2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点24 解三角形12种常见考法归类（原卷版+解析）

考点24解三角形12种常见考法归类

考点一利用正弦、余弦定理解三角形考点八三角形周长的计算及应用

（一）求边或角（一）求三角形的周长

（二）判断三角形解的个数（二）三角形周长的最值问题

考点二正弦定理的应用考点九解三角形的实际应用

考点三余弦定理的应用（一）测量距离问题

考点囚判断三角形的形状（二）测量高度问题

考点五正余弦定理的综合应用（三）测量角度问题

考点六与角度、边长有关的最值问题（四）其他实际问题

考点七三角形面积的计算及应用考点+正，余弦定理解决几何问题

（一）求三角形的面积考点十一解三角形与三角函数的综合问题

（二）已知三角形面积求边、角考点十二解三角形与平面向量的综合问题

（三）三角形面积的最值问题

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,。所对的边分别是a,b,c,R为AABC外接圆的半径，则

正弦定理余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于其他两

文字在一个三角形中，各边和它所对角的正

边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的

语言弦的比相等.

积的两倍.

a2=b2-^-c2—2bccosA,

abc

公式方2=/+—2cacosB,

sinA=sinB=sinC«

c2=a2+加-2abcosC.

加+。2——

(l)a=2/?sinA,5=2Ksin",c=2Z?sinC.

(1)cosA=2bc，

abc(^十一一一

(2)sinA=2^»sinB=赤,sinC=2j?.

cosB=2ca，

常见

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，

变形

即。：方：c=sinA:sinB:sinC.cosC=2ab・

(4)asinB=加inA,加inC=csinB,asinC=(2)b2+c2-a2=2bccosA，

csinA.c2+a2-b2=2accosB，

222

(5)大边对大角大角对大边a+b-c=2abcosC

4>人oA>8osinA>sin5ocosA<cosB

<=>cos2A<cos2B

⑹合分比：

a+b+c

sinA+sin8+sinC

a+h_b+c_a+c

sinA+sinBsin8+sinCsinA+sinC

=U0=，=2&

sinAsinBsinC

2.三角形内角和及三角形常见重要关系

b+CnA

(1)内角和定理：A+B+C=乃，进而有2等式子

(2)三角函数关系：①sinC=sin(A+B)=sinAcos8+cosAsin3<^>c=acosB+bcosA

同理有：t/=Z?cosC+ccosB,b=c<x>sA+acosC,

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

"4"t^nB

③斜三角形中，一tanC=tan(A+8)=------------<=>tanA+tan8+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tanA,tan8

④；

nIn

(3)等差关系：若三角形三内角A,B,。成等差数列，则8=3,A+C=T；若三角形三边用b,c

成等差数列，则2D=a+cu2sinB=sinA+sinC.

(4)三角形中的射影定理：在AASC中，a=bcosC4-ccosB；b=acosC4-ccosA；c=Z>cosA+acosB.

⑸角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.即若

BDAB

AO为NA的角平分线，则有比例关系：~CD=AC-

3.三角形常用面积公式

1

(1)S=5〃•儿(儿表示边。上的高).

111

(2)S=2a^sinC=2acsinB=2^csinA.

(3)S,ABC=^=\(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,匚)

4/?2

(___________________________1

(4)S=yjpCp—a)(p—b)(p—c),即海伦公式，其中p=2(a+》+c)为△ABC的半周长.

⑸S.ABC=^1X%-々丁J其中A8=(5,y),AC=(X2,%)

4.正弦定理、余弦定理的作用

正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，

即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.正弦定理、余弦定理的

另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知

条件化为三角形边的关系.

（1）已知两角及任意一边解三角形

abbcac

①正弦定理实际上是三个等式：sinA=sin»，sin片sinC，sinA=sinC»每个等式涉及四个元素，

所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.

②因为三角形的内角和为180。，所以已知两角一定可以求出第三个角.

（2）已知两边及其中一边的对角解三角形

①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；

②用三角形内角和定理求出第三个角；

③根据正弦定理求出第三条边.

其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值.

（3）解三角形多解情况

在△ABC中，已知a,〃和A时，解的情况如下：

（4）利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题

⑴已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.

（2）若已知两边和二边的对角，可以用余弦定理解三角形.

（5）利用正、余弦定理解三角形的注意点

正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理

都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角,余弦定理“边夹角%正确选择定理是解决此类题目

的关键.

（6）当条件中出现了余弦定理的局部或变形如。2+",儿。从cosA等，可以考虑使用余弦定理

或变形形式对条件进行化简变形.

5.判断三角形形状的2种途径

通过正弦定理、余弦定理化角为边，通过

代数恒等变换，求出边与边之间的关系

进行判断

通过正弦定理、余弦定理化边为角，利用：

gpm]-三角变换得出三角形内角之间的关系进：

行判断

判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰

直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.

（1）利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：

①化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：

asinAasin-bsinB

^=2/?sinA,b=2Rsinc=2KsinC（K为△45C外接圆的半径）；b=sinc=sinC»c=sinC；

②化角为边,走代数变形之路，常用的转化方式有：

abcsinAasinAasinBb

sinA=2R»sin3=2R，sinC=2K（K为△ABC外接圆的半径）；sinB=b，sinC=c»sinC=c-

（2）利用余弦定理判断三角形形状的方法

①利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般

有两条思考路线

先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.

先化角为边，再进行代数恒等变换（因式分解、配方等），求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，

注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.

②判断三角形的形状时，经常用到以下结论

△ABC为直角三角形ua2—1户+/或c?—M+b］或［/―{+/.

△ABC为锐角三角形Ufi2+b2>c2,且b?+c2>a2,且c2+a2>b2.

AABC为钝角三角形a2+b2〈c2或b?+c2va2或c2+a2<b2.

若sin2A=sin2B,贝！|人=8或/\+8=.

6.求三角形面积的方法

（1）若已知三角形的一个角（角的大小或该角的正、余弦值）及该角的两边长度，代入公式求面积；

⑵若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海

伦公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.

7.已知三角形面积求边、角的方法

⑴若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；

⑵若求边，就寻求与该边（或两边）有关联的角，利用面积公式列方程求解.

8.解三角形中的最值或范围问题的解决方法：

解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为力的形式，利用基本不等式求

得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结

合角的范围确定最值或范围.

9.正弦定理之齐次式结构

结构特点：每一项中都有边或sin角（sinAsinB,sin。且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化

结构示例：

(1)整式齐次式：

①边的齐次式

—67+/>=c<=>—sinA+sinB=sinC

22

ab-c2u>sinAsinB=sin2C

②sin角的齐次式

sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB<=>a2+b2-c2=-ab

（2）分式齐次式：

sinB_b

sinA+sinCa+c

注：在等式（不等式）或分式中出现边或内角的正弦同次，利用正弦定理可以实现边、内角的正弦转化。

如果在等式（不等式）或分式中出现边或内角的正弦同次且为一次（求角）时，一般情况要化为角的正弦，如出

现二次，一般情况要化为边，再利用余弦定理。

拆角合角技巧

1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种

①合角

如：sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC

cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC

②拆角一拆单角(“单身狗角”)

如：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

注：(1)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

sinA=sin(B+C)=smBcosC+cosBsinC

cosC=-cos(A+B),cosB=-cos(A+C),cosA=-cos(B+C)

(2),

(3)中sinA=sin8①②(舍去)

sin2A=sin2B①24=23=4=8②

sinA=cosB,则或

IL余弦定理之不等式结构

结构特点：已知三角形一角及其对边，求面积或周长的最值

核心示例：已知△A5C中角A=60。，a=2,求b+c和be的范围（最值）

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA

W4=b2-i-c2-he

⑴由上式可知：（b+c）2-3bc=4

=（b+。尸一4V3（带了,即^21<4]）

解得b+cV4,又由三角形两边之和大于第三边/求周长的最大值

:.2<b+c<4

(2)4=b2+c2-be得be+4=b2+c2>2bc

求面积的最大值

bc<4

12.解三角形中的常用术语

⑴仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯

角（如图①）.

西

标

东

图

图

图①②④

（2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东a,即由指北方向顺时针旋转以到达目标方向（如图③）.

北偏西a,即由指北方向逆时针旋转”到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.坡度指坡面的铅直高

度与水平长度之比（如图④，i为坡度，i=tan。）.坡度又称为坡比.

13.测量距离问题的求解策略

（1）确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另外三角形中

求解；

⑵确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

14.测量物体高度的求解策略

高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解

的高度（某线段的长度）纳入到一个三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.

⑴在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（在水平面上所成的

角）是关键.

（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图

形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.

⑶注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.

15.测量角度问题的求解策略

测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和

距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.解决角度问题的注意

事项

⑴测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义.

⑵求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值.

（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的

问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.

提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.

16.与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路

求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用

正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.

具体解题思路如下：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余

弦定理求解；

（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

［注意］做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些

性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.

17.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤

：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式

转化；的边角关系合理地将问题转化为三角函

，数的问题

0

：利用正弦定理、余弦定理.二倍角公式、

用定理、公

:辅助角公式等进行三角形中边角关系的

式、性质

：互化

0

：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定

得结论一i理等知识求函数解析式、丸、三角函数值,

---------1或讨论三角函数的基本性质等

18.利用解三角形知识解决实际问题

利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解

三角形的问题进行求解.

考点精析

考点一利用正弦、余弦定理解三角形

（一）求边或角

1.（2023春・浙江杭州•高三杭师大附中校考期中）的三个内角所对边的长分别为，若，则（）

A.B.C.D.

2.（2023春・江苏镇江•高三江苏省扬中高级中学校联考期中）在中，分别是内角所对的边，若

〃=石力=后,4=30,则边（）

A.R.C.或D.或

3.（2023•河南•许昌实验中学校联考二模）设的内角A,B,。的对边分别为小b,c,若，一则（）

A.B.C.D.

4.（2023春•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考期中）在中，角4,B,C所对的边分别是，a,b,c,,,,

则（）

A.B.C.D.

5.（2023春・广东东莞・高三东莞实验中学校考阶段练习）在AABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,

c,若a=4,b=5,c=>/6\,则角C=（）

A.B.C.D.

6.（2023春♦天津和平•高三校考阶段练工）在平行四边形A3CO中，A8=2,AO=LAC=（2,百）,贝i|

等于：）

A.1B.2C.3D.

（二）判断三角形解的个数

7.（2023・全国•高三专题练习）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（）

A.

B.

C.

D.

8.（2023•广西柳州•高三柳州高级中学校联考阶段练习）在中，角的边分别为，知，，则下列判断中错误

的是：）

A.若，则B.若该三角形有两解

C.周长的最小值为12D.面积的最大值

9.（2023・费州・统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

10.12023•全国•高三专题练习）设在中，角A、B、。所对的边分别为a,b,c,若满足的不唯一，则小的

取值范围为（）

A.B.

c.D.

考点二正弦定理的应用

11.（2023•北京•统考模拟预测）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且68sB=》sinA,则（）

A.B.C.D.

12.12023・四川•高三统考对口高考）的内角A,B,C的对边分别为mb,c.已知sinA+cosA=0,,,则

（）

A.B.C.D.

13.12023•江苏南京•统考二模）在中，角，，的对边分别为，，.若,则角的大小为（）

A.B.C.D.

3

14.（2023•江西•校联考模拟预测）在中，内角A,B,C的对边分别为a",c,若a=c（28sB+l）,sinC=4，

则（）

A.B.C.D.

15.（2023・全国•高三专题练习）在锐角中，，4cosAsinB=l,若在上的投影长等于的外接圆半径，则（）

A.4B.2C.1D.

16.（2023春•广西•高三校联考阶段练习）三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，NACB=60。，

则三棱锥的外接球的体积为（）

A.B.C.D.

考点三余弦定理的应用

17.12023春・北京•高三汇文中学校考期中）在中，角4,,的对边分别为，，，且则角

的大小是（）

A.B.C.D.

18.（2023・河南・统考模拟预测）是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且

cr+b2-c2=4/cosA-2accosB,则等于（）

A.2B.C.D.1

19.（2023•江西上饶•高三校联考阶段练习）的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（）

A.4B.C.D.

20.（2023•河南郑州•模拟预测）在中，满足9sin?A+6cos4=10,旦，，则（）

A.3B.4C.5D.6

21.（2023・全国•高三专题练习）在中，角A,&C所对的边分别为mb,c,若mb,c成等差数列，C=2（A+B）,

则（）

A.B.4C.D.

22.（2023春•四川成都・高三石室中学校考开学考试）在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则cosNABC=

（）

A.B.C.D.

考点四判断三角形的形状

23.：2023•全国•高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且c-bcosA<0,则形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

24.：2023•全国•高三专题练习）己知中，角，，所对的边分别是，，，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc,且

sinA=2sinBcosC,那么是（）

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

22

25.（2023•全国•高三专题练习）设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若从=c+a-ca，且sinA=2sinC,

则的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

26.（2023・甘肃酒泉•统考三模）在中内角的对边分别为，若.=si-cos8,则的形状为（）

b~sin8cosA

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

27.：2023•全国•高三专题练习）在中，若处空=手笔，则的形状为（）

c-cosnl-coszC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

28.〔2023•贵州•校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.直角三角形或等腰三角形D.等腰直角三角形

考点五正余弦定理的综合应用

29.；2023・四川巴中•统考一模）在中，若2sin2A+cosA=2sin28+2sin2C-cos（8—C）,则（）

A.B.C.D.

30.（2023秋•河南南阳•高三统考期末）在中，角的对边分别为，且吗鬻角4等于（）

sineb-a

A.B.C.D.

31.（2023秋・广西钦州•高三校考阶段练习）在中，内角A,B,。的对边分别是小h,c,若

sinA+sinB=>/3sinC,ab=^c2,则C等于（）

A.B.C.D.

32.（2023・河北福三学业考试）在中，内角4,8,。的对边分别是4也°,已知期（8-4）+5皿8+4）=3m24,

且，，则（）

A.1B.C.1或D.

33.（2023•宁夏银川•校联考二模）的内角，，所对的边分别为，，已知9sin*=4sin2A,,则（）

A.B.C.D.

34.12023•全国•高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若asinA=6sinB+（c-b）sinC,为的

角平分线，且，，则的值为（）

A.B.C.D.

考点六与角度、边长有关的最值问题

35.：2023•全国•高三专题练习）已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，…若a=c-2acos&则角A

的取值范围是（）

A.B.C.D.

36.（2023•河南•开封高中校考模拟预测）若的内角A,B,。满足2--+^3-=-则4的最小值为（）

tanAtanBtanC

A.B.C.D.

37.（2023•全国•高三专题练习）在锐角中，角A,B,。所对的边分别为力，。.已知反osA-acosB=a,

则Jisin3+2sin2A的取值范围是（）

A.B.C.D.

38.12023•全国•高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且c=2（a-反osC）.

⑴求；

（2）若为锐角三角形，求sir?A+sin2c的取值范围.

39.[2023春•湖南•高三统考阶段练习）在锐角△ABC中，，，则6C的取值范围是（）

A.B.

C.D.

40.12023•全国•高三专题练习）在中，，则的最小值（）

A.-4B.C.2D.

41.（2023・河南开封•开封高中校考模拟预测）在锐角中，，sin8+sinC=2sin4,则中线的取值范围是（）

A.B.C.D.

42.（2023・河南•校联考模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，，，tang-i-tanC=^cosA.

cosBcosC

（1）求A

⑵若，求的取值范围.

43.（2023•广西南宁•南宁三中校考模拟预测）在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

44.（2023•黑龙江•黑龙江实验中学校考二模）在中，角A,B,C的对边分别为小b,c,已知

（sinA+sinB）（a-b）=sinC（b+c）,若角A的内角平分线A。的长为3,则的最小值为（）

A.12B.24C.27D.36

45.（2023•全国•高三专题练习）在中，内角A,B,。的对边分别a,b,c,若，2Z?cosA=2cosC+ccosA,

uuirizUiuUlm、

则AM=]（AB+AC）,则的取值范围是（）

A.B.C.D.

考点七三角形面积的计算及应用

（一）求三角形的面积

46.：2023•西藏拉萨•统考一模）在中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若，，，则的面积为（）

A.B.C.12D.16

47.（2023•四川成都•统考二模）在中，已知AO=2OC，AC=3BC=3,sinZBDC=3sinZBAC,则的面

积为C）

A.B.C.D.

48.（2023・全国•高三专题练习）已知中，分别是角的对边，若从+62=/+3力c，月=则的

面积为（）

A.B.C.D.

（二）已知三角形面积求边、角

49.（2023•河南•校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为，，且的面积为，若，则（）

A.B.5C.D.

50.（2023・全国•高三专题练习）已知的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,的面积为，，b2+c2=3bc，

则（）

A.4B.C.8D.

51.（2023・四川成都•川大附中校考二模）如图，在平面四边形中，，^ADC=45°,48=105。，，三角

形的面积为，则/W+BC=（）

A.2B.4C.D.

52.（2023•青海・校联考模拟预测）在中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若的面积是，则（）

A.B.C.D.

53.（2023•全国•高三专题练习）在中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,若成等差数列，且的面积为，

则（）

A.B.2C.D.

（三）三角形面积的最值问题

54.（2023・四川宜宾・统考三模）在中，角A,B,C所对边分别记为mb,c,若，，则面积的最大值是（）

A.B.2C.D.

55.12023春•山西•高三校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，.«sinA+2^sinB=sinC,则

面积的最大值是（）

A.B.C.D.

56.（2023•宁夏中卫•统考一模）的内角的对边分别为mb,c,（sin-sinC）2=sin2A-sinBsinC

为锐角三角形，且。=3,则面积最大为（）

A.B.C.D.

57.（2023•四川宜宾•统考三模）在中，角A,B,C所对边分别记为mb,c,若，，则面积的最大值是（）

A.B.2C.D.

58.（2023・山东济南・统考三模）在中，若|而+码=2,|前+丽|=3,则面积的最大值为（）

A.B.C.1D.

59.：2023春•河南•高三校联考阶段练习）记的内角A,B,C的对边分别为的b,c,

（a-^sinA-Z.sinn-csinC,若外接回的面积为，则面积的最大值为（）

A.B.C.D.

考点八三角形周长的计算及应用

（一）求三角形的周长

60.12023春•广西•高三校联考阶段练习）在中，角4,B,C的对边分别为。，b,c.若,的面积为，则的

周长为（）

A.B.C.D.

61.（2023•全国•高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知。8§3+儿08。=2785人，，

的面积为，则的周长是（）

A.4B.6C.8D.18

62.[2023春・安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）记的内角的对边分别为，其中

。=2,sin8（1+cosA）=sinA（2-cosB）

⑴求的周长；

（2）求cosA的最小值.

（二）三角形周长的最值问题

63.（2023・四川成都•四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在AABC中，内角4,B,6的对应边分别为小

b,c,已知力sin（B+C）=asin—^上，月/ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（）

A.B.6C.D.

64.：2023•宁夏石嘴山•石嘴山市第二中学校考一模）在中，内角A,B,。的对应边分别为a,b,c,已如

加in（B+C）=asin号44-上C，且的面积为，则周长的最小值为（）

A.B.C.D.

65.：2023•河南安阳•安阳一中校联考模拟预测）在中，若内角4,B,。所对的边分别为小b,c,的平分

线交AC于点。，且，则周长的最小值为（）

A.7B.C.D.4

考点九解三角形的实际应用

（-）测量距离问题

66.：2023•广东广州•统考模拟预测）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇

宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距

离，现在珊瑚群岛上取两点CD,测得CD=35m,ZADB-\35.ZBDC-ZDCA-XS，ZACB-120,

则A、8两点的距离为m.

67.i2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第六中学校校考二模）火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种

方法.由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键.位于湖北省

的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥.工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度（引导索比较

重，如果过长影响火箭发射），已知工程师们在建桥处看对岸目标点的正下方地面上一标志物的高为，从

点处看点A和点俯角为，.求一枚火箭应至少携带引导索的长度（）

"sinacos0

A.—r-——B.

sin（a-P）

C

sin（a-fi）D.

68.：2023•全国•高三专题练习）某轮船以丫海里/小时的速度航行，在4点测得海面上油井P在南偏东60

度，轮船从A处向北航行30分钟后到达B处，测得油井户在南偏东15度，且海里.轮船以相同的速度改

为向东北方向再航行60分钟后到达C点、.

（1）求轮船的速度V；

（2）求匕C两点的距离.

69.12023•安徽合肥•二模）如图，某地需要经过一座山两侧的。，七两点修建一条穿山隧道.工程人员先

选取直线。七上的三点A,&C,设在隧道OE正上方的山顶尸处测得A处的俯角为，3处的俯角为，C处

的俯角为，且测得AB=1.4km.BO=0.2km,Cf=0.5km,试求拟修建的隧道OE的长.

P

70.（2023春•贵州黔东南•高三校考阶段练习）如图，为了在两座山之间的一条河流上面修建一座桥，勘测

部门使用无人机测量得到如下数据:无人机P距离水平地面的高度为力=100m,4,B两点的俯角分别为45。，

60。.则A,B两点间的距离为（）

C.D.

71.12023•山东济南・统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1）,其主体建筑采用

与地形吻合的矩形设计，将数学符号完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.

如图2,为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点8的

俯角分别为75。，30°,随后无人机沿水平方向飞行600米到点。，此时测得点4和点B的俯角分别为45。

和60c（A,Ct。在同一铅垂面内），则A,4两点之间的距离为米.

（二）测量高度问题

72.：2023•陕西西安•统考一模）圣•索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的

东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称

之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正

东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是

和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度约为（取）（）

A.B.C.D.

73.12023•浙江•高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远

处选取了与该建筑物的底端在同一水平面内的两个测量基点与，现测得N8CD=45。，ZBZX7=1O5°,

8=100米，在点处测得酒店顶端的仰角ZACB=28。，则酒店的高度约是（）

（参考数据：，，tan28°»0.53）

A

A.A米B.101米D.121米

74.（2023・全国•高三专题练习）滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年,

因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量滕王阁的高度,

在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB,高为，在它们的地面上的点例，D三点共线）测得楼顶A,

滕王阁顶部C的仰角分别为和，在楼顶A处测得阁顶部。的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为（）

（精确到）

15°