专题40 空间向量及其应用原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题40空间向量及其应用（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 4【考点突破】 5【考点1】空间向量的运算及共线、共面定理 5【考点2】空间向量的数量积及其应用 7【考点3】利用空间向量证明平行与垂直 9【分层检测】 12【基础篇】 12【能力篇】 15【培优篇】 16考试要求：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知识梳理知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(3)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))5.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.6.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥αu⊥n⇔u·n＝0l⊥αu∥n⇔u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝01.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.4.在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2021·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足BP=λBC+μBB1，其中，μ∈0,1A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面三、解答题3．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．考点突破考点突破【考点1】空间向量的运算及共线、共面定理一、单选题1．（2021·上海崇明·一模）若正方体上的点是其所在棱的中点，则直线与直线异面的图形是（

）A．

B．

C．

D．2．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（

）A．向量，，共面，即它们所在的直线共面B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D．已知向量，，则在上的投影向量为二、多选题3．（2022·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点P），则下列说法正确的是（

）A．对任意点，则有、、、四点共面B．存在点，使得、、、四点共面C．对任意点，则有平面D．存在点，使得平面4．（22-23高二上·广东·阶段练习）《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转，得到的三个正方体，，2，3（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（

）A．设点的坐标为，，2，3，则B．设，则C．点到平面的距离为D．若G为线段上的动点，则直线与直线所成角最小为三、填空题5．（2023·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为．6．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是.反思提升：1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.2.(1)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.①eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).②对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).【考点2】空间向量的数量积及其应用一、单选题1．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（

）A．30° B． C．60° D．90°2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（

）

A． B． C． D．二、多选题3．（2024·河北石家庄·三模）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法正确的有（

）

A．若点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为B．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为C．若点为的中点，则平面与四边形的交线长为D．若点在侧面正方形内（包含边界）且，则点的轨迹长度为4．（2024·山西太原·模拟预测）如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（

）A． B．的最小值为C．当时，AM与BC的夹角为 D．三、填空题5．（23-24高三下·上海浦东新·期中）正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为.6．（23-24高二上·广东·期末）如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为．若分别是上的动点，且，则的最小值是．反思提升：由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.【考点3】利用空间向量证明平行与垂直一、单选题1．（2024·山东济南·三模）如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为2．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，且和均是边长为的等边三角形，分别为的中点，为上的动点（不含端点），平面交直线于，则下列说法正确的是（

）A．当运动时，总有B．当运动时，点到直线距离的最小值为C．存在点，使得平面D．当时，直线交于同一点4．（2024·重庆九龙坡·三模）在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（

）A．直线平面B．直线与平面所成角的正切值为C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球表面积为9π三、解答题5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平行六面体中，，.

(1)求证：四边形为正方形；(2)求体对角线的长度；(3)求异面直线与所成角的余弦值.6．（2024·广西柳州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．反思提升：(1)利用向量证明平行问题①线线平行：方向向量平行.②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直.③面面平行：两平面的法向量平行.(2)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法①线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零；②线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；③面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（20-21高二上·山东泰安·期中）已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（

）．A． B．C． D．存在非零实数，使2．（2024·河南·三模）在四面体中，是边长为2的等边三角形，是内一点，四面体的体积为，则对，的最小值是（

）A． B． C． D．63．（2024高三·全国·专题练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．84．（2024·四川德阳·二模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是（

）①若，且，则②若且，则③若，且，则④若，且，则A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题5．（22-23高二上·全国·课后作业）下列命题是真命题的有(

)A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点，是平面α的法向量，则u+t＝16．（2021·全国·模拟预测）在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．B．存在点，使得C．三棱锥的体积为D．直线与平面所成角的余弦值为7．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（

）A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面C．三棱锥的体积是定值 D．二面角的余弦值为三、填空题8．（2023高一·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为．9．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为.10．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为（用向量来表示）.

四、解答题11．（2023·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，.(1)试用，，表示；(2)求的长.12．（20-21高二上·天津静海·阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．【能力篇】一、单选题1．（2020·北京朝阳·一模）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取