1-4-无穷小与无穷大

1一、无穷小二、无穷大无穷小与无穷大三、无穷小的比较2

例1无穷小的定义一、无穷小

注:3定理1(无穷小与函数极限的关系)提示:f(x)=A+[f(x)-A],a=f(x)-A.

注:定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小

例如,4

如果当x

x0时

|f(x)|无限增大

那么称函数f(x)为当x

x0时的无穷大

记为无穷大的定义二、无穷大(形式记法,实际上极限不存在)

无穷大的精确定义

M

0

d

0

当0

|x

x0|

d时

有|f(x)|

M

正无穷大与负无穷大

M

0

d

0

当0

|x

x0|

d时

有f(x)

M

M

0

d

0

当0

|x

x0|

d时

有f(x)<M

51铅直渐近线无穷大的等价定义例2

M

0

d

0

当0

|x

x0|

d时

|f(x)|

M

提示:6铅直渐近线的铅直渐近线

1铅直渐近线水平渐近线

水平渐近线

如果¥®xlimf(x)=A,

则直线y=A称为函数y=f(x)的图形的

水平渐近线7注:条件中的极限可改为单侧极限.水平渐近线

的铅直渐近线

铅直渐近线

水平渐近线

如果¥®xlimf(x)=A,

则直线y=A称为函数y=f(x)的图形的

曲线

y

ln

x

有铅直渐近线x0:

曲线

y

arctan

x

有水平渐近线y=arctan

x8讨论设

P(x)为多项式,问提示其中k为非零常数.讨论设

R(x)为有理函数,问

解

先用x3去除分子及分母

然后取极限

例3

9

解:

讨论设

R(x)为有理函数,问

例4

讨论设

P(x)为多项式,问提示其中k

为非零常数.10讨论设

R(x)为有理函数,问讨论设

P(x)为多项式,问提示其中k

为非零常数.11

解

例5计算

解

例6计算12无穷大与无界之间的关系

例如,函数f(x)=x

sinx在[0,+∞)上是无界的,

但当x时,f(x)不是无穷大.理由如下:如果当x时,f(x)是无穷大,那么对任意趋于正无穷大的数列{xn},都有f(xn).但实际上并不如此:当xa时如果f(x)为无穷大,则当xa时,f(x)无界.反之不然.13三、无穷小的比较

在x

0的过程中

x3比x2

趋于零的“速度”快些

x4

比x3

趋于零的“速度”快些,……

设a为某一极限过程中的无穷小

对于任一正数k,显然ak

是同一极限过程中的无穷小

当h>k

时,ah

比ak

趋于零的“速度”快些.无穷小的阶

设a及b为同一极限过程中的无穷小

如果就说b是关于a的k阶无穷小.

自变量的变化过程x

x0(x0

,,),n

统称极限过程.

阶数越大,趋于零的“速度”越快.14所以当x

3时

x2-9是关于x-3的一阶无穷小

例7

例8

所以当x

0时

1-cosx

是关于x

的二阶无穷小

无穷小的阶

设a及b为同一极限过程中的无穷小

如果就说b是关于a的k阶无穷小.

阶数越大,趋于零的“速度”越快.15当x

a

时

a

|x

a|k(k>0)是关于|xa|的k

阶无穷小,bc|xa|h(c0,h>0)是关于|xa|的h阶无穷小.无穷小阶的比较设a及b为同一极限过程中的无穷小.16等价无穷小

设a及b为同一极限过程中的无穷小

如果就说b与a等价,记为b~a.

例9

当x0时,17

证明

等价无穷小代换定理

求两个无穷小比值的极限时

分子及分母都可用等价无穷小来代替

因此

如果用来代替的无穷小选取得适当

则可使计算简化

定理的意义:18

解

当x

0时

tan2x~2x

sin5x~5x

所以

解

当x

0时sinx~x

无穷小x3+3x与它本身显然是等价的

所以

例10

例11

19常用等价无穷小设

(x)0,则有(4)的推导:令

u

(x)则(5)的推导:令

uexp[

(x)]1则

(x