13.4最短路径问题（解析版）

13.4最短路径问题一、单选题1．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．【详解】如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小

过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，

∵B（0，2），

∴B′（0，-2），

∵C（5，3），

∴CH=B′H=5，

∴∠CB'H=45°，

∴∠BB'A'=45°，

∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，

∴OB'=OA'=2，

则此时A'坐标为（2，0）．

m的值为2．

故选：C．【点评】此题考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键．2．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；【详解】如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴PC=PB，

∴PE+PC=PB+PE=BE，

即BE就是PE+PC的最小值，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BCE=60°，

∵BA=BC，AE=EC，

∴BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBC=30°，

∵PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC=30°，

∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，

故选：A．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；【详解】如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴PC=PB，

∴PE+PC=PB+PE=BE，

即BE就是PE+PC的最小值，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BCE=60°，

∵BA=BC，AE=EC，

∴BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBC=30°，

∵PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC=30°，

∴∠ACP=30°，

故选：A．【点评】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．4．在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（）A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8【答案】D【分析】根据最短路径问题得：当BP⊥AC时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案.【详解】由题意得：当BP⊥AC时，的值最小，∵,∴,解得BP=，故选：D.【点评】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当BP⊥AC时，的值最小是解题的关键.5．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B． C．5 D．6【答案】C【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．【详解】如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，∴点B关于AD的对称点为点C，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，∵AB＝10，S△ABC＝25，

∴×10•CN＝25，解得CN＝5，即BM＋MN的最小值是5．故选：C．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．6．已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据轴对称的性质以及线段的性质可得到结论．【详解】根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求．故选：D【点评】主要考查轴对称的性质的应用，最短路线的数学模型问题，其次考查作图能力，要求学生能够把实际问题转化为数学模型．7．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题可通过找点M或点N关于直线m的对称点，继而利用两点之间线段最短确定最短路径．【详解】作点M关于直线m的对称点，连接交直线m于P，则P处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除、、选项，可知选项管道最短．故选：．【点评】本题考查将军饮马模型，可利用轴对称性质以及两点之间线段最短求解，将军饮马模型有诸多变体形式，需做专题训练对比记忆最佳．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15 B．17 C．18 D．20【答案】C【分析】根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．【详解】是以为底边的等腰三角形，平分，垂直平分，点与点关于对称，，如图所示，当点与点重合时，，此时的周长最小，，，的周长为30，，周长的最小值为，故选：．【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题9．如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________．【答案】80°【分析】根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案；【详解】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=50°，由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，L∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=130°-50°=80°，故答案为：80°．【点评】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____．【答案】【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．【详解】如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，∵点A的坐标为（0，6），

∴OA＝6，

∵点P为OA的中点，

∴AP＝3，

∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，

∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，

∴∠BAE＝∠CAP，

在△ABE和△ACP中，∴△ABE≌△ACP（SAS），

∴BE＝PC，

∴当BE有最小值时，PC有最小值，

即BE⊥x轴时，BE有最小值，

∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝，

∴PC的最小值为，

故答案为．【点评】本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．11．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1．（1）△ABC的周长等于_____；（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．【答案】12见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算；（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．【详解】（1）△ABC的周长等于，故答案为：12；（2）如图：故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．．【点评】此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．12．如图，等腰△ABC底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，若D为BC边上的中点，E为线段MN上一动点，则△BDE的周长最小值为____cm．【答案】11【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线NM的对称点为点A，故AD的长为BE+ED的最小值，由此即可得出结论．【详解】连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，BD=3cm解得AD=8（cm），

∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴点B关于直线MN的对称点为点A，AD与MN的交点为E,此时BE+DE的值最小

∴AD的长为BE+ED的最小值，∴△BDE的周长最小值=故答案为11．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为____________．【答案】7【分析】如图，连接PA．利用三角形的面积公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出PB=PA，推出PB+PD=PA+PD，由PA+PD≥AD，推出PA+PD≥4，推出PA+PD的最小值为4，由此即可解决问题．【详解】如图，连接PA．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=3，∵S△ABC=•BC•AD=12，∴AD=4，∵EF垂直平分AB，∴PB=PA，∴PB+PD=PA+PD，∵PA+PD≥AD，∴PA+PD≥4，∴PA+PD的最小值为4，∴△PBD的最小值为4+3=7，故答案为：7．【点评】本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．如下图，，在、上分别找一点M、N，当周长最小时，的度数是_____________．【答案】120°【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【详解】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．

∵∠DAB=120°，

∴∠AA′M+∠A″=180°-∠BAD=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故答案为：120°．【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．三、解答题15．如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处．（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接，试说明．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）要使PA＋PB最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P；（2）在直线l上任取另一点Q，连接PA、QA、QB．根据轴对称的性质得到PA＝PA′，QA＝QA′．根据三角形的三边关系即可得到结论．【详解】（1）如图，点P即为所求．

（2）如图，在直线l上任取一点Q，连接．∵点A与关于直线l对称，点P，Q在直线l上，∴．∵，∴，即，∴．【点评】本题考查了轴对称，以及三角形的三边关系，正确确定如何使线段的和最小是关键．16．如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？【答案】见解析【分析】利用关于直线对称点的性质得出P点关于AB的对称点P'，以及P点关于CB的对称点P"，根据两点直接线段最短，连接P'P"即可得出．【详解】如图所示：C、D点即为所求．【点评】此题主要考查了应用作图与设计，两点之间线段最短，利用关于直线对称点的性质得出是解题关键．17．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，1），B（3，4），C（1，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标；（2）若点P在x轴上，且满足PA＋PC1最小，求点P的坐标及PA＋PC1的最小值．【答案】（1）图见解析，C1（-1，2）；（2）P（，0），．【分析】（1）根据轴对称的定义，将关于y轴的对应点分别画出，顺次连接即可；（2）作点A关于x轴的对称点，与C1连接，此时与x轴的交点即为点P，求出直线的解析式，令y=0，求出x，即可求出点P的坐标，为最小值，利用勾股定理即可求出长度．【详解】（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如图所示：

点C1的坐标（-1，2）（2）作点A关于x轴的对称点，与C1连接，此时与x轴的交点即为点P，为最小值∵C1（-1，2），（4，-1）设的解析式为y=kx+b，将点C1和代入，得：，求得∴的解析式为令y=0，x=，即点P（，0）利用勾股定理，=．【点评】本题考查了轴对称图形以及最短路径，熟练各作图方法是解决本题的关键．18．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（−4，5），B（﹣3，1），C（−2，3）．（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1，其中点B1的坐标是________；（2）若点M是x轴上的动点，在图中画出使△B1CM周长最小时的点M．【答案】（1）图形见解析；B1（3，2）；（2）见解析【分析】（1）分别找到A、B、C点关于y轴的对称点，然后连接即可；（2）找C关于x轴的对称点C′，连接交x轴于一点M，根据两点之间线段最短，可知此时的M即为使周长最小时的点M．【详解】（1）如图所示；根据图形可知B1(3，2)，故答案为：(3，2)；（2）如图所示：找C关于x轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，，连接交x轴于一点M，根据两点之间线段最短，可知此时的M即为使周长最小时的点M．【点评】本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．19．如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）作出关于轴的对称图形；（2）写出点，，的坐标；（3）在轴上找一点，使最短（不写作法）．【答案】（1）见解析；（2），，；（3）见解析【分析】（1）根据轴对称的性质确定点，顺次连线即可得到图形；（2）根据点的位置直接得解；（3）连接与y轴交于一点即为点P，连接PC，此时AP+PC最短．【详解】（1）如图所示，为所求作．

（2）由图可得，，，．（3）如图所示，点即为所求作．【得解】此题考查轴对称的性质，轴对称作图，点的坐标，最短路径问题，正确理解轴对称的性质作出图形是解题的关键．20．如图，在等腰三角形ABC中，底边，的面积是，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．（1）当周长的最小时，请在图中作出满足条件的（保留作图痕迹，不要求写出画法）．（2）周长的最小值是___________．【答案】（1）图见解析；（2）5.5【分析】（1）根据三角形周长公式和两点之间线段最短来分析，进而再利用简单的作图方法即可作图；（2）根据三角形面积公式求出AD，再根据中点定义求出BD即可求解．【详解】（1）如图所示；连接AM，∵EF是AB的线段垂直平分线∴AM＝BM∴△BDM的周长＝BM＋DM＋BD又AM＝BM∴△BDM的周长＝AM＋DM＋BD∵BD是定值∴当A、M、D三点在一条直线上时，AM＋DM值最小，即△BDM的周长最小，（2）∵△ABC是等腰三角形又点D为BC边上的中点，∴AD是△ABCBC边上的高，∵，，的面积是，∴BD＝1.5cm，AD＝4cm∴△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD＝AD＋BD＝5.5cm【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，线段存在平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形周长公式和面积公式等知识，解题的关键是运用所学知识求得△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）若小正方形的边长为1，试求△ABC的面积．（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．【答案】（1）作图见解析，A1（1，﹣1）、B1（4，﹣2）、C1（3，﹣4）；（2）3.5；（3）作图见解析．【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1，根据网格图得到A1、B1、C1的坐标；（2）依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积；（3）因为A1与A点是关于x轴对称的点，连结A1B，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为(1，﹣1)、B1的坐标为(4，﹣2)、C1的坐标为(3，﹣4)；（2）△ABC的面积=．（3）如图所示，点P即为所求．【点评】本题考查了作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题．凡是涉及最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称的变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．22．在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【分析】（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，