2021-2022学年河南省新乡市长垣县八年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年河南省新乡市长垣县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a4÷a4＝a C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．a2•a3＝a63．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣94．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（）A．1 B．﹣1 C．72021 D．﹣720215．（3分）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A．过C作EF∥AB B．延长AC到F，过C作CE∥AB C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．作CD⊥AB于点D6．（3分）一个正多边形的一个内角是其外角的3倍，则正多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．127．（3分）如果一个等腰三角形的周长为15cm，一边长为3cm，那么腰长为（）A．3cm B．6cm C．5cm D．3cm或6cm8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（）A．130° B．70° C．110° D．100°9．（3分）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的200元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买x包口罩，则依题意列方程为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12 B．6 C．7 D．8二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3cm，则BC为cm．13．（3分）分解因式：2x3+4x2+2x＝．14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝3，AB＝14，则△ABD的面积是．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，D是线段AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A'处，当A'D平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的大小为．三、解答题（8小题，共75分）16．（8分）化简：（1）（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x）；（2）（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）．17．（9分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝（）﹣2+（π﹣1）0．18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；（2）△ABC的面积是；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．20．（9分）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，提高学生的身体素质，某校计划购买篮球和排球，为学生课间体育锻炼提供充足的器材．已知篮球的单价是排球的1.5倍，用3600元单独购买篮球或排球，所购篮球的数量比排球少20个．（1）篮球和排球的单价各是多少元？（2）若该校计划购买篮球和排球共200个，筹备资金不多于15700元，那么该校最多购买篮球多少个？21．（10分）八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：探究．如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？（1）图中直角边BC与斜边AB的数量关系是；（2）爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP．①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）②帮助小明完成证明过程．证明：22．（10分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；方法1：；方法2：；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式．（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞2），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．（1）若AD＝7，求AC的长；（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；（3）若以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．

2021-2022学年河南省新乡市长垣县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．【解答】解：第1个是轴对称图形，符合题意；第2个是轴对称图形，符合题意；第3个不是轴对称图形，不合题意；第4个是轴对称图形，符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a4÷a4＝a C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．a2•a3＝a6【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则对每个选项进行分析，即可得出答案．【解答】解：∵a2+a3≠a5，∴选项A不符合题意；∵a4÷a4＝a0＝1≠a，∴选项B不符合题意；∵（﹣a2）3＝﹣（a2）3＝﹣a6，∴选项C符合题意；∵a2•a3＝a5≠a6，∴选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则是解题的关键．3．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；故选：D．【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．4．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（）A．1 B．﹣1 C．72021 D．﹣72021【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，∴a＝4，b＝﹣3，则（a+b）2021＝（4﹣3）2021＝1．故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．5．（3分）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A．过C作EF∥AB B．延长AC到F，过C作CE∥AB C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．作CD⊥AB于点D【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．【解答】解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．B．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合题意．C．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故C不符合题意．D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．6．（3分）一个正多边形的一个内角是其外角的3倍，则正多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）•180°＝3×360°，解得：n＝8，故选：A．【点评】本题考查多边形的内角（和）与外角（和），熟记多边形的内角和公式及外角和为360°是解答的关键．7．（3分）如果一个等腰三角形的周长为15cm，一边长为3cm，那么腰长为（）A．3cm B．6cm C．5cm D．3cm或6cm【分析】依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为3cm，不能确定是腰长还是底边长，故可分情况讨论，还要依据三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为3时，三边为3，3，9不能构成三角形；当底为3时，腰为6，6，能构成三角形．所以这个等腰三角形的腰长为6cm．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（）A．130° B．70° C．110° D．100°【分析】根据角平分线的定义、三角形的高的定义，由AE平分∠BAC，得∠EAF＝＝．由BF是△ABC的高，得∠BFA＝90°．根据三角形外角的性质，得∠EOF＝∠EAC+∠AFO＝130°．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠EAF＝＝．∵BF是△ABC的高，∴∠BFA＝90°．∴∠EOF＝∠EAC+∠AFO＝40°+90°＝130°．故选：A．【点评】本题主要考查三角形的高、三角形的角平分线、三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的高、三角形的角平分线、三角形的外角的性质是解决本题的关键．9．（3分）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的200元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买x包口罩，则依题意列方程为（）A． B． C． D．【分析】根据原计划每包的价格＝实际购买每包的价格+2，可以列出相应的分式方程．【解答】解：由题意可得，+2＝，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．10．（3分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12 B．6 C．7 D．8【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，即可得到△ABP周长的最小值．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∵AB＝3，AC＝4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝3+4＝7．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3cm，则BC为9cm．【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，根据等腰三角形的判定得出AD＝DC＝3cm，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2AD＝6cm，再求出答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°＝∠C，∴AD＝DC，∵AD＝3cm，∴DC＝3cm，在Rt△BAD中，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝6cm，∴BC＝BD+DC＝6+3＝9（cm），故答案为：9．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠B和∠DAC的度数是解此题的关键．13．（3分）分解因式：2x3+4x2+2x＝2x（x+1）2．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2x（x2+2x+1）＝2x（x+1）2．故答案为：2x（x+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝3，AB＝14，则△ABD的面积是21．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝3，根据三角形面积公式计算即可得到△ABD的面积．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，由尺规作图可知，AD为∠CAB的平分线，又∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×14×3＝21，故答案为：21．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，D是线段AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A'处，当A'D平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的大小为112.5°或67.5°．【分析】由折叠的性质可得∠ACD＝∠A'CD，∠A＝∠A'＝45°，分两种情况讨论，利用平行线的性质和三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，∵把△ACD沿直线CD折叠，∴∠ACD＝∠A'CD，∠A＝∠A'＝45°，若A'D∥BC，∴∠A'＝∠BCA'＝45°，∴∠ACA'＝45°，∴∠ACD＝22.5°，∴∠ADC＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，若A'D∥AC，∴∠A+∠A'DC＝180°，且∠ACD＝∠A'CD，∴45°+2∠ADC＝180°，∴∠ADC＝67.5°，故答案为：112.5°或67.5°．【点评】本题考查了翻折变换，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．三、解答题（8小题，共75分）16．（8分）化简：（1）（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x）；（2）（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）．【分析】（1）先用完全平方、平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可；（2）先算乘除，再算加减．【解答】解：（1）（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x）＝4x2﹣4xy+y2﹣3x2+4xy﹣4y2+x2＝2x2﹣3y2．（2）（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）＝2x2﹣3x+4x﹣6﹣5x2+6＝﹣3x2+x．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算的顺序和相关运算的法则．17．（9分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝（）﹣2+（π﹣1）0．【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的，最后根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则化简x的值，代入求值即可．【解答】解：原式＝[]÷＝＝＝，∵x＝（﹣）﹣2+（π﹣1）0＝4+1＝5，∴原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，理解零指数幂和负整数指数幂的运算法则，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；（2）△ABC的面积是4；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【分析】（1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；（3）设P点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到×|t﹣2|×1＝4，然后求出t得到P点坐标．【解答】解：（1）如图，△ABC和△DEF为所作；（2）△ABC的面积＝4×3﹣×2×1﹣×2×3﹣×2×4＝4；故答案为4；（3）设P点坐标为（t，0），∵△ABP的面积为4，∴×|t﹣2|×1＝4，解得t＝﹣6或10，∴P点坐标为（﹣6，0）或（10，0）．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了三角形面积公式．19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．20．（9分）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，提高学生的身体素质，某校计划购买篮球和排球，为学生课间体育锻炼提供充足的器材．已知篮球的单价是排球的1.5倍，用3600元单独购买篮球或排球，所购篮球的数量比排球少20个．（1）篮球和排球的单价各是多少元？（2）若该校计划购买篮球和排球共200个，筹备资金不多于15700元，那么该校最多购买篮球多少个？【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为1.5x元，由题意：用3600元单独购买篮球或排球，所购篮球的数量比排球少20个．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买篮球m个，则购买排球（200﹣m）个，由题意：筹备资金不多于15700元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为1.5x元，由题意得：﹣＝20，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，则1.5x＝90，答：篮球的单价为90元，排球的单价为60元；（2）设购买篮球m个，则购买排球（200﹣m）个，由题意得：90m+60（200﹣m）≤15700，解得：m≤123，答：该校最多购买篮球123个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21．（10分）八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：探究．如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？（1）图中直角边BC与斜边AB的数量关系是AB＝2BC；（2）爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP．①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）②帮助小明完成证明过程．证明：【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠D＝60°，BC＝CD＝BD，推出△ABD是等边三角形，于是得到AB＝2BC，（2）①根据题意作出图形即可；②根据三角形的内角和定理得到∠B＝90°﹣∠A＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝CP，求得∠ACP＝∠A＝30°，根据等边三角形的性质得到BP＝BC＝CP，于是得到结论．【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝60°，BC＝CD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB，∴AB＝2BC，故答案为：AB＝2BC；（2）①如图所示；②证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵PD垂直平分AC，∴AP＝CP，∴∠ACP＝∠A＝30°，∴∠PCB＝∠ACB﹣∠ACP＝60°，∴∠B＝∠PCB＝60°，∴△PBC是等边三角形，∴BP＝BC＝CP，∴BP＝BC＝CP＝AP，∵AB＝AP+BP，∴AB＝2BC．【点评】本题考查了全等三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．含30°的角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．22．（10分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．【分析】（1）先表示面积，再求关系．（2）先表示大长方形的面积，再确定三种纸片张数．（3）通过（1）中结论计算．【解答】解：（1）大正方形的边长为：a+b，面积为（a+b）2；还可以用1张A，B，两张C拼出，∴面积还可以为：a2+2ab+b2；∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张．（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，∵S1+S2＝20，∴a2+b2＝20∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2