2024年高考数学复习 第一轮复习讲义（新高考地区专用） 考点08三角函数（30种题型8个易错考点）（原卷版+解析）

考点08三角函数（30种题型8个易错考点）

至一、真题多维细目表

考题考点考向

2022新高考1第6题三角函数的性质及其应用求值

2022新高考1第18题解三角形及其综合应用求角度及最值

2022新高考2第6题三角恒等变换求正切值

2022新高考2第9题三角函数的性质及其应用求单调区间，对称轴

2021新高考1第4题三角函数的性质及其应用求解单调区间

2021新高考1第6题三角恒等变换给值求值问题

2021新高考2第18题解三角形及其综合应用求三角形的面积，应用余弦定理判断三

角形的形状

B一、命题规律与备考策略

本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”

“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角函

数恒等变换与三角函数图像与性质、解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。

Bb2022真题抢先刷，考向提前知

一.选择题（共4小题）

1.（2021•新高考【）下列区间中，函数/（x）=7sin（x-管）单调递增的区间是（）

A.（0,—）B.（―,K）C.（11,丝）D.（亚，2n）

2222

2.（2021•新高考I）已知尸I,尸2是椭圆C：心2=1的两个焦点，点M在C上，则尸2|的最大

94

值为（）

A.13B.12C.9D.6

3.（2022•新高考I）记函数/（X）=sin（O）A+—）+b（u）＞0）的最小正周期为7.若且），=

43

;（x）的图像关于点（2工，2）中心对称，则/（三）=（）

22

A.1B.—C.—D.3

22

4.(2022•新高考II)若sin(a+p)+cos(a邛)=2^2cos(a-t--)sinp,则()

4

A.tan(a-p)=1B.tan(a+0)=1

C.tan(a-p)=-1D.tan(a+0)=-1

二.多选题(共1小题)

(多选)5.(2022•新高考H)己知函数/(x)=sin(2v+(p)(0<(p<ir)的图像关于点(空，0)中心对

3

称，则()

A./(x)在区间(0,且L)单调递减

X2

B.fa-)在区间(-工，型L)有两个极值点

C.直线是曲线y=/(x)的对称轴

6

D.直线v=Y2-x是曲线v=/(x)的切线

2

三.解答题(共2小题)

6.(2022•新高考I)记△A8C的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知3sA=sm2B

1+sinAl+cos2B

(1)若C=&L,求8；

3

2.,2

(2)求的最小值

7.（2021•新高考II）在△4BC中，角A,B,C所对的边长为a,b，c,b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sin4,求△ABC的面积；

(2)是否存在正整数小使得△A4C为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

但四、考点清单

一•任意角的概念

一、角的有关概念

1.从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.

2.从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.

3.若0与a是终边相同的角，贝邛用a表示为0=2日+a（次WZ）.

【解题方法点拨】

角的概念注意的问题

注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限超，第二类、

第三类是区间角.

二.终边相同的角

终边相同的角：

k・360°+a（AWZ）它是与a角的终边相同的角，（*=0时-，就是a木身），凡是终边相同的两个角，则它们

之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一

定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件.

还应该注意到:八=｛小=意到0°+30°,依Z）与集合8=｛小=在360°-330°,依Z｝是相等的集合.

相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是｛.很=妙360。，蛇Z｝；与x轴负方向终边相同的角的集合是｛,也

=&・3600+180°,髭Z｝；与），轴正方向终边相同的角的集合是｛.小=4・360°+90°,依Z｝：与），轴负方向

终边相同的角的集合是｛x|x=%・3600+270°,keZ]

【解题方法点拨】

终边相同的角的应用

（1）利用终边相同的角的集合S=｛角"2Kr+a,AWZ｝判断一个角〃所在的象限时，只需把这个角写成[0,

2n）范围内的一个角。与2n的整数倍的和，然后判断角。的象限.

（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集

合，然后通过对集合中的参数&赋值来求得所需角.

三.象限角、轴线角

在直角坐标系内讨论角

（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为

这个角是第几象限角.

（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

（3）所有与角。终边相同的角连同角。在内，可构成一个集合5={用1=加■妙360°,AWZ}.

【解题方法点拨】

（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第

二类、第三类是区间角.

（2）角度制与弧度制可利用180c进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混

用.

（3）注意熟记0。〜360。间特殊角的弧度表示，以方便解题.

四.弧度制

1弧度的角

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是U,倒=工，/是以角。作为

r

圆心角时所对圆弧的长，「为半径.

2.弧度制

把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值工与所取的厂的大小无关，仅与角的大小有关.

r

【解题方法点拨】

角度制与弧度制不可混用

角度制与弧度制可利用180。进行互化，在同••个式子中，采用的度量制度必须•一致，不可混用.

五.弧长公式

弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/,圆心角大小为a（加4）,半径为r,则/=旭，扇形的面积为

22

【解题方法点拨】

弧长和扇形面积的计算方法

（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

（2）从扇形面枳出发，在弧度制卜.使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最

值.

（3）记住下列公式：①/=aR；②S=1/R；③S=.其中R是扇形的半径，/是弧长，a（0<a〈2n）

为圆心角，S是扇形面积.

六.扇形面积公式

弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/，圆心角大小为a（md）,半径为r,则/=这，扇形的面积为5=工"=』尸夕.

22

【解题方法点拨】

弧长和扇形面积的计算方法

（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于。的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最

值.

（3）记住下列公式：①/=M；②S=2/R：③S=2原2.其中R是扇形的半径，/是弧长，a（0<a<2K）

22

为圆心角，S是扇形面积.

七.任意角的三角函数的定义

任意角的三角函数

1定义：设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸（x,y）,那么sincosa=x,tana=^-.

x

2.几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在通11上，余弦线的起点都是

原点,正切线的起点都是（1,0）.

【解题方法点拨】

利用三角函数的定义求三角函数值的方法

利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：

（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标口（2）纵坐标户（3）该点到原点的距离心若题目中已

知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）.

八.三角函数线

几何表示

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的

起点都是(1,0).

如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角。的正弦线，余弦线和正切线.

九.三角函数的定义域

【概念】

函数的定义域指的是函数在自变量x的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的x的范围.三角函数作为

•类函数，也有定义域，而且略有差别.

【三角函数的定义域】

以下所有的左都属于整数.

①正弦函数：表达式为)，=sinx；工日(2k-1)n,(2k+1)n］,其中在［2匕1-』",2匕1+二~］单调递增，其他

22

区间单调递减.

②余弦函数：表达式为y=cosx；.1(2A-I)n,(261)n］,其中在［2Kr-ir,2Kr］单调递增，其他区间单

调递减.

③正切函数：表达式为)，=lanx；.隹(Air--,KT+2L),在区间单调递增.

22

④余切函数：表达式为)，=8支，.隹(kn--,lm+2L)f在区间单调递减.

22

⑤正割函数：表达式为y=secx,(2KT-?L,2KT+?L)U：2KT+?L,2Znr+3兀),有secx・cosx=I.

2222

⑥余割函数:表达式为y=cscx,尤(2kn-TT,2knyU(2E,2垢+TT),有cscx*siiiv=1.

【考点点评】

这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的

时候一定不要忘了补充AWZ.

十.三角函数值的符号

三角函数值符号记忆口诀

记忆技巧：i全正、二正弦、三正切、四余弦(为正).即第i象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限

正切为正，第四象限余弦为正.

十一.三角函数的周期性

周期性

①一般地，对于函数,f(x),如果存在一个非零常数。使得当.r取定义域内的每一个值时，都有f(%+T)

=f(幻，那么函数就叫做周期函数，非零常数丁叫做这个函数的周期.

②对于一个周期函数/Cv),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/(X)

的最小正周期.

③函数y=Asin(o)x+(p),xER及函数y=Acos(a).v+(p)；xGR(其中A、co、9为常数，且AWO,a)>0)的

周期T=空.

3

【解题方法点拨】

1.一点提醒

求函数y=Asin(o)x+(p)的单调区间时，应注意3的符号，只有当o)>0时，才能把tox+cp看作一个整体，

代入)，=sin/的相应单调区间求解，否则将出现错误.

2.两类点

y=s\nx,x€[0,2n],y=cosx,A€[0,2n]的五点是：零点和极值点(最值点).

3.求周期的三种方法

①利用周期函数的定义./(肝丁)=/(x)

②利用公式：y=Asin(€ox+(p)和y=Acos(co.r+(p)的最小正周期为।,y=tan(3x+(p)的最小正周期

为

I3I

③利用图象.图象重复的x的长度.

十二.诱导公式

【概述】

三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对

于我们解题大有裨益.

【公式】

①正弦函数：表达式为)，=sinx；

有sin(n+x)=sin(-x)="sinx；sin(TT-x)=sini,sin(-^-+x)=sin-x)=coi¥

22

②余弦函数：表达式为y=cosxX

兀

有cos(n+x)=cos(n-x)--cosx,cos(-x)=cosx,cos(-----x)=sinx

2

③正切函数：表达式为)，=tanr

tan(-x)=-tanv,tan-x)=colr,tan(n+x)=tanx

2

④余切函数：表达式为丁=cotx；

兀

cot(-x)=-cotr,cot(------x)=tanx,cot(n+x)=cotr.

2

【应用】

1公式：

公式一：sin(a+2Kr)=sina,cos(a+2Zrrt)=cosa>其中A6Z.

公式二：sin(n+a)--sina,cos(ir+a)--cosa.tan(n-a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(IT-a)=-cosa.

公式五：sin=cosa,cos=sina.

公式六：sin=cosa>cos=-sina

2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.

3、在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tana=叁RJ化成正、余弦.

cosa

(2)和积转换法:利用(sin0±cos0)2=1±2sinBcosB的关系进行变形、转化.

(3)巧用“1”的变换：l=sir|2e+cos2e=cos%(l+tan20)=tan45°=….

4、注意:

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱

周一化锐.特别注意函数名称和符号的确定.

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

十三.运用诱导公式化简求值

利用诱导公式化简求值的思路

1.“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.

2.“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于

180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数.

3.“小化锐”,利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数.

4.“锐求值”，得到0。到90。的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.

十四.正弦函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosx>,=tanx

图象rJ）

Y\n4n.rl

攻VZ.”-

-1i-1-tX

定义域RRkeZ

值域LI，UL1，1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

2kn+—)(2ATTT-2Kr)(kn--,kn+—)

2222

(AWZ)；

(依Z)；(依Z)

递减区间：

递减区间：

/,7T.3兀、(2KT,2Am+n)

(2E+——，2A:TI+———)

22(k£Z)

(Q)

=

最值x=2Kr+.--(kETj)时，yinaxX=2ZTTT(kWZ)时，ymax无最值

2

1:

=1;

x=2/jr+ir(依Z)时，

戈=2日--(k£Z)时，

2ymin=­1

加加=-1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心：（E,0）（依Z）对称中心：（Kr+三，0）对称中心：（纪二0）

22

JT

对称轴：汇=m+二-,kWZ

2（依Z）（kwZ）

对称轴：x=Kr,ZreZ无对称轴

周期2K2TTn

十五.正弦函数的单调性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=Asin（3x+<p）或），=人85（3工+°）（其中，a）>0）的单调区间时，要视“3工十°”为一个整体，

通过解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

十六.正弦函数的奇偶性和对称性

【正弦函数的对称性】

正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（-x）=-siru.另

外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x=E+匹，依z.

2

十七.余弦函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数产sinxy=cosx>,=tanx

图象■

斗…、Z./in1

m9

定义域RRkeZ

值域ILU[1，1JR

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

[2ku-u»2kn]awz)

（依Z）：(A-eZ)；

递减区间：递减区间：

[2kn,2m+n]

(依Z)(k€Z)

最值x=2kir+(AWZ)时?ymax=X=2kll(ZWZ)时9Vmax=无最值

1;1:

x=2kn-(AWZ)时，x=2/nr+ir(kWZ)时，

yniin—~1ymin="1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心：（E,0）CkeZ）对称中心：（依Z）对称中心：（依Z）

对称轴：x=^r+,kel对称轴：x=依，Aez无对称轴

周期21r2nn

十八.余弦函数的单调性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=Asin（3叶夕）或），=4：0§（皿+*）（其中,3>0）的单调区间时,要视“皿+夕”为一个整体,

通过解不等式求解.但如果3V0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

十九.正切函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

定义域RR髭z

值域1-h1][7，1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

12kn--,2/nr+—J[2内T-TT,2kn]（依Z）

22

（—ez）；

（依Z）；

递减区间：

递减区间：

[2krt,2kn+n]

兀…3兀1

[2E+——，2Am+———]

22（kCZ）

（依Z）

==

最值x=2kn+（攵6Z）时，yltuix=X2ATT（A'EZ）时，ym（L\无最值

1；1：

x=2kn-（k£Z）时，x=2匕T+TT（kEZ）时，

ymin=­1ymin=-1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心：（E,0）（性Z）对称中心：（Kr+3~,0）对称中心：（©L,0）

JT22

对称轴：x=kn+—,Q

2(A6Z)(AEZ)

对称轴：x=KbAGZ无对称轴

周期21r2TTIT

二十.正切函数的单调性和周期性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=Asin（a）x+（p）或y=Acos（o）x+（p）（其中,u）＞0）的单调区间时,要视“tox+tp”为一个整体,

通过解不等式求解.但如果U）V0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

【正切函数的周期性】

正切函数y=taru的最小正周期为n,即tan（Kr+x）=tanx.

二十一.正切函数的奇偶性与对称性

三角函数的奇偶性、周期性和对称性

1.判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶

性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.

2.求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式：（3）借助函

数的图象.

二十二.函数y=Asin（a）x+（p）的图象变换

函数.y=sinx的图象变换得到），=Asin（oti+0）（A＞0,3＞0）的图象的步骤

法一法二

曲出的图象的出.\=sinx的图纹

向左（X”或,

移16个通位横坐标变为原来唯倍

得fij.v=sin(.r+g的图象得到〉nsinsx的图象

横啜标变为爆来的白倍向左（8。）或图个单位

向右（中＜0＞平移

得到v=sin+⑦的图较*—骤彳!｝到〉•=*in+9）的图与

纵”标变为M来的4倍纵坐标变为修:束的A倍

得到>=Asin(u>x+<p)的图象聚到F=的图象

两种变换的差异

先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是⑷个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移

的量是_L电1（G>0）个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对X而言的.

3

【解题方法点拨】

1.一个技巧

列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为工，利用这•结论可以较快地写出“五点”的坐标.

4

2.两个区别

（1）振幅A与函数y=4sin（3r+夕）+〃的最大值，最小值的区别：最大值M=A+8,最小值机=-A+〃,

故从=此&.

2

（2）由y=sinx变换到y=Asin（ou+9）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y=sinx的图

象变换到）,=Asin（皿•十中）的图象，两种变换的区别：无相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是依

个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是［更1（3>0）个单位.原因在于相位变换和

3

周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于以i•加减多少值.

3.三点提醒

（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；

（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；

（3）由y=Asinw的图象得到y=Asin（（ox+（p）的图象时，需平移的单位数应为〔,而不是⑷.

3L

二十三.由y=Asin（a）x+（p）的部分图象确定其解析式

根据图象确定解析式的方法：

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M,最小值为〃?，则4=此&,"=史坦，3由周期7确定，

22

即由空=「求出，0由特殊点确定.

CO

二十四.三角函数的最值

【三角函数的最值】

三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单

调性和它们的图象.在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元.化简的原则通常是尽量的把复合三角函

数化为只含有一个三角函数的一元函数.

二十五.同角三角函数间的基本关系

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2o+cos2o=1.

(2)商数关系：皂见=tana.

cosa

2.诱导公式

公式一：sin(m2Kr)=sina,cos(tr+2Ki)=cosa,其中kEZ.

公式二：sin(ir+a)--sina,cos(ir+a)--cosa,tan(n-a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(TT-a)=sina,cos(n-a)--cosa.

兀/兀X.

公式五：sin(-a)=cosa,cos(--a)=sina.

T2

71cos(-^-+a)=-sing

公式六：sin(+a)=cosa>

~22

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<a-p>：cos(a-p)=cosacosB+si"as加B；

(2)C(a邛)：cos(a+p)-s07as加B；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=s加acasB+casa。”］；

(4)S(a-p)：sin(a-p)=si〃ac”sB-a)saa〃B：

tanU+tanP

(5)T(a+p):tan(a+p)=

1-tanQ.tanP•

(6)T-a〃(a-p)=tana-tan-

1+tanCltanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(I)S2atsin2a=2sin优osa：

(2)Ciazcos2a=cos2a-sin2a=2cos%-I=1-2sin2a：

2tanCL

(3)72a：tan2a=

1-tan2a

【解题方法点拨】

诱导公式记忆口诀:

对于角"©二±/(依z)的三角函数记忆口诀"奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当

2

〃为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当々为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在a的三角函

数值前面加上当。为锐角时，原函数值的符号”.

二十六.两角和与差的三角函数

(1)Cat邛)：cos(a-P)=cosacosB+sinasinB:

(2)C<a+p)：cos(a+P)=cosacosB-sinasinB；

(3)S<a+p>：sin(a+0)=sinac〉sB+cosasin(；

(4)Sia0)：sin(a-P)=sinacosB-cosasinB；

tana+tanP

(5)T(a+p)：tan(a+p)=•

1-tanQ.tanP

(6)T(a-3)：tan(a-0)=5向tan£

1+tanCltanP

二十七.二倍角的三角函数

【二倍角的三角函数】

二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化枳里面的一个特例，即a=B的一种特例，其公式为：sin2a=2sina-

cosot；其可拓展为l+sin2a=(sina+cosa)2.

二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即a=B的一种特例，其公式为：cos2a=cos2a

-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即a=0的一种特例，其公式为：tan2a=

2tan；.对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可.

1-tana

二十八.半角的三角函数

【半角的三角函数】

半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系(正余弦的半角关系其实就是二倍角关

a.aa.a.2a

sin«•cos-sinp

asirry3inT

系)，其公式为：©tan-i-=———232_sina

2ai+cos^aa-

c。力cos~2°。万sinr^-,cos-^-

_1-cosQ.

sin。

二十九.三角函数的恒等变换及化简求值

【概述】

三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三

角函数，主要的方法就是运用它们的周期性.

【公式】

①正弦函数有y=sin(2Znr+x)=sin.v,sin(-^-+x)=sin-x)=cosx

②余弦函数有y=cos(2ATT+X)=COSX,COS(----x)=sinx

2

兀

③正切函数有y=tan(Kr+x)=Unx,tan(----x)=coU,

2

_JT

④余切函数有y=coi(--x)=taiu-,cot(Zrn+x)=cou.

2

三十.三角函数中的恒等变换应用

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.

(2)商数关系：&RJ=tana.

cosa

2.诱导公式

公式一：sin(a+2K[)=sina,cos(a+2/cn.)=cosa,tan(a+2,5)=tana»其中依Z.

公式二：sin(Tr+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(IT-a)=-cosa,tan(n-a)=-tana.

/兀、(IT、

公式五:sin(--a)=cosa,cos(----a)=sina,tan(--a)=cota-

22

/兀、cos(-^-+a)=/兀、

公式六:sin(——+a)=cosa,-sina,tan(——+a)=-cota.

222

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<a.p>：cos(a-P)=cosacosp+sinasinp：

(2)C<a+p)：cos(a+P)=cosacosp-sinasinP：

(3)S(a+p>：sin(a+0)=sinacosP+cosasinP；

(4)S(a-p)：sin(a-P)=sinacosp-cosasinp；

⑸T(a+P)：tan(a+0)=*+ta吗

1-tanG-tanp

(6)T.ap>：tan(a-^=tan>-ta吗

1+tanCItanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2a：sin2a=2sinacosa；

(2)C2a：cos2a=cos-a-sin'a=2cos~a-1=1-2sin~a：

2tand

(3)72a：tan2a=

1-tan2a

三H^一.三角函数应用

1.三角函数模型的简单应用：I）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物

理学中的应用.

2.解三角函数应用题的•般步骤：

（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；

（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；

（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；

（4）作出结论.

【解题方法点拨】

1、方法与技巧：

（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决.

（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词.

（3）要能根据题意，画出符合题意的图形.

（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理.

2、注意：

（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量.

（2）解决应用问题要注重检验.

（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围.

三十二.解三角形

1.已知两角和一边（如A、B、C）,由A+〃+C=TT求C,由正弦定理求b.

2.己知两边和夹角（如4、力、C）,应用余弦定理求C边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用

A+B+C=TT,求另一角.

3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C=n求C再由正弦定理或余

弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.

4.已知三边a、b、c,应用余弦定理求4、B,再由A+B+C=ir,求角C.

5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角

（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的先叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图中0。、

0E是视线，是仰角，是俯角.

D

TV

B\E

7.关于三角形面积问题

^)S/j,ABC~~,^^ciha~~^^bhb—■-^cllc(ha.Ilh./?<,分5'列表ZKa、b、c上的高）：

②S"8c=-^«bsinC=—bcsinA=工csin所

222

③&A5C=2R2siMsin3sinC.(R为外接圆半径)

④5八丽=也与

4R

@5A4BC=Vs(s-a)(s-b)(s-c)，(5,=—(a+b+c))；

2

⑥SzsA8C=r・s，(，・为△ABC内切圆的半径)

在解三角形时，常用定理及公式如下表：

名称公式变形

内角和定理A+8+C=TTA+A=2L-£,2A+28=2h-2c

2222

222,2X22

余弦定理6f=Z)+c-2bcco