专题33 等差数列及其前n项和原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题33等差数列及其前n项和（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 4【考点1】等差数列的基本运算 4【考点2】等差数列的判定与证明 5【考点3】等差数列的性质及应用 7【分层检测】 8【基础篇】 8【能力篇】 10【培优篇】 10考试要求：1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理知识梳理1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．154．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、填空题5．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.6．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.7．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．8．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差．考点突破考点突破【考点1】等差数列的基本运算一、单选题1．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（

）A． B． C．49 D．1492．（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（

）A．157 B．156 C．74 D．73二、多选题3．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列的前n项和为，且，则（

）A． B．C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．C．数列是等差数列 D．三、填空题5．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为.

6．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为.反思提升：1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【考点2】等差数列的判定与证明一、解答题1．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列为等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最大值．2．（2024·重庆·三模）已知在数列中，．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的前项和；(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求面积的最大值．3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知（且，为常数）.(1)数列能否是等比数列？若是，求的值（用表示）；否则，说明理由；(2)已知，求数列的前项和.4．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和．5．（2024·广东深圳·一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．(1)求证：数列为等差数列；(2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．6．（23-24高三上·北京东城·期末）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.(1)若数列具有性质，求的值；(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.反思提升：1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【考点3】等差数列的性质及应用一、单选题1．（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（

）A．4 B． C． D．2．（2023·吉林白山·模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023二、多选题3．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（

）A．等差数列，若，则B．等比数列，若，则C．若为数列前n项和，则，仍为等差数列D．若为数列前n项和，则，仍为等比数列4．（2024·辽宁·二模）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（

）A． B．C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14三、填空题5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则.6．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为．反思提升：1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．4 B．8 C．12 D．162．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（

）A． B． C． D．3．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·模拟预测）已知递增数列满足．若，，则数列的前2023项和为（

）A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276二、多选题5．（2024·河北沧州·模拟预测）设等差数列的前n项和为，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（

）A．当时，，，是等差数列B．数列是等比数列C．数列是等差数列D．当p，q均为正整数且时，6．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（

）A．数列是等差数列 B．数列是等比数列C．数列是等差数列 D．数列是等比数列7．（2023·安徽安庆·二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d=−2，则（

）A．=B．当n=6或7时，取得最小值C．数列的前10项和为50D．当n≤2023时，与数列（mN）共有671项互为相反数．三、填空题8．（2023·四川成都·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则.9．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则．10．（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)块，则上层有扇形石板块．四、解答题11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求的前n项和.12．（2024·湖南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)记是数列的前项和，证明:.【能力篇】一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．二、多选题2．（2024·山东临沂·二模）已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若和都为递增数列，则三、填空题3．（2024·重庆·模拟预测）在正项等比数列中，，则的最大值为．四、解答题4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知无穷数列，构造新数列满足，满足，，满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，，，，若为常数数列，则称为阶等比数列.(1)已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式；(2)若为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列；(3)已知，令的前项和为，，证明：.【培优篇】一、解答题1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．(1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？(2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：(3)已知