相等的关系．20．根据题意列出方程．(1)一个数的与3的差等于最大的一位数，求这个数；(2)从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一个长方形条，余下的