2024-2025学年辽宁省沈阳四十三中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳四十三中教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．2．（3分）如图，中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．3．（3分）已知与互余，若，则的值为A． B． C． D．4．（3分）已知反比例函数，下列说法中错误的是A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而增大5．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．6．（3分）下列对二次函数的图象的描述，正确的是A．开口向下 B．对称轴是轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧随的增大而减小7．（3分）小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是A．掷一枚骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率8．（3分）抛物线，、、为常数）上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：012440则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线；②；③当时，；④方程的两根分别是，，其中正确的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（3分）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是A． B． C． D．10．（3分）已知抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是A． B． C． D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若函数是关于的反比例函数，则．12．（3分）四边形中，，，，分别是边，，，的中点，的边满足条件：时（填上一个你认为正确的条件），四边形是菱形．13．（3分）如图，在正方形网格中，度．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知△的面积为3，则的值为．15．（3分）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点，则的最小值为．三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）16．（10分）（1）解方程；（2）计算：．17．（8分）明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．（1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是；（2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．18．（8分）如图：抛物线过，两点，点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，．（1）求抛物线的解析式；（2）过点作轴于点，交于点，作轴于点，交抛物线的对称轴于点，若，求的值．19．（8分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个与销售单价（元个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元个．（1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数解析式；为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元？（2）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润．20．（8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度，米，，施工队站在点处看向，测得仰角为，再由走到处测量，，米，测得处的仰角为，求隧道长．，，21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点（点在点左侧），已知点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出的解集；（3）将直线沿向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点，如果△的面积为10，求平移后的直线的函数表达式．22．（12分）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．（1）如图1，当，时，①求证：△△；②连接，，求证：．（2）如图2，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，当时，①求的长；②直接写出的值．23．（13分）小明为了探究函数的性质，他想通过列表描点画出它的图象，然后再观察、归纳，并运用性质解决问题．（1）使用特殊到一般的方法，当时．①列出与的几组对应值如表：01234522表格中，；②结合上表，在如图1所示的平面直角坐标系中，画出当时函数的图象；③观察图象，当时，有最小值为；（2）求函数与直线的交点坐标；（3）已知，两点在时函数的图象上，当时，请直接写出的取值范围；（4）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，当函数的图象与矩形的边恰有4个交点时，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．解：抛物线，该抛物线的顶点坐标为，故选：．2．（3分）如图，中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．解：，，，，，故错误；，与的面积比为，周长的比为，故和错误；，，．故正确．故选：．3．（3分）已知与互余，若，则的值为A． B． C． D．解：与互余，、可看作的两锐角，，设，，，．故选：．4．（3分）已知反比例函数，下列说法中错误的是A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而增大解：反比例函数中，，图象在二，四象限内，故选项正确；，图象必经过，故选项正确；图象关于直线对称，故选项正确；反比例函数中，，在每个象限内，随的增大而增大，故选项错误；故选：．5．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．解：，在每个象限内，随值的增大而增大，当时，，，故选：．6．（3分）下列对二次函数的图象的描述，正确的是A．开口向下 B．对称轴是轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧随的增大而减小解：二次函数，，该函数图象开口向上，故选项错误；对称轴值直线，故选项错误；当时，，即该函数图象过原点，故选项正确；在对称轴右侧随的增大而增大，故选项错误；故选：．7．（3分）小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是A．掷一枚骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率解：、掷一枚骰子，出现4点的概率为；、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为；、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为；、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率．故选：．8．（3分）抛物线，、、为常数）上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：012440则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线；②；③当时，；④方程的两根分别是，，其中正确的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①函数的对称轴为：，此时，故①符合题意；②函数的对称轴为：，则和对应，故②符合题意；③，，根据函数的对称性，，，而当时，，故③不符合题意；④方程的两根，相等于和的加点，故④符合题意，故选：．9．（3分）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是A． B． C． D．解：①当时，点在上，，，过作交于点，中，，，，，，，，②当时，点在上，，综上所述，正确的图象是．故选：．10．（3分）已知抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是A． B． C． D．解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，由题意可知：，当时，，当时，，由图象可知关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，直线在直线和直线之间包括直线，．故选：．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若函数是关于的反比例函数，则．解：函数是关于的反比例函数，，解得：．故答案为：．12．（3分）四边形中，，，，分别是边，，，的中点，的边满足条件：时（填上一个你认为正确的条件），四边形是菱形．解：如图，，、、、分别是线段、、、的中点，则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，根据三角形的中位线的性质知，，，当有成立，则四边形是平行四边形．添加：．13．（3分）如图，在正方形网格中，45度．解：，，，，，，又，△△，，，即．故答案为：45．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知△的面积为3，则的值为．解：点在反比例函数的图象上，设点的坐标为，轴，点的纵坐标为，于轴之间的距离为，又点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，△的面积为3，，解得：．故答案为：．15．（3分）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点，则的最小值为．解：过点作轴交直线于点，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，将代入可得，，，将代入可得，，，，，设解析式为，则，，的解析式为：，轴，△△，，设点，、纵坐标相等，当时，，解得，，，，，当时，有最大值为，则有最小值，则的最小值为，故答案为：．三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）16．（10分）（1）解方程；（2）计算：．解：（1），，，或，，；（2）．17．（8分）明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．（1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是；（2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．解：（1）根据题意有4个四个礼品盒，其中有3个摆件的礼品盒有2个，妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是：，故答案为：．（2）画树状图如下：由图可得，共有12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的情况有4种，妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．18．（8分）如图：抛物线过，两点，点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，．（1）求抛物线的解析式；（2）过点作轴于点，交于点，作轴于点，交抛物线的对称轴于点，若，求的值．解：（1）将，点的坐标代入函数解析式得，，解得，抛物线的表达式为．（2）点的横坐标是，点的坐标为．令直线的函数解析式为，则，解得，直线的函数解析式为．，且抛物线的对称轴为直线，．又点坐标为，．，，解得，又，．19．（8分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个与销售单价（元个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元个．（1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数解析式；为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元？（2）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润．解：（1）由题意可得，，当时，，解得，，，故为了方便顾客，售价定为10元，即销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数解析式是，为了方便顾客，售价定为10元时可获利1200元；（2）由题意可得，，解得，，，，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，又，当时，取得最大值，此时，即许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，此时的销售单价是15元，此时的最大利润是1350元．20．（8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度，米，，施工队站在点处看向，测得仰角为，再由走到处测量，，米，测得处的仰角为，求隧道长．，，解：，，，，，是等腰直角三角形，米，过点作于点，如图所示：，，四边形是矩形，米，，在中，，（米，（米，米，（米，隧道长为350米．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点（点在点左侧），已知点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出的解集；（3）将直线沿向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点，如果△的面积为10，求平移后的直线的函数表达式．解：（1）直线经过点，点的纵坐标是2，当时，，，反比例函数的图象经过点，，反比例函数的表达式为；（2）直线与反比例函数的图象交于，两点，，不等式的解集为或；（3）如图，设平移后的直线与轴交于点，连接，，，△的面积与△的面积相等，△的面积为10，，即，，，，设平移后的直线的函数表达式为，把代入，可得，解得，平移后的直线的函数表达式为．22．（12分）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．（1）如图1，当，时，①求证：△△；②连接，，求证：．（2）如图2，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，当时，①求的长；②直接写出的值．【解答】（1）证明：①四