平面向量的概念及线性运算小题限时训练 高三数学二轮复习

平面向量的概念及线性运算(时间：40分钟满分：73分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.[2024·枣强模拟]已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ).若a∥b，则λ＝()A.3 B.－3 C.eq\f(1,3) D.－eq\f(1,3)2.[2024·南京模拟]下列说法中正确的是()A.单位向量都相等 B.平行向量不一定是共线向量C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D.若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b3.[2023·南平模拟]已知正方形ABCD的边长为1，点M满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，则|eq\o(MD,\s\up6(→))|＝()A.eq\f(1,2) B.1 C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)4.[2023·西安质检]设k∈R，下列向量中，可与向量q＝(1，－1)组成基底的向量是()A.b＝(k，k) B.c＝(－k，－k)C.d＝(k2＋1，k2＋1) D.e＝(k2－1，k2－1)5.[2023·泰安模拟]在△ABC中，点D为AC中点，点E在BC上且BE＝2EC.记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(ED,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,6)b B.－eq\f(1,3)a－eq\f(1,6)bC.－eq\f(1,6)a－eq\f(1,3)b D.eq\f(1,3)a－eq\f(1,6)b6.[2024·湖南四大名校质检]在三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))上的投影向量为eq\f(5,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A.－12 B.－6 C.12 D.187.[2024·娄底调研]在△ABC中，点D是边BC上任意一点，点P满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AP,\s\up6(→))，若存在实数m和n，使得eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，则m＋n＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3) C.－eq\f(1,3) D.－eq\f(2,3)8.[2024·天津调研]蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法不正确的是()A.eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→)) B.eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)) D.eq\o(AD,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq\o(AB,\s\up6(→))二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.[2024·厦门调研]在平面直角坐标系中，向量a，b如图所示，则()A.a⊥bB.|2a－b|＝5C.a在2a－b方向上的投影向量的模为1D.存在实数λ，使得λa＋b与a－b共线第9题图第10题图10.[2024·蚌埠模拟]如图所示，点E，F，G，H分别为菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，O为AC与BD的交点，设P为平面ABCD内一点，则下列结论正确的是()A.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝0B.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝0C.eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＋eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝011.[2023·潍坊模拟]已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则()A.若O为AD中点，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))B.若O为AD中点，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))C.若O为△ABC的重心，则eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝0D.若O为△ABC的外心，且BC＝4，则eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.[2024·成都模拟]e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2且A，B，D三点共线，则实数k＝________.13.[2024·黄冈模拟]在平行四边形ABCD中，点A(0，0)，B(－4，4)，D(2，6).若AC与BD的交点为M，则DM的中点E的坐标为__________.14.[2024·潍坊调研]设正八边形A1A2…A8的外接圆半径为1，圆心是点O，点P在边A1A2上，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(∑,\s\up12(8),\s\do4(i＝1))eq\o(OAi,\s\up6(→))＝____________；若P在线段A1A2上，且eq\o(A3P,\s\up6(→))＝xeq\o(A3A2,\s\up6(→))＋yeq\o(A3A4,\s\up6(→))，则x－y的取值范围为____________.

平面向量的概念及线性运算1.B[因为向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，a∥b，所以2λ＝－6，解得λ＝－3，故选B.]2.C[依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若a，b同向共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|；若a，b反向共线，则|a＋b|＜|a|＋|b|；若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知|a＋b|＜|a|＋|b|.综上可知对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选C.]3.C[如图，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，所以M是AC的中点，|eq\o(MD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)，故选C.]4.C[对于A、B项，若k＝0时，b＝(0，0)，c＝(0，0)，不满足构成基向量的条件，所以A、B都错误；对于D项，若k＝±1时，e＝(0，0)，不满足构成基向量的条件，所以D错误；对于C项，因为∀k∈R，k2＋1≠0，又因为(k2＋1)×(－1)－(k2＋1)×1≠0恒成立，说明d与q不共线，符合构成基向量的条件，所以C正确.故选C.]5.B[如图所示：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，又∵BE＝2EC，∴eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－a)，又∵D为AC中点，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b，则eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a－eq\f(1,6)b，故选B.]6.A[由题意，∠BAC＝90°，O为BC中点，由eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))上的投影向量为|eq\o(BA,\s\up6(→))|cosB·eq\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))|cosB,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,6)，又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB＝eq\f(5,6)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝30，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(BO,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×6－30＝－12.故选A.]7.D[由题意，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，且0＜λ＜1，而eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AP,\s\up6(→))＝3(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→)))，所以3eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(λ－3,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1－λ,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，由已知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(λ－3,3)，,n＝\f(1－λ,3)，))则m＋n＝－eq\f(2,3)，选项D正确.故选D.]8.A[连接AE，AC，AD，BF，BD，CE，CE与AD交于点H，如图所示，对于A：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，显然由图可得eq\o(EC,\s\up6(→))与eq\o(BF,\s\up6(→))为相反向量，故A错误；对于B：由图易得|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，直线AD平分角∠EAC，且△ACE为正三角形，根据平行四边形法则有eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\o(AH,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))共线且同方向，易知△EDH，△AEH均为含eq\f(π,6)角的直角三角形，故|eq\o(AH,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(EH,\s\up6(→))|，|eq\o(EH,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DH,\s\up6(→))|，即|eq\o(AH,\s\up6(→))|＝3|eq\o(DH,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AH,\s\up6(→))|＋|eq\o(DH,\s\up6(→))|＝3|eq\o(DH,\s\up6(→))|＋|eq\o(DH,\s\up6(→))|＝4|eq\o(DH,\s\up6(→))|，又因为2|eq\o(AH,\s\up6(→))|＝6|eq\o(DH,\s\up6(→))|，故eq\f(2|\o(AH,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,2)，故eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，故B正确；对于C：设正六边形ABCDEF的边长为a，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)a2，eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)a2，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))，故C正确；对于D：易知∠ABD＝eq\f(π,2)，则eq\o(AD,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq\o(AB,\s\up6(→))，故D正确，故选A.]9.BCD[由题图可得：a＝(2，1)，b＝(4，－3).对于选项A：因为a·b＝2×4＋1×(－3)＝5≠0，所以a，b不垂直，故A错误；对于选项B：因为2a－b＝(0，5)，所以|2a－b|＝eq\r(02＋52)＝5，故B正确；对于选项C：因为a·(2a－b)＝2×0＋1×5＝5，|a|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以a在2a－b方向上的投影向量的模为eq\f(|a·（2a－b）|,|2a－b|)＝eq\f(5,5)＝1，故C正确；对于选项D：因为λa＋b＝(2λ＋4，λ－3)，a－b＝(－2，4)，若λa＋b与a－b共线，则(2λ＋4)×4＝(λ－3)×(－2)，解得λ＝－1，所以当λ＝－1时，λa＋b与a－b共线，故D正确；故选BCD.]10.ACD[对于A：eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，故A正确；对于B：当点P与点O重合时，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))≠0，故B错误；对于C：因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PH,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PG,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(PH,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))，故C正确；对于D：因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝0，故D正确.故选ACD.]11.ABD[对于A，因为O为AD中点，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，故A正确；对于B，由O为AD中点(如图1)，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，故B正确；对于C，由O为△ABC的重心(如图2)，则根据三角形重心的性质得eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(EO,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝－eq\o(OE,\s\up6(→))，故C错误；对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得eq\o(OD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))(如图3)，故eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝－8，故D正确.故选ABD.]12.－8[依题意得，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－e1－3e2，于是eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－e1－3e2＋2e1－e2＝e1－4e2.由A，B，D三点共线可知，存在λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，由于e1，e2是两个不共线的向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ，))解得k＝－8.]13.(eq\f(1,2)，eq\f(11,2))[在平行四边形ABCD中，因为AC与BD的交点为M，且E为DM的中点，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))]＝eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(2，6)＋eq\f(1,4)(－4，4)＝(eq\f(1,2)，eq\f(11,2))，由A为坐标原点，所以向量eq\o(AE,\s\up6(→))的坐标即为E的坐标，故点E的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(11,2)).]14.0[1，eq\r(2)][由正八边形的对称性可知，O为线段AiAi＋4(i＝1，2，3，4)的中点，则eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OA5,\s\up6(→))＝eq\o(OA2,\s\up6(→))＋eq\o(OA6,\s\up6(→))＝eq\o(OA3,\s\up6(→))＋eq\o(OA7,\s\up6(→))＝eq\o(OA4,\s\up6(→))＋eq\o(OA8,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(∑,\s\up12(8),\s\do4(i＝1))eq\o(OAi,\