第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：沪教版第24-25章）（解析版）-A4

第页第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）考查范围：沪教版第24-25章注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了比例的性质，设，代入即可求解．【详解】解：设，,故选：A．2．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的是（

）A． B．如果是单位向量，那么C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么【答案】D【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可．【详解】解：A、，所以A错误，不符合题意．B、如果是单位向量，那么，所以B错误，不符合题意．C、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意．D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意．故选：D．3．（2024·上海·模拟预测）如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（

）A．2米 B．6米 C．米 D．米【答案】B【分析】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为，而不是，即可求解．【详解】解：如图所示：

由题意得：在中，，∴，∴，故选：B．4．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（

）A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确；C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确．【答案】B【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误．【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确；如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确；故选：B．5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点分别在上，以下能推得的条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的判定证明，由相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：A、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意；B、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意；C、，即，为公共角，可判定，即能证明，能推得，故符合题意；D、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意；故选：C．6．（2023·上海虹口·一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（

）A．厘米 B．厘米C．厘米 D．厘米【答案】D【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．【详解】解：如图：过作于，中，厘米，，．（厘米）．故选：D．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，其中，那么．【答案】【分析】根据比例的基本性质，变形计算即可．本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴．故答案为：．8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知点在线段上，且，则．【答案】【分析】本题考查平面向量基本定理，根据题意可知，再结与的方向相反易得出结果．【详解】解：，，，故答案为：．9．（2023·上海黄浦·一模）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是．【答案】/【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可．【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a，∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，∴，解得∶，即第二个矩形较长的一边长是，故答案为∶．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键．10．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则．【答案】/【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，即可得的长．【详解】解：根据题意得：，，，故答案为：．11．（2024九年级上·上海·专题练习）在中，，如果，，那么．【答案】2【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：在中，，，，∴，故答案为：2．12．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为．【答案】【分析】根据是的比例中项，得到，代入计算即可．本题考查了比例中项的意义，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：∵是的比例中项，∴，∴，解得（舍去），∴，故答案为：6．13．（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为．【答案】【分析】本题考查角的正切，过点P作轴于点A，构造直角三角形，根据正切等于对边比邻边进行求解．【详解】解：如图，过点P作轴于点A，∵点P的坐标为，∴，，∵与轴负半轴的夹角为，∴的正切为，故答案为：．14．（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，对角线，BD交于O，若面积是面积的2倍，那么与的面积之比为【答案】【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.过点作垂足为，过点作交的延长线于点，根据已知易得再根据，从而可得，然后再证明，利用相似三角形的性质可得从而可得最后根据与的高相等，即可解答.【详解】解：过点作,垂足为,过点作,交的延长线于点,∵,∴,，，∴,∵,∴,∴,，，∵与的高相等,，故答案为:.15．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积．【答案】/6平方厘米【分析】本题考查了三角形重心的性质及三角形中位线的性质，根据点是的中点，得到的面积为，再由是重心，求出，即可求解．【详解】解：点是的中点，的面积为，的面积为，是重心，，的面积为：，故答案为：．16．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有个（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】3【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cosA＝＝＝．故（1），（2），（4）正确．故答案为：3．【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．17．（2024·上海青浦·二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为米．（用含的式子表示）【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案．【详解】解：首先过点A作于点D，如下图所示，则，，米，在中，米，在中，米，∴BC=BD+DC=m·tanα+m·tanβ=mtanα+tanβ故答案为：m18．（2024·上海青浦·模拟预测）如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则=．【答案】【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出和的长．连接DB交于点O，作于点I，作交AB的延长线于点J，根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得和的长，然后结合图形及向量，即可得出结果．【详解】解：连接DB交于点O，作于点I，作交AB的延长线于点J，如图所示，∵四边形是菱形，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵菱形和菱形大小相同，∴，∴，∴，

∴，同理可得，∴，∴，∵与方向相反，∴故答案为：．三、解答题（7小题，共64分）19．（23-24九年级上·上海崇明·期末）计算：．【答案】【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；利用特殊角三角函数化简即可．【详解】解：原式．20．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，且．(1)的值为______；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)8【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键．（1）根据等比性质求解即可；（2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案．【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：；（2）∵，且，∴，，，∵，则，∴的值为8．21．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，

，，，，，求，的长和的度数．【答案】【分析】根据相似图形的性质可求出，的长；根据四边形内角和求出，再根据相似图形的性质可得的度数．【详解】解：∵四边形和四边形是相似的图形，∴，即，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的形状完全相同，相似图形各内角对应相等，各边对应成比例是解题的关键．22．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，，点D是边上的一点，．(1)请直接写出向量关于、的分解式，______；(2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）首先根据得到，然后得到，最后根据求解即可；（2）过点E分别作，作向量和，根据向量加法的三角形法则求解即可．【详解】（1）∵∴∴，即∴；故答案为：．（2）向量在、方向上的分向量分别为和．【点睛】本题考查了向量的加减运算，平行分线段成比例，作向量的分量等知识，灵活运用向量加减法的三角形法则是问题的关键．23．（2023·上海虹口·二模）如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若．(1)求的长；(2)求的正切值．【答案】(1)7(2)6【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质：（1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解；（2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．，∴．（2）解：过点A作于点F，如图所示．∵是边上的中线，∴．∵，∴∴，∴．∴，∴．∴．24．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．

(1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？(2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？【答案】(1)的高度为14米(2)标杆应该向教学楼方向移动0.5米【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键（1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案；（2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：过点作于点，交于点，如图所示：

则四边形，四边形都是矩形，∴米，米，米，∵米，∴米，∵，∴，∴，∴，∴米，∴米；（2）解：过点作于点交于点，如图所示：

设米，∵，∴，∴，∴，∵米，∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米．25．（2024·上海金山·二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提