新高考数学二轮提升练专题13 运用空间向量研究立体几何问题（原卷版）

专题13运用空间向量研究立体几何问题1、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．2、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．3、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C

(1)求A到平面A1BC(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A4、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．(1)证明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．5、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的正弦值．6、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，E，F分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，D为棱SKIPIF1<0上的点．SKIPIF1<0（1）证明：SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0为何值时，面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的二面角的正弦值最小?7、（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面，，分别是AC，A1B1的中点．（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．8、（2020全国Ⅰ理18）如图，SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0是圆锥底面的圆心，SKIPIF1<0为底面直径，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是底面的内接正三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．9、（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）证明：点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内；（2）证明：若SKIPIF1<0时，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．题组一、线面角1-1、（2022·山东泰安·高三期末）如图1，在等腰直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折，得到如图2所示的四棱锥SKIPIF1<0，若二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.

（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.1-2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点.（1）求证:平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，且二面角SKIPIF1<0的余弦值是SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.1-3、（2022·湖南郴州·高三期末）如图，在空间几何体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0均为边长为2的等边三角形，平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0都与平面SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．

（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．题组二、面面角2-1、（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点.（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.2-2、（2022·河北唐山·高三期末）四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0底面OBCD．（1）求证：SKIPIF1<0底面OBCD；（2）若SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为120°，求四棱锥SKIPIF1<0的体积．2-3、（2022·河北保定·高三期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为平行四边形，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.题组三、探索性问题3-1、（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，若二面角SKIPIF1<0的平面角的大小为SKIPIF1<0，试确定点SKIPIF1<0的位置.3-2、（2022·山东枣庄·高三期末）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，Q为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0．（1）求证：平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；（2）棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0？若存在，确定点SKIPIF1<0的位置；若不存在，说明理由．3-3、（2022·山东济南·高三期末）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的动点.（1）求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面；（2）是否存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的长度；若不存在，说明理由.3-4、（2022·湖南娄底·高三期末）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若平面APSB与棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于点P，S，且SKIPIF1<0，Q，R分别为棱SKIPIF1<0，BC上的点，且SKIPIF1<0．（1）求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）设平面APSB与平面SKIPIF1<0所成锐二面角为SKIPIF1<0，探究：SKIPIF1<0是否成立？请说明理由．1、（2022·湖南常德·高三期末）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．（1）求证：OA⊥PB；（2）若C底面圆上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．2、（2022·山东莱西·高三期末）在如图所示的三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIP