专题49 直线与椭圆、双曲线原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

试卷第=page11页，共=sectionpages33页Page专题49直线与椭圆、双曲线（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点1】直线与椭圆、双曲线的位置关系 3【考点2】中点弦及弦长问题 5【考点3】直线与椭圆、双曲线的综合问题 7【分层检测】 9【基础篇】 9【能力篇】 12【培优篇】 12真题自测真题自测一、解答题1．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．2．（2024·全国·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.3．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．4．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.5．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.6．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．考点突破考点突破【考点1】直线与椭圆、双曲线的位置关系一、解答题1．（2024·安徽·三模）已知椭圆的右焦点为F，C在点处的切线l分别交直线和直线于两点．(1)求证：直线与C相切；(2)探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）椭圆的焦点为和，短轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆上、下顶点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点（不与、两点重合）.①求证：与的交点的纵坐标为定值；②已知直线，求直线、、围成的三角形面积最小值.3．（2025·广东·一模）设两点的坐标分别为.直线相交于点，且它们的斜率之积是.设点的轨迹方程为.(1)求;(2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.4．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点.（i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点；（ii）求证：是定值.5．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点.(1)求C的方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围.6．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，Ax1,y1、B(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；(2)若，求直线的方程；(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.反思提升：1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.【考点2】中点弦及弦长问题一、解答题1．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．(1)求的方程；(2)若的面积为，求的方程；(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点，直线的斜率记为.(1)证明：；(2)若，焦距为.①求椭圆的方程；②若点为椭圆的右顶点，，且直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程.3．（2024·广东广州·三模）一般地，当且时，方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆上异于其左，右顶点M，N的任意一点．(1)当时，直线与椭圆C，自上而下依次交于R，Q，S，T四点，探究，的大小关系，并说明理由．(2)当（e为椭圆C的离心率）时，设直线与椭圆C交于点A，B，直线与椭圆C交于点D，E，求的值．4．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．(1)求的标准方程；(2)证明：；(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．5．（2024·安徽池州·二模）已知双曲线的右焦点，离心率为，过F的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点.(1)当直线的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积；(2)直线分别交于点，若为的中点，证明：为的中点.6．（2023·广西南宁·模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．反思提升：1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).【考点3】直线与椭圆、双曲线的综合问题一、解答题1．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点.(1)若点的横坐标为2，求的长;(2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围(3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.2．（2023·四川绵阳·三模）在平面直角坐标系​中：①已知点​，直线​，动点​满足到点​的距离与到直线​的距离之比​；②已知点​分别在​轴，​轴上运动，且​，动点​满​；③已知圆​的方程为​，直线​为圆​的切线，记点​到直线​的距离分别为​，动点​满足​．(1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点​的轨迹方程；(2)记（1）中动点​的轨迹为​，经过点​的直线​交​于​两点，若线段​的垂直平分线与​轴相交于点​，求点​纵坐标的取值范围．3．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点为点F，过点F作y轴的垂线交椭圆于P，Q两点，．(1)求椭圆的标准方程；(2)过抛物线上一点A作抛物线的切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴于点G，若，的面积分别记为，，且，点A在第一象限，求点A的坐标．4．（2025·黑龙江大庆·一模）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.(1)求的方程；(2)若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.①求；②记，，求.5．（2025·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系中，点T到点的距离与到直线的距离之比为，记T的轨迹为曲线E，直线交E右支于A，B两点，直线交右支于C，D两点，.(1)求E的标准方程；(2)若直线过点，直线过点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作E两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，求四边形面积的取值范围.6．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，.已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.(i)若，求直线的斜率；(ii)求证：是定值.反思提升：1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法.2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝ty＋m避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋b的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知正实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·模拟预测）已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（）A． B．C． D．3．（2024·山东泰安·三模）已知为双曲线（，）的右焦点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，是面积为4的直角三角形，则的方程为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．二、多选题5．（2024·四川·一模）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（

）A．B．C．当不共线时，的周长为D．设点到直线的距离为，则6．（22-23高二下·广西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（

）A． B．的周长为16C．的面积为 D．7．（2022·福建泉州·模拟预测）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（

）A．的面积为 B．点的横坐标为2或C．的渐近线方程为 D．以线段为直径的圆的方程为三、填空题8．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为．9．（2022·安徽蚌埠·三模）已知椭圆的离心率为,直线与椭圆交于,两点,当的中点为时,直线的方程为.10．（2024·黑龙江吉林·二模）椭圆的左，右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于A，B两点，设，，若的面积是4，则.四、解答题11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.12．（2023·云南昆明·模拟预测）已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.【能力篇】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于两点，若，则下列说法不正确的是（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C．过点的直线与双曲线交于两点且为的中点，则直线的方程为D．的面积为二、多选题2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知双曲线的右焦点为F，过原点O作斜率为k的直线交双曲线于A，B两点，且，则的可