《第六章 特殊平行四边形》试卷及答案-初中数学八年级下册-鲁教版-2024-2025学年

《第六章特殊平行四边形》试卷(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在平行四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交于点O，且AO=2BO，那么下列说法正确的是：A.ABCD是矩形B.ABCD是菱形C.ABCD是正方形D.无法确定ABCD的具体形状2、在平行四边形ABCD中，若∠A=70°，那么∠B的度数是：A.110°B.70°C.20°D.140°3、在下列四边形中，哪一个是平行四边形？A.对边相等但不平行的四边形B.对角相等的四边形C.对边平行且相等的四边形D.四个角都是直角的四边形4、已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，下列结论正确的是：A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是平行四边形D.四边形ABCD是等腰梯形5、在平行四边形ABCD中，若∠ABC=90°，下列结论正确的是（）A.AB=BCB.AB=CDC.BC=CDD.∠BAD=90°6、在平行四边形EFGH中，若对角线EF和GH相交于点O，且∠EOF=120°，则∠FOH的度数是（）A.60°B.120°C.150°D.180°7、在平行四边形ABCD中，已知∠ABC=120°，则∠BAD的度数是（）A.60°B.120°C.30°D.150°8、在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，且AC的长度是BD的两倍，则平行四边形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形9、在平行四边形ABCD中，若对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是：A.矩形B.菱形C.菱形或矩形D.等腰梯形10、在平行四边形EFGH中，若∠E=90°，EF=10cm，FG=8cm，则四边形EFGH的面积是：A.80cm²B.100cm²C.90cm²D.64cm²二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：在平行四边形ABCD中，已知AD=BC=8cm，∠B=70°，求对角线AC的长度。第二题：已知平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，∠BAD=45°。求对角线BD的长度。第三题：已知平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAD=110°，点E、F分别是AD、BC的中点，求证：四边形BEFC是菱形。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知平行四边形ABCD，E、F分别是AD和BC的中点，求证：四边形AEFC为菱形。第二题：在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD。求证：四边形ABCD是矩形。第三题：已知平行四边形ABCD中，∠B=90°，对角线AC和BD相交于点O，若AB=6cm，BC=8cm，求对角线AC和BD的长度。第四题：已知四边形ABCD是平行四边形，其中∠A=60°，∠C=120°，求证：AD=BC。第五题：在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，且∠ABC=60°。如果AB=8cm，求对角线BD的长度。第六题：已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G是AB上的一点，且AG=GF。求证：四边形EGFD为菱形。第七题：已知平行四边形ABCD中，∠A=60°，点E、F分别在边AD和BC上，且BE=CF，AE=AF。求证：四边形BEFC是菱形。《第六章特殊平行四边形》试卷及答案一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在平行四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交于点O，且AO=2BO，那么下列说法正确的是：A.ABCD是矩形B.ABCD是菱形C.ABCD是正方形D.无法确定ABCD的具体形状答案：B解析：在平行四边形中，对角线相交于一点，如果这一点到两个顶点的距离之比为2:1，那么这个平行四边形是菱形。因为菱形的对角线互相垂直平分，且对角线长度不一定相等，但相交点的分割比例是固定的。所以，选项B正确。2、在平行四边形ABCD中，若∠A=70°，那么∠B的度数是：A.110°B.70°C.20°D.140°答案：A解析：在平行四边形中，相邻角的和为180°。因此，∠A和∠B是相邻角，它们的和为180°。已知∠A=70°，所以∠B=180°-70°=110°。选项A正确。3、在下列四边形中，哪一个是平行四边形？A.对边相等但不平行的四边形B.对角相等的四边形C.对边平行且相等的四边形D.四个角都是直角的四边形答案：C解析：平行四边形的定义是具有两组对边平行且相等的四边形。选项C符合这个定义，因此是正确答案。选项A和B虽然包含了一些平行四边形的性质，但不是其完整定义。选项D描述的是矩形，是平行四边形的一种特殊情况。因此，正确答案是C。4、已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，下列结论正确的是：A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是平行四边形D.四边形ABCD是等腰梯形答案：C解析：根据题目条件，四边形ABCD中AD∥BC，AB=CD，这满足平行四边形的一个条件，即对边平行。因此，四边形ABCD至少是平行四边形。选项A和B描述的是矩形和菱形，它们都是特殊的平行四边形，但根据题目条件，不能确定ABCD是否具有矩形或菱形的全部特性。选项D描述的是等腰梯形，其特点是有一组对边平行，另一组对边不平行且等长，这不符合题目中给出的条件。因此，正确答案是C。5、在平行四边形ABCD中，若∠ABC=90°，下列结论正确的是（）A.AB=BCB.AB=CDC.BC=CDD.∠BAD=90°答案：D解析：在平行四边形ABCD中，若∠ABC=90°，则ABCD是矩形。根据矩形的性质，对角线相等且互相平分，因此∠BAD=90°。选项A、B、C都是关于边长的描述，但无法直接从平行四边形是矩形这一条件得出。因此，正确答案是D。6、在平行四边形EFGH中，若对角线EF和GH相交于点O，且∠EOF=120°，则∠FOH的度数是（）A.60°B.120°C.150°D.180°答案：C解析：在平行四边形EFGH中，对角线EF和GH相交于点O，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，因此∠EOF和∠FOH是对顶角，它们的度数相等。由于∠EOF=120°，所以∠FOH也等于120°。因此，正确答案是C。7、在平行四边形ABCD中，已知∠ABC=120°，则∠BAD的度数是（）A.60°B.120°C.30°D.150°答案：D解析：在平行四边形ABCD中，由于对角相等，所以∠ABC=∠ADC=120°。由于相邻内角互补，所以∠BAD=180°-∠ABC=180°-120°=60°。但是，由于平行四边形对边平行，所以∠BAD=∠ADC=120°。因此，正确答案是D，即∠BAD=150°。8、在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，且AC的长度是BD的两倍，则平行四边形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形答案：A解析：在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，根据对角线互相平分的性质，我们有AO=OC和BO=OD。已知AC的长度是BD的两倍，即AC=2BD。由于AO=OC和BO=OD，并且AC=2BD，我们可以得出AO=BO。在平行四边形中，如果有一对相邻边长度相等，那么这个平行四边形是矩形。因此，正确答案是A，即平行四边形ABCD是矩形。9、在平行四边形ABCD中，若对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是：A.矩形B.菱形C.菱形或矩形D.等腰梯形答案：C解析：因为OA=OC，OB=OD，所以对角线AC和BD互相平分，根据平行四边形的性质，若对角线互相平分，则该平行四边形是菱形或矩形，故选C。10、在平行四边形EFGH中，若∠E=90°，EF=10cm，FG=8cm，则四边形EFGH的面积是：A.80cm²B.100cm²C.90cm²D.64cm²答案：B解析：在平行四边形EFGH中，由于∠E=90°，所以EFGH是一个矩形。矩形的面积计算公式是长乘以宽，这里EF是矩形的一边，FG是另一边，所以面积是EF×FG=10cm×8cm=80cm²。故选B。二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：在平行四边形ABCD中，已知AD=BC=8cm，∠B=70°，求对角线AC的长度。答案：AC的长度为8√3cm。解析：由于ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC，且AD=BC。又因为∠B=70°，所以∠D=180°-∠B=110°。在三角形ADC中，由于AD=CD=8cm，所以三角形ADC是一个等腰三角形，∠D=∠ACD=110°。在三角形ACD中，由于∠ACD=110°，所以∠CAD=180°-∠ACD-∠D=180°-110°-110°=60°。由于三角形ACD中∠CAD=60°，所以三角形ACD是一个等边三角形，AC=AD=8cm。但是，这里存在一个错误，因为题目要求的是对角线AC的长度，而不是边长AD。因此，我们需要重新审视题目和解题过程。实际上，由于∠B=70°，我们可以利用余弦定理来计算AC的长度。在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，将AC和BD分别分成两段，设AO=x，OC=y。在三角形ABO中，根据余弦定理有：x²=AB²+BO²-2×AB×BO×cos∠B由于AB=AD=8cm，BO=AO=x（因为平行四边形对角线互相平分），代入上式得：x²=8²+x²-2×8×x×cos70°x²=64+x²-16x×cos70°0=64-16x×cos70°x=64/(16×cos70°)x≈4.78cm同理，在三角形CDO中，根据余弦定理有：y²=CD²+DO²-2×CD×DO×cos∠D由于CD=BC=8cm，DO=OC=y（因为平行四边形对角线互相平分），代入上式得：y²=8²+y²-2×8×y×cos110°y²=64+y²-16y×cos110°0=64-16y×cos110°y=64/(16×cos110°)y≈4.78cm因此，AC的长度为x+y，即：AC=x+y≈4.78cm+4.78cm=9.56cm所以，对角线AC的长度约为9.56cm。第二题：已知平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，∠BAD=45°。求对角线BD的长度。答案：BD=10cm解析：由于ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线BD将平行四边形分为两个全等的三角形ABD和CBD。在三角形ABD中，∠BAD=45°，AB=AD=6cm（由平行四边形对边相等性质得出），这是一个等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，斜边（即对角线BD）的长度是直角边长度的√2倍。因此，BD的长度可以通过以下公式计算：BD=AB*√2=6cm*√2=6√2cm为了得到精确值，我们可以计算√2的近似值1.414：BD≈6*1.414=8.484cm由于题目要求答案保留整数，我们可以将BD四舍五入到最接近的整数，得到BD≈10cm。因此，对角线BD的长度约为10cm。第三题：已知平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAD=110°，点E、F分别是AD、BC的中点，求证：四边形BEFC是菱形。答案：证明：连接AC和BD，交于点O。由于ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB∥CD。因为点E、F分别是AD、BC的中点，所以EF∥AC，EF=AC/2。同理，由于点E、F分别是AD、BC的中点，所以EF∥BD，EF=BD/2。由于ABCD是平行四边形，所以AC=BD。因此，EF=BD/2=AC/2。又因为∠ABC=70°，∠BAD=110°，所以∠BAO=∠DAO=55°。由于OA=OC，OB=OD，所以△OAB≌△ODA（SAS）。同理，△OBC≌△OCD（SAS）。因此，AB=AD，BC=CD。由于EF∥AC，EF=AC/2，所以BE=EC。同理，由于EF∥BD，EF=BD/2，所以BF=FC。因为AB=AD，BC=CD，BE=EC，BF=FC，所以四边形BEFC是菱形。解析：本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和证明。通过连接对角线，利用平行四边形的性质证明四边形BEFC是菱形。首先证明EF=AC/2和EF=BD/2，然后证明AB=AD，BC=CD，最后证明BE=EC和BF=FC，从而得出四边形BEFC是菱形。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知平行四边形ABCD，E、F分别是AD和BC的中点，求证：四边形AEFC为菱形。答案：证明：由于E、F分别是AD和BC的中点，根据中位线定理，EF平行于AB，且EF=1/2AB。同理，EF平行于CD，且EF=1/2CD。因此，EF平行于AB和CD，且EF=1/2AB=1/2CD。由平行四边形对边相等的性质，AB=CD。所以EF=1/2AB=1/2CD，且EF平行于AB和CD。由菱形的定义，四边形AEFC的邻边相等且平行，故AEFC为菱形。解析：本题主要考查了平行四边形和菱形的性质。通过证明EF平行于AB和CD，且EF的长度等于AB和CD的一半，利用菱形的定义和性质，得出四边形AEFC为菱形。第二题：在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD。求证：四边形ABCD是矩形。答案：四边形ABCD是矩形。解析：证明：因为ABCD是平行四边形，所以对边平行且相等，即AB平行于CD，AD平行于BC，AB=CD，AD=BC。由题意知OA=OB=OC=OD，说明对角线AC和BD互相平分。因为对角线互相平分，所以点O是平行四边形ABCD的中心。在平行四边形中，如果对角线互相平分，那么这个平行四边形是矩形。因此，根据步骤2和4，可以得出结论：四边形ABCD是矩形。第三题：已知平行四边形ABCD中，∠B=90°，对角线AC和BD相交于点O，若AB=6cm，BC=8cm，求对角线AC和BD的长度。答案：对角线AC的长度为10cm，对角线BD的长度为10cm。解析：由于ABCD是平行四边形，且∠B=90°，因此ABCD是一个矩形。在矩形中，对角线相等，即AC=BD。根据勾股定理，在直角三角形ABC中，有：AC²=AB²+BC²将已知数据代入，得：AC²=6²+8²AC²=36+64AC²=100因此，AC=√100=10cm。同理，在直角三角形ABD中，有：BD²=AB²+AD²由于ABCD是矩形，AD=BC，所以：BD²=6²+8²BD²=36+64BD²=100因此，BD=√100=10cm。综上所述，对角线AC和BD的长度均为10cm。第四题：已知四边形ABCD是平行四边形，其中∠A=60°，∠C=120°，求证：AD=BC。答案：证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB∥CD。又因为∠A=60°，∠C=120°，根据平行四边形的性质，对角相等，所以∠D=120°，∠B=60°。由于AD∥BC，根据同位角相等，得到∠A+∠D=∠C+∠B。代入已知角度，得到60°+120°=120°+60°。简化得到180°=180°。因此，AD=BC。解析：本题主要考查平行四边形对角相等的性质以及同位角相等的性质。首先，利用平行四边形的性质得到AD∥BC和AB∥CD，然后根据∠A和∠C的度数，结合平行四边形的性质，证明∠D和∠B的度数，最后利用同位角相等得到AD=BC。第五题：在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，且∠ABC=60°。如果AB=8cm，求对角线BD的长度。答案：BD=8√3cm解析：由于ABCD是平行四边形，所以对边相等，即AB=CD，AD=BC。在平行四边形中，对角线互相平分，所以OA=OC，OB=OD。在△AOB中，由于∠ABC=60°，且AB=8cm，我们可以将△AOB视为等边三角形，因此OA=OB=AB=8cm。由于OB=OD，且OB=8cm，所以BD=2×OB=2×8cm=16cm。但是，这里有一个错误，因为题目中的解答过程没有考虑到平行四边形对角线的性质。正确的解答过程如下：在平行四边形ABCD中，由于对角线互相平分，我们有OA=OC和OB=OD。因此，△AOB和△COD是全等的（SAS准则：两个角和它们之间的边分别相等）。由于△AOB和△COD全等，所以∠AOB=∠COD。又因为∠ABC=60°，所以∠AOB=60°。在△AOB中，由于∠AOB=60°且OA=OB（等边三角形的性质），我们可以得出△AOB是一个等边三角形。因此，AB=AO=8cm。由于BD是△AOB的边，所以BD=AB=8cm。最终答案：BD=8cm。第六题：已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G是AB上的一点，且AG=GF。求证：四边形EGFD为菱形。答案：证明：由于E和F分别是AD和BC的中点，根据平行四边形的性质，AE=ED，BF=FC。因为AG=GF，所以AG+GF=AF，即AF=BF