2021-2022学年江西省吉安市八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年江西省吉安市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案）1．（3分）在7个实数﹣，，0，，﹣π，，1.101001000100001中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，2， B．2，3，4 C．1，， D．，，4．（3分）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+35．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，m）和点B（n，3）关于x轴对称，则的值为（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣16．（3分）对于函数y＝﹣2x+2，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（﹣1，0） B．它的图象经过第二、三、四象限 C．y的值随x值的增大而增大 D．当x＞1时，y＜0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）的平方根是．8．（3分）点（3+a，5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，4﹣b），则ba＝．9．（3分）若实数x，y满足（2x﹣3）2+|9+4y|＝0，则xy的立方根为．10．（3分）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝．11．（3分）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是．12．（3分）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AC为边，在△ABC的外部作等腰直角△ACD，则线段BD的长为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2；（2）解方程：﹣8（x+1）3＝27．14．（6分）已知x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4，求3x+5y的算术平方根．15．（6分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．16．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点别按下列要求画出图形．（1）在图①中画一个三角形，使得该三角形的三边长分别为5，，2．（2）在图②中画出一个正方形，使得该正方形的面积为10．17．（6分）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当y＝1时，求x的值．19．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，4）、B（﹣2，2）、C（﹣4，1）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在答题卷上作出△A1B1C1，并写出△A1B1C1的三个顶点坐标；（2）求△A1B1C1的面积；（3）若点P为y轴上一点，要使CP+BP的值最小，请在答题卷上作出点P的位置．（保留作图痕迹）20．（8分）阅读材料：像（+2）（﹣2）＝1，×＝a（a≥0）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：＝＝；＝＝3+2．解答下列问题：（1）的有理化因式是，+2的有理化因式是．（2）观察下面的变形规律，请你猜想：＝．，，…（3）利用上面的方法，请化简：…+．五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，P为等边△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC，PA＝6，PB＝8，PC＝10，以PA为边作等边△APD，连接BD．（1）求证：BD＝PC．（2）求∠APB的度数．22．（9分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出此时AC+CE的最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值．六.（本大题1小题，共12分)23．（12分）如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1．（1）求k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣2上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，探索：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年江西省吉安市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案）1．（3分）在7个实数﹣，，0，，﹣π，，1.101001000100001中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：是分数，属于有理数；0，，，是整数，属于有理数；1.101001000100001是有限小数，属于有理数；无理数有，﹣π，共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、是三次根式，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、是最简二次根式，故此选项符合题意；C、原式＝2，故此选项不符合题意；D、原式＝，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式．本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的概念．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，2， B．2，3，4 C．1，， D．，，【分析】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是．【解答】解：A、22+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；B、12+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；C、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，符合题意；D、∵（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．（3分）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+3【分析】根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案．【解答】解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，图象平移的规律是：上加下减，左加右减．5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，m）和点B（n，3）关于x轴对称，则的值为（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1【分析】点A（2，m）和点B（n，3）关于x轴对称，所以横坐标相等，纵坐标相反．【解答】解：∵A、B两点关于x轴对称，∴n＝2，m＝﹣3．∴＝1．故选：C．【点评】本题主要考查两点关于x轴对称，二次根式的化简，掌握关于x轴对称点的横纵坐标的关系，求出m、n的值是解题的关键．6．（3分）对于函数y＝﹣2x+2，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（﹣1，0） B．它的图象经过第二、三、四象限 C．y的值随x值的增大而增大 D．当x＞1时，y＜0【分析】代入x＝﹣1求出y值，进而可得出点（﹣1，0）不在一次函数y＝﹣2x+2的图象上，结论A不正确；由k＝﹣2＜0，b＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝﹣2x+2的图象经过第一、二、四象限，结论B不正确；由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y的值随x的增大而减小，即结论C不正确；代入x＝1求出y值，结合y的值随x的增大而减小，可得出当x＞1时，y＜0，即结论D正确．【解答】解：A、当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4，∴函数y＝﹣2x+2的图象经过点（﹣1，4），选项A不符合题意；B、∵k＝﹣2＜0，b＝2＞0，∴函数y＝﹣2x+2的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；C、∵k＝﹣2＜0，∴y的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意；D、当y＜0时，﹣2x+2＜0，解得：x＞1，∴当x＞1时，y＜0，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）的平方根是±．【分析】首先根据算术平方根的性质化简，再根据平方根的定义即可求出结果．【解答】解：∵＝＝5，∴的平方根是±．故答案为：±．【点评】此题主要考查了平方根的定义和性质，解决本题的关键是先求得的值．8．（3分）点（3+a，5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，4﹣b），则ba＝1．【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：∵点（3+a，5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，4﹣b），∴3+a＝5，4﹣b＝5，解得a＝2，b＝﹣1，故ba＝（﹣1）2＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．9．（3分）若实数x，y满足（2x﹣3）2+|9+4y|＝0，则xy的立方根为．【分析】直接利用偶次方以及绝对值的性质得出x，y的值，进而利用立方根的定义计算得出答案．【解答】解：∵（2x﹣3）2+|9+4y|＝0，∴2x﹣3＝0，9+4y＝0，解得：x＝，y＝﹣，故xy＝﹣，∴xy的立方根为：﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了立方根以及绝对值和偶次方的性质，正确得出x，y的值是解题关键．10．（3分）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝﹣1．【分析】根据一次函数的定义及函数图象经过原点的特点列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，∴m2﹣1＝0且m﹣1≠0，解得m＝﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当b＝0时函数图象经过原点．11．（3分）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是130cm．【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，∴AB＝＝130（cm）．答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答此题的关键．12．（3分）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AC为边，在△ABC的外部作等腰直角△ACD，则线段BD的长为2或4或．【分析】分三种情况讨论：①当AD为斜边时，如图1，BD＝2BE，求BE的长即可；②当CD为斜边时，如图2，BD就是两个AB的长；③当AC为斜边时，如图3，BD就是△BCD的斜边长．【解答】解：①当AD为斜边时，如图1，∴AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∵AB＝2，∴AB＝CD，∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△CDE，∴BE＝DE，AE＝EC，∴AE＝EC＝1，由勾股定理得：BE＝，∴BD＝2，②当CD为斜边时，如图2，则AD＝AC＝2，∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠BAC＝90°+90°＝180°，∴B、A、D共线，∴BD＝AB+AD＝2+2＝4，③当AC为斜边时，如图3，∴∠ADC＝90°，∴AD＝CD＝，∵∠BCA＝45°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝90°，∵AB＝AC＝2，由勾股定理得：BC＝，BD＝，综上所述：BD＝2或4或．故答案为：2或4或．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，也考查了复杂的几何作图；复杂的几何作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；本题利用等腰直角三角形边和角的特殊性与勾股定理、全等三角形相结合，求出边的长．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2；（2）解方程：﹣8（x+1）3＝27．【分析】（1）化简二次根式，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后计算乘方与乘法，最后再算加减；（2）利用立方根的概念解方程．【解答】解：（1）原式＝2﹣+12﹣1×4＝+12﹣4＝+8；（2）﹣8（x+1）3＝27，（x+1）3＝﹣，x+1＝﹣，x＝﹣．【点评】本题考查实数的运算，二次根式的加减运算，理解a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0），掌握立方根的概念是解题关键．14．（6分）已知x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4，求3x+5y的算术平方根．【分析】根据立方根的立方得被开方数和平方根的平方等于被开方数，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得x、y的值，再计算3x+5y的值，根据算术平方根的定义，可得答案．【解答】解：由x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4，得：，解得：，∴3x+5y＝15+10＝25，∵25的算术平方根为5，∴3x+5y的算术平方根为5【点评】本题考查了立方根，平方根和算术平方根，利用立方根的立方和平方根的平方等于被开方数得出二元一次方程组是解题关键．15．（6分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．【分析】直接利用数轴判断得出：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，进而化简即可．【解答】解：如图所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，则原式＝﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b＝a﹣b．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分的正负是解题关键．16．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点别按下列要求画出图形．（1）在图①中画一个三角形，使得该三角形的三边长分别为5，，2．（2）在图②中画出一个正方形，使得该正方形的面积为10．【分析】（1）根据勾股定理，结合网格特点求解即可；（2）作出边长为，根据勾股定理，并结合网格作图即可．【解答】解：（1）如图1，△ABC即为所求；（2）如图2，正方形PQMN即为所求．【点评】此题主要考查了勾股定理，应用与作图设计，关键要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后作图．17．（6分）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10代入关系式即可求得．【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE＝DE，在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，解得x＝15，∴E站应建在距A站15km处．【点评】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当y＝1时，求x的值．【分析】（1）已知y+2与x﹣1成正比例，即可以设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；（2）在解析式中令y＝1即可求得x的值．【解答】解：（1）设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入得：4+2＝k（3﹣1）解得：k＝3，则函数的解析式是：y+2＝3（x﹣1）即y＝3x﹣5；（2）当y＝1时，3x﹣5＝1．解得x＝2．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．19．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，4）、B（﹣2，2）、C（﹣4，1）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在答题卷上作出△A1B1C1，并写出△A1B1C1的三个顶点坐标；（2）求△A1B1C1的面积；（3）若点P为y轴上一点，要使CP+BP的值最小，请在答题卷上作出点P的位置．（保留作图痕迹）【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1；（2）依据割补法进行计算，即可得到△A1B1C1的面积；（3）连接CB1，交y轴于点P，则BP+CP＝B1P+CP＝B1C可得最小值．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．A1（5，4）、B1（2，2）、C1（4，1）；（2）△A1B1C1的面积为；（3）连接CB1（或BC1）与y轴交于点P，点P即为所求．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．20．（8分）阅读材料：像（+2）（﹣2）＝1，×＝a（a≥0）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：＝＝；＝＝3+2．解答下列问题：（1）的有理化因式是，+2的有理化因式是．（2）观察下面的变形规律，请你猜想：＝．，，…（3）利用上面的方法，请化简：…+．【分析】（1）利用二次根式的性质和平方差公式确定有理化因式；（2）通过观察等式发现数字的变化规律，从而求解；（3）利用（2）中所得规律进行分母有理化，然后合并同类二次根式进行化简．【解答】解：（1）∵＝7，（）（）＝5﹣4＝1，故答案为：，﹣2；（2）通过观察，可得，故答案为：；（3）利用（2）中的规律，可得：原式＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣＝﹣1．【点评】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性质（）2＝a（a≥0），掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，P为等边△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC，PA＝6，PB＝8，PC＝10，以PA为边作等边△APD，连接BD．（1）求证：BD＝PC．（2）求∠APB的度数．【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△APC，可得BD＝PC；（2）由勾股定理的逆定理可求∠DPB＝90°，即可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC和△APD是等边三角形，∴AD＝AP，AB＝AC，∠DAP＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAP，在△ADB和△APC中，，∴△ADB≌△APC（SAS），∴BD＝PC；（2）解：∵△APD是等边三角形，∴∠APD＝60°，AP＝PD＝6，∵BD＝PC＝10，∴BD2＝100，∵DP2+BP2＝100，∴DP2+BP2＝BD2，∴∠DPB＝90°，∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝150°．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．22．（9分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出此时AC+CE的最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值．【分析】（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△DEC中，CE＝，则可求AC+CE＝+；（2）当C是AE和BD交点时，过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，则AC+CE＝AE＝13，即可求AC+CE的最小值；（3）使AB＝5，ED＝1，DB＝8，连接AE交BD于点C，AE的长即为代数式最小值，在Rt△AEF中，由勾股定理可得AE＝10．【解答】解：（1）∵AB⊥BD，AB＝3，CD＝x，∴BC＝12﹣x，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵ED⊥BD，DE＝2，在Rt△DEC中，CE＝＝，∴AC+CE＝+；（2）如图1，