(人教A版数学必修一讲义)第5章第02讲5.2.1三角函数的概念(知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第02讲5.2.1三角函数的概念课程标准学习目标①理解结合单位圆定义三角函数的意义。②结合任意角终边与单位圆的交点会求任意角的正弦、余弦、正切值。③根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号。1.掌握三角函数的定义；2会求任意角的三个三角函数值；3.能准确判断任意角的三角函数值的符号；知识点01：任意角的三角函数定义1、单位圆定义法：如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即

③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数2、终边上任意一点定义法：在角终边上任取一点，设原点到点的距离为①正弦函数：②余弦函数：③正切函数：()

知识点02：三角函数值在各象限的符号,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）知识点03：特殊的三角函数值角度弧度正弦值余弦值正切值知识点04：诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.

(2)式子表示:①②③其中.

知识点05：三角函数线设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示：在中：为正弦线，长度为正弦值。为余弦线，长度为余弦值。在中：。为正切线，长度为正切值。题型01利用三角函数的定义求三角函数值【典例1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知角、的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边关于轴对称，若角的终边上有一点，则的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知角的终边与单位圆交于点，则A． B．或 C．或 D．【变式1】（2024·陕西榆林）若角的终边经过点，则的值是A． B．45 C． D．【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知角的终边经过点，则，，．题型02由终边或终边上点求三角函数值【典例1】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）若角的终边经过点（），则（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则．【变式1】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【变式3】（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知角的终边经过点，则.题型03由三角函数值求终边上的点或参数【典例1】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（

）A．1 B．2 C． D．【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数．【典例3】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角的终边经过点，若，则实数．【变式1】（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）．A． B． C． D．【变式2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则．题型04三角函数值符号的运用【典例1】1．（23-24高一下·四川内江·期中）若，则的终边在（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知为第三象限角，则（

）A． B．C． D．【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【变式2】(多选）（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）下列选项中，结果为正数的有（

）A． B． C． D．题型05画三角函数线【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（

）A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，ATC．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线．①；②．（2）分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较：和，和，和的大小．【变式1】（24-25高一上·全国·课前预习）三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P．过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，过点A（1，0）作单位圆的切线，如果tanα存在，设该切线与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点T．单位圆中的有向线段，，分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：，，．【变式2】（23-24高一·江苏·课后作业）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.题型06三角函数线的应用【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）利用三角函数线比较大小(1)与；(2)与；(3)与.【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）以下命题正确的是（

）A．都是第一象限角，若，则B．都是第二象限角，若，则C．都是第三象限角，若，则D．都是第四象限角，若，则【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）[多选题]已知，那么下列命题成立的是（

）A．若，是第一象限角，则B．若，是第二象限角，则C．若，是第三象限角，则D．若，是第四象限角，则【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（24-25高一上·北京·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是（）A． B．C． D．2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角α的终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．10．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）若角的终边在第三象限，则的值可能为（

）A．0 B．2 C．4 D．三、填空题11．（23-24高一上·上海·期末）方程的解是.12．（2020高三·全国·专题练习）若角的终边上有一点，则的值是．四、解答题13．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求．B能力提升1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（

）

A． B． C． D．2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则．3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上．(1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值；(2)求的值．第02讲5.2.1三角函数的概念课程标准学习目标①理解结合单位圆定义三角函数的意义。②结合任意角终边与单位圆的交点会求任意角的正弦、余弦、正切值。③根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号。1.掌握三角函数的定义；2会求任意角的三个三角函数值；3.能准确判断任意角的三角函数值的符号；知识点01：任意角的三角函数定义1、单位圆定义法：如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即

③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数2、终边上任意一点定义法：在角终边上任取一点，设原点到点的距离为①正弦函数：②余弦函数：③正切函数：()

知识点02：三角函数值在各象限的符号,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）知识点03：特殊的三角函数值角度弧度正弦值余弦值正切值知识点04：诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.

(2)式子表示:①②③其中.

知识点05：三角函数线设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示：在中：为正弦线，长度为正弦值。为余弦线，长度为余弦值。在中：。为正切线，长度为正切值。题型01利用三角函数的定义求三角函数值【典例1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知角、的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边关于轴对称，若角的终边上有一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出终边上关于对称的点,再利用正切函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边上有一点,且角、的顶点在原点,始边在轴的正半轴上,终边关于轴对称,故终边过.故.故选：D【点睛】本题主要考查了正切函数的定义求值,属于基础题.【典例2】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知角的终边与单位圆交于点，则A． B．或 C．或 D．【答案】C【解析】由三角函数的定义进行求解，注意两解的情况.【详解】根据三角函数的定义，，由同角三角函数关系得：；当，代入解得；当，代入解得.综上所述，原式等于或.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的定义，属基础题.【变式1】（2024·陕西榆林）若角的终边经过点，则的值是A． B．45 C． D．【答案】A【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知角的终边经过点，则，，．【答案】/-0.5/33/133【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.【详解】因为，所以，由三角函数的定义知，，．故答案为：；；题型02由终边或终边上点求三角函数值【典例1】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）若角的终边经过点（），则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用任意角三角函数定义求正弦值和余弦值再计算即可.【详解】，为坐标原点，则，，故.故选：C.【典例2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义求出，，再代入计算可得.【详解】因为角的终边经过点，所以，，所以.故选：D【典例3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则．【答案】【解析】根据三角函数定义直接求结果.【详解】由三角函数的定义可得，故答案为：.【点睛】本题考查根据三角函数定义求三角函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.【变式1】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的定义求解即可.【详解】角的终边过点，故.故选：A【变式2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求出结果.【详解】因为角的终边经过点，所以，故选：C.【变式3】（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知角的终边经过点，则.【答案】/【分析】利用三角函数的定义易得正切值和余弦值.【详解】依题意，，，则故答案为：；.题型03由三角函数值求终边上的点或参数【典例1】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由三角函数定义计算即可得.【详解】由三角函数定义可得，解得.故选：C.【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数．【答案】【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参即可.【详解】由题设，可知，且，即，，则，解得（舍）或，综上，．故答案为：【典例3】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角的终边经过点，若，则实数．【答案】【分析】由三角函数的定义求出角的正弦值，且，建立等式，求参数的值即可；【详解】由于角的终边经过点，由角正弦的定义得：，且，得：，解方程得：，即，得，由于，则，所以．故答案是：.【变式1】（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.【详解】点是第二象限的角终边上的一点，则，由，得，所以.故选：C【变式2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出，再由三角函数的定义计算可得.【详解】因为角的终边经过点，且，所以，解得，所以.故选：A.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则．【答案】【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.【详解】由题设知，即，且，即，且，解得，故答案为：.题型04三角函数值符号的运用【典例1】1．（23-24高一下·四川内江·期中）若，则的终边在（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上【答案】D【分析】由已知得出的终边在第四象限，再求出的范围得出结果.【详解】因为，所以的终边在第四象限，即，则，当时，的终边在第二象限；当时，的终边在第四象限；故选：B【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知为第三象限角，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意首先得出，对于ABD三个选项的判断比较常规，对于C而言，这里要利用到商数关系、平方关系进行变形.【详解】由题意为第三象限角，所以，从而，，，.故选：D.【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的基本关系式，结合角的范围即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，则.故选：A.【变式2】(多选）（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）下列选项中，结果为正数的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先算出的范围，然后结算象限角的三角函数特点即可得解.【详解】因为，所以.故选：AC.题型05画三角函数线【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（

）A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，ATC．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT【答案】D【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角的正弦线､余弦线､正切线.【详解】由题图知：圆O为单位圆，则，且，故角的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT.故选：D【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线．①；②．（2）分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较：和，和，和的大小．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，，，【分析】（1）根据三角函数线的知识画出图象；（2）根据三角函数线的知识画出图象，并由此进行比较大小.【详解】（1）如图，有向线段分别表示各角的正弦线、余弦线、正切线．（2）如图，，，，，，．由图可知：，且符号皆正，∴；，且符号皆负，∴；，且符号皆负，∴．【变式1】（24-25高一上·全国·课前预习）三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P．过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，过点A（1，0）作单位圆的切线，如果tanα存在，设该切线与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点T．单位圆中的有向线段，，分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：，，．【答案】DPODAT【分析】略【详解】略【变式2】（23-24高一·江苏·课后作业）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解；（3）答案见详解；（4）答案见详解；【分析】作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边（或终边的反向延长线）于T，则正弦线为PM，余弦线为OM，正切线为AT.【详解】（1）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边于T，如下图所示，则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；（2）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边反向延长线于T，如下图所示，则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；（3）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边的反向延长线于T，如下图所示，则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；（4）因为，所以角与角的终边相同，作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边的反向延长线于T，如下图所示，则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.题型06三角函数线的应用【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正弦线的知识求得正确答案.【详解】依题意，，在单位圆中，观察正弦线可知，在区间，的长度随着增大而增大，所以故选：D

【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先做出三角函数线，根据三角函数线，比较大小.【详解】分别作角的正弦线、余弦线和正切线，如图所示，∵，，，∴．故选：B．【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）利用三角函数线比较大小(1)与；(2)与；(3)与.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根据三角函数线即可比较大小.【详解】（1）与对应的三角函数线分别为有向线段如下图所示：故，

（2）与对应的三角函数线分别为有向线段由图可得：．（3）与对应的三角函数线分别为有向线段所以【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）以下命题正确的是（

）A．都是第一象限角，若，则B．都是第二象限角，若，则C．都是第三象限角，若，则D．都是第四象限角，若，则【答案】D【分析】根据角所在象限，应用对应函数线的大小关系判断各项正误.【详解】A：都是第一象限角，如下图单位圆中，此时，错；

B：都是第二象限角，如下图单位圆中，此时，错；

C：都是第三象限角，如下图单位圆中，此时，错；

D：都是第四象限角，如下图单位圆中，此时，对.

故选：D【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）[多选题]已知，那么下列命题成立的是（

）A．若，是第一象限角，则B．若，是第二象限角，则C．若，是第三象限角，则D．若，是第四象限角，则若，是第二象限角，如图，，，观察可知，即，所以B正确；若，是第三象限角，如图，由，可得，此时，即，所以C不正确；若，是第四象限角，如图，，，则，即，所以D正确.故选：BD．【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是.故答案为：A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（24-25高一上·北京·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是（）A． B．C． D．2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角α的终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函数定义，求出，即可求出的值．【详解】解：角的终边上有一点，，故选：B．3．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是（

）．A．的值越大，梯子越陡；B．的值越大，梯子越陡；C．的值越小，梯子越陡；D．陡缓程度与的三角函数值无关．【答案】A【分析】直接由三角函数的定义以及实际意义即可得解.【详解】根据“锐角的正弦、余弦、正切”的定义，点A竖立墙面的距离是“常数”；对于A，的值越大，越大，梯子越陡，正确；对于B，的值越大，越小，梯子越缓，错误；对于C，的值越小，越小，梯子越缓，错误；对于D，根据的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，错误．故选：A.4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，B为钝角，则点（

）A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限【答案】D【分析】根据三角函数定义即可判断.【详解】在中，因为B为钝角，则为锐角，则，则点在第四象限.故选：D.5．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边在直线上，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在终边上取点（或），根据三角函数的定义计算可得.【详解】在角的终边上取一点，所以；或角的终边上取一点，所以，综上可得等于.故选：B．6．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据条件，代入求函数值，先求，即可求出结果.【详解】因为，得到，所以，故选：A.7．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A．11 B． C．10 D．【答案】D【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得的值，代入计算即可.【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点，所以，，所以.故选：B.8．（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上