2024学年上海市通河中学高三数学第一学期期中考试卷附答案解析

学年上海市通河中学高三数学第一学期期中考试卷考试说明：1．满分：150分；考试时间：120分钟2．试题答案全部做在答题纸上．一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，满分54分）1.已知集合，，则___________.2.若幂函数的图像经过点，则=___________.3.已知数列是等差数列，，，则_________.4.在锐角中，角所对的边分别为，若，则角________．5.展开式中常数项为________.6.已知函数为奇函数，则_________．7.已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的体积为8.已知，则的最小值为________.9.若将函数向右平移个单位后其图像关于轴对称，则.10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则=______．11.关于不等式在上有解，则实数的取值范围是___________.12.若函数，则图象上关于原点对称的点共_____对二、选择题（本大题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，满分18分）13.“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.下列函数在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.15.如图，已知等腰中，，，点P是边上的动点，则（）A.为定值10 B.为定值6 C.有最大值为10 D.有最小值为616.设定义域为两个函数，其值域依次是和，给出下列四个命题：①“”是“对任意恒成立”的充要条件；②“”是“对任意恒成立”充分不必要条件；③“”是“对任意恒成立”的充要条件；④“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件；下列选项中正确的是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.②④三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.已知复数，且纯虚数．（1）求复数；（2）设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影．18.如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；19.近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设．（1）求扇形的面积；（2）求矩形的面积的最大值，并求出取得最大值时的值．20.已知函数，为的导函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）在第（1）题的条件下，求函数的单调区间和极值；（3）当时，求证；对任意的，且，有．21.已知过椭圆方程右焦点、斜率为的直线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线的斜率为1时，求的面积；（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理【答案】1.【解析】【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】由题意可知.故答案为：.2.##【解析】【分析】设幂函数的解析式，将点坐标代入，得函数解析式即可求.【详解】设，则，所以，则，所以.故答案为：.3.【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】因为数列是等差数列，所以，解得，所以，故答案为：4.【解析】【分析】根据正弦定理边角互化得，故，由于为锐角三角形，故.【详解】解：∵，∴根据正弦定理边角互化得：，又∵，∴，∴，∵为锐角三角形，∴∴故答案为：【点睛】本题考查正弦定理解三角形，边角互化，考查运算能力，是基础题..5.240【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的常数项.【详解】展开式的通项公式令,所以的展开式的常数项为,故答案为.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6.【解析】【分析】首先求出函数的定义域，根据为奇函数且在定义域内，有，求出的值.【详解】函数的定义域为，且为奇函数，，得经检验符合题意.故答案为：.7.##【解析】【分析】先利用侧面积求出底面半径，然后利用圆锥的体积公式可求答案.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，因为母线长为2，侧面积为2π，所以，解得；所以，圆锥的体积.故答案为：.8.4【解析】【分析】首先根据指对互化，表示为，再利用基本不等式求最小值.【详解】，，且，即，等号成立的条件是，又因为，解得.故答案为4.【点睛】本题考查指对互化，和基本不等式求最值，意在考查转化和计算能力，属于简单题型.9.【解析】【分析】根据三角函数的图象变换及性质计算即可.【详解】易知函数向右平移个单位后得函数，此时函数关于轴对称，则，又，所以时，.故答案为：.10.【解析】【分析】根据给定条件，利用求出，再利用奇函数定义求出作答.【详解】R上的奇函数，当时，，则，解得，所以.故答案为：11.【解析】【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是.【详解】由不等式以及可得，依题意可知即可，令，又，由可得，利用二次函数性质可知，即可得；即实数的取值范围是.故答案为：12.【解析】【分析】由题意可知观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可，由此作出相应函数图象，数形结合，可得答案.【详解】由题意图象上关于原点O对称的点的个数，只需观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可，作出函数和的图象如图：由上图可知：两个图象交点个数为4个，即函数，则图象上关于原点对称的点共4对.故答案为：4．13.A【解析】【分析】由得或，进而根据概念直接求解即可.【详解】解：解不等式得：或，因为是或的真子集，所以，是或的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件.故选：A14.C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可.【详解】对于A选项，函数在区间0,1上为减函数；对于B选项，函数在区间0,1上为减函数；对于C选项，函数在区间0,1上增函数；对于D选项，函数在区间0,1上为减函数.故选：C.15.A【解析】【分析】设，根据平面向量数量积及加减法运算结合余弦定理可得结果.【详解】设，因为，，所以，又，，所以，故选：A.16.C【解析】【分析】由定义域为是的两个函数，其值域依次是和，可得为的最小值，为的最大值，结合反例即可判定各命题的正误，从而得解.【详解】因为定义域为是的两个函数，其值域依次是和，所以为的最小值，为的最大值，所以当时，对任意都有，反之当对任意恒成立时，也可以得到，故“”为“对任意恒成立”的充要条件，所以①对，②错；因为定义域为是的两个函数，其值域依次是和，所以为的最小值，为的最大值，所以当时，可得“对任意恒成立”但是当“对任意恒成立”时，得不到，如反例，，则，任意，fx−gx=x>0但是，所以“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件；所以④对，③错故选：C.17.（1）（2）3【解析】【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可；（2）利用复数的几何意义和向量在向量上的数量投影公式计算即可.【小问1详解】，因为是纯虚数，所以且，解得.所以.【小问2详解】由（1）可得，即，所以，所以向量在向量上的数量投影为.18.（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立；（2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）在三棱柱中，平面，，以点坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点、、、、、，，，则，因此，；（2），，设平面的法向量为，由，取，可得，，所以，，易知平面的一个法向量为，.由图形可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.19.近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，（1）平方米（2）当时，取得最大值.【解析】【分析】（1）根据题意利用扇形的面积公式求解即可；（2）利用直角三角形的性质结合半径与分别表示出，从而可求出，再利用三角函数恒等变换公式对化简变形，结合角的范围可求出的最大值.【小问1详解】由题意知，扇形的半径米，所以扇形的面积为平方米；【小问2详解】在中，，在中，，则由，得，所以，所以，，由，得，则，所以当，即时，取得最大值.20.（1）（2）减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据导数和函数单调性极值的关系求解即可；（3）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【小问1详解】当时，，故，，，切点为，曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】，，，令，解得，当，，当，，函数在上单调递减，在上单调递增，是极小值点，极小值为，无极大值；故函数的单调减区间为，单调增区间为，极小值为，无极大值；【小问3详解】证明：由，得，对任意的，且，令，则①，令，，当时，，在单调递增，当时，，即，，，，，即②，由（2）可知，当时，，即，故③，由①②③可得，当时，任意的，且，有.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间和极值，证明不等式.解题关键是不等式的变形，一是去分母，二是引入参数，这是关键所在，这样可把不等式的证明分解为：，，后者用导数进行证明，前者直接因式分解可得，然后由不等式的性质放缩，恰好利用（2）的结论得证.21.1）2；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）根据题中所给的方程，求得的值，代入菱形面积公式得到答案；（2）右焦点，直线的方程为，设，，由题设条件知，，由此可求出的面积；（3）假设在线段上是否存在点，设直线的方程为，由题意知，将中点坐标用表示，利用，建立关于方程，再由方程有解，即可求出的范围.【详解