2024学年三明市一中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

学年三明市一中高二数学上学期期中考试卷2024年11月一、单选题（本大题共8小题）1．抛物线的准线方程是（

）A． B．C． D．2．已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（

）A． B． C． D．3．若方程表示圆，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．在四棱柱中，设，，，，，则（

）A． B．C． D．5．已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（

）A． B．C． D．6．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．7．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线：，：，则下列说法正确的是（

）A．直线在x轴上的截距为1 B．直线在y轴上的截距为1C．若，则或 D．若，则10．在正方体中，则（

）A．直线与直线所成角为B．直线与平面所成角的正弦值为C．二面角的余弦值为D．如果，那么点到平面的距离为11．已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（

）A．当的最大角为时，椭圆的离心率为B．当时，的面积为C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆与圆相内切，则实数a的值为．13．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围．四、解答题（本大题共5小题）15．已知三角形ABC的顶点坐标为．(1)求过点C且与边AB平行的直线方程；(2)求AB边上的高所在的直线方程．16．已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，．(1)求实数的值；(2)当时，求过点并与圆相切的直线方程．17．已知，分别是双曲线的左、右顶点，是上异于，的一点，直线，的斜率分别为，且.(1)求双曲线的方程；(2)已知过点的直线，交的左，右两支于，两点（异于，），求的取值范围.18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.

(1)证明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点.(1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程；(2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处；(3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程.

参考答案1．【答案】C【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；【详解】解：因为抛物线方程为，即，所以，即，所以抛物线的准线为故选：C2．【答案】D【详解】由题意知，，又，所以，且两直线之间的距离为.故选：D3．【答案】A【分析】运用圆的标准方程即可求解【详解】方程表示圆，则，解得，即的取值范围为.故选：A.4．【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】，故选C.5．【答案】A【详解】由题意可得，，所以，所以椭圆方程为.故选：A6．【答案】D【详解】抛物线的焦点为，准线为，设点在准线上的射影为，如图，

则根据抛物线的定义可知，求的最小值，即求的最小值，显然当，，三点共线时取得最小值，此时点的横坐标为，则，解得，即.故选：D.7．【答案】C【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案【详解】设点为直线上的动点，由可看作与的距离和与的距离之和，设点则点为点关于直线的对称点，故，且，所以，当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为.故选：C8．【答案】B【详解】双曲线的一条渐近线方程为，因为点是直线上任意一点，又直线与直线的距离为：，即圆心到直线的距离为：,因为圆与双曲线C的右支没有公共点，所以，即，又,所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：B9．【答案】AD【详解】选项A：令，代入直线，解得：，选项正确；选项B：令，代入直线，解得：，选项错误；选项C：直线的法向量分别为，，因为，所以直线的法向量也平行，即：，解得：或，当时，重合，舍去，故选项错误；选项D：，所以直线的法向量也垂直，即，解得：，选项正确；故选：AD.10．【答案】AB【详解】如图所示：设正方体的边长为1，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，因为，所以，所以直线与直线所成角为，A正确；设面的一个法向量为，，则，即，不妨令，得，即取，又因为，设直线与平面所成角为，则，B正确；设平面的一个法向量为，，则，即，不妨令，得，即取，又面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，C错误；因为面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，D错误.故选：AB.11．【答案】ABD【分析】对于A，由顶点与角的关系直接判断即可；对于B，利用等体积法求得，从而得解；对于C，直接求出，，利用作差法即可判断；对于D，直接求出，从而得以判断.【详解】对于A，当取最大时，顶点为上下顶点，此时，故A正确；对于B，当时，由，得，所以的面积为，又，所以点的纵坐标为，则的面积为，故B正确；对于C，设，又，则，，所以，而与的大小不定，故上式正负不定，故C错误；对于D，因为，所以，又，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题B选项解决的关键是利用椭圆的定义与勾股定理求得，从而利用面积相等得到，由此得解.12．【答案】【详解】圆，化成标准方程为，圆心坐标为半径，圆，圆心坐标为半径，由两圆相内切，则圆心距，解得.故答案为：.13．【答案】【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.故答案为：.14．【答案】【详解】设，因为垂直于轴，所以代入椭圆方程，得，所以，设，联立，消去整理得，，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由直线的点斜式方程可得，化简可得.（2）由（1）可知，，则AB边上的高所在的直线斜率为，由直线的点斜式方程可得，化简可得.16．【答案】(1)或(2)或【详解】（1）因为圆的半径，，所以圆心到直线的距离，所以，所以，所以或.（2）因为，所以，当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到的距离为，所以与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，所以，所以直线方程为，所以过点并与圆相切的直线方程为或.17．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由题意可知，，因为，所以设，则，所以，又，所以所以双曲线的方程为（2）由题意知直线的方程为，，.联立，化简得，因为直线与双曲线左右两支相交，所以，即满足：，所以或18．【答案】(1)证明见详解(2)（i），（ii）存在点，.【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为是中点，所以，，又，，，，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.（2），，又，，，则，又平面平面，平面平面，平面，，又，所以，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，（i）设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，，，又平面的一个法向量为，，所以二面角的余弦值为.（ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为，设，，，，由（i）知平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，则，解得或，又，所以，即存在点到平面的