专题44 两条直线的位置关系原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题44两条直线的位置关系（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 4【考点1】两直线的平行与垂直 4【考点2】两直线的交点与距离问题 5【考点3】对称问题 6【考点4】直线系方程的应用 8【分层检测】 9【基础篇】 9【能力篇】 10【培优篇】 11考试要求：1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理知识梳理1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题4．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．考点突破考点突破【考点1】两直线的平行与垂直一、单选题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值为（

）A．4 B． C．2或 D．或42．（23-24高二上·山东·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·广东·一模）下列说法正确的是（

）A．已知直线与平行，则k的值是3B．直线与圆的位置关系为相交C．圆上到直线的距离为的点共有3个D．已知AC、BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为104．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线为在其上一点处的切线，则下列结论中正确的是（

）A．的一条渐近线与直线相互垂直B．若点在直线上，且，则（为坐标原点）C．直线的方程为D．延长交于点，则的内切圆圆心在直线上三、填空题5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知P，Q是抛物线上的两个动点，，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4，若直线PQ与直线平行，则直线PQ与之间的距离等于．6．（2023·海南·模拟预测）已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则．反思提升：1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【考点2】两直线的交点与距离问题一、单选题1．（2023·北京东城·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（

）A．个 B．2个 C．个 D．无数个2．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（

）A．4 B． C．2 D．二、多选题3．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若直线与函数在上有1个公共点，在上有个公共点，则的值不可能为（

）A．1 B． C． D．4．（2024·甘肃定西·一模）下列命题为真命题的是（

）A．的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是三、填空题5．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为.6．（2022·江苏·模拟预测）过抛物线的焦点作圆的切线，切点为.若，则，.反思提升：(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.【考点3】对称问题一、单选题1．（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，直线（且不同时为0），下列说法正确的是（

）A．当直线经过时，直线与圆相交所得弦长为B．当时，直线与关于点对称，则的方程为：C．当时，圆上存在4个点到直线的距离为D．过点与平行的直线方程为：4．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（

）A．P在直线l上，则的最小值为B．直线l上一点使最大C．当最小时的方程是D．当最小时的方程是三、填空题5．（2023·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为.6．（23-24高二上·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为．反思提升：(1)光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.(2)直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.(3)求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.【考点4】直线系方程的应用一、单选题1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（23-24高三上·山东临沂·期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（

）A． B．C． D．二、多选题3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知圆，直线，下列说法正确的是（

）A．无论取何值，直线与圆相交B．直线被圆截得的最短弦长为C．若，则圆关于直线对称的圆的方程为D．直线的方程能表示过点的所有直线的方程4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（

）A．若圆关于直线对称，则B．的最小值为C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点D．若（为坐标原点）四点共圆，则三、填空题5．（23-24高三上·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是．6．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为.反思提升：几种常见的直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（

）A．20 B． C．0 D．242．（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·河北保定·开学考试）函数图象上的点到直线距离的最小值为（

）A． B．1 C． D．24．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B． C． D．二、多选题5．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（

）A． B．0 C．1 D．36．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（

）A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是7．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线，下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．当时，关于轴的对称直线为C．直线一定经过第四象限D．点到直线的最大距离为三、填空题8．（24-25高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为.9．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程．10．（23-24高二下·山西·期中）已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为.四、解答题11．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是．(1)求直线关于直线对称的直线方程；(2)求直线关于直线对称的直线方程．12．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：．(1)若与互相垂直，求实数的值；(2)若与互相平行，求与间的距离．【能力篇】一、单选题1．（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（

）A．θ B． C． D．二、多选题2．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四