11.4三角形（单元检测）（解析版）

11.4三角形（单元检测）一、单选题(共36分)1．(本题3分)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为()A．39° B．51° C．38° D．52°【答案】B【分析】先根据∠B=39°得出∠CFE的度数，再根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠E的度数，从而得∠1的度数．【详解】∵∠B=39°，EF∥AB，∴∠CFE=39°，∵△ABC是直角三角形，∴∠CEF=90°-∠CFE=90°-39°=51°,∴∠1=∠CEF=51°.故选B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的性质，考查的知识点为：两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余．2．(本题3分)如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之有一种数量关系始终保持不变请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．3∠A=2（∠1+∠2） C．3∠A=2∠1+∠2C D．2∠A=∠1+∠2【答案】D【分析】利用三角形内角和定理得到和，在根据四边形的内角和得，利用这三组关系证明与、的关系．【详解】在中，，在中，，∵，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理和多边形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理求解角度关系．3．(本题3分)如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．80°【答案】B【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．【详解】连接AC并延长交EF于点M．，，，，，，，故选B．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．4．(本题3分)已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（）A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a【答案】A【分析】已知a，b，c分别是三角形的边长，根据三角形的三边关系可得a+b＞c，a+c＞b，即可得a+b-c＞0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可求解.【详解】∵a，b，c分别是三角形的边长，∴a+b＞c，a+c＞b，∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-(-b+a+c)=2b-2c.故选A.【点评】本题考查了三角形的三边关系及绝对值的性质，根据三角形的三边关系得到a+b-c＞0、b-a-c＜0是解决问题的关键.5．(本题3分)如图，ΔABC的面积为8cm，AP垂直ABC的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直ABC的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得出△PBC的面积．【详解】延长AP交BC于E，

∵AP垂直ABC的平分线BP于P，

∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，

又∵BP=BP，

∴△ABP≌△BEP，

∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，

∴△APC和△CPE等底同高，

∴S△APC=S△PCE，

∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=4cm2，

故选：C．【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点．能正确作出辅助线并理解同底等高的三角形面积相等是解题关键．6．(本题3分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（）A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A+∠D【答案】D【分析】根据四边形的内角和,∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），根据角平分线的定义可得再根据三角形的内角和定理可得然后整理即可得解；【详解】∵四边形的内角和=360°，∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，∴∴∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）故选D．【点评】考查四边形的内角和，三角形的内角和以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.7．(本题3分)如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形的外角的性质可知∠DB′C=∠A+∠ADB′，只要求出∠DB′C即可．【详解】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A=20°，∴∠B=60°，根据翻折不变性可知：∠CB′D=∠B=60°，∵∠DB′C=∠A+∠ADB′，∴60°=20°+∠ADB′，∴∠ADB′=40°，故选A．【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．8．(本题3分)若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是（）边形．A．八 B．十 C．十二 D．十四【答案】B【分析】任意多边形的一个内角与相邻外角的和为180°，然后根据题意可求得答案．【详解】∵多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°，∴1800°÷180°=10.故选B.【点评】此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握其定理和运算公式.9．(本题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A．40° B．36° C．30° D．25°【答案】B【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【详解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC，∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∴α＋2α＋2α＝180°，∴α＝36°，即∠B＝36°，故选B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．10．(本题3分)已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．【详解】正多边形的一个外角等于，且外角和为，则这个正多边形的边数是：，故选D．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．11．(本题3分)若一个正多边形的每个内角度数都为135°，则这个正多边形的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据题意可先求出这个正多边形的每个外角度数，再根据多边形的外角和是360°即可求出答案．【详解】因为一个正多边形的每个内角度数都为135°，所以这个正多边形的每个外角度数都为45°，所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选：B．【点评】本题考查了正多边形的有关概念和多边形的外角和，属于基本题目，熟练掌握多边形的基本知识是解题的关键．12．(本题3分)已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．

三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．二、填空题(共18分)13．(本题3分)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________________度．【答案】180【分析】根据三角形外角的性质可知∠B+∠C=∠2，∠A+∠E=∠1，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】∵∠2是△OBC的外角，

∴∠B+∠C=∠2，

∵∠1是△AEF的外角，

∴∠A+∠E=∠1，

∵∠1+∠2+∠D=180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

故答案是：180．【点评】考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．14．(本题3分)有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A点处行走的路程是________．【答案】30米【分析】利用多边形的外角和等于360°，可知机器人回到A点时，恰好沿着360°÷24°=15边形的边走了一圈，即可求得路程．【详解】2×（360°÷24°）=30米．故答案为30米．【点评】本题需利用多边形的外角和解决问题．15．(本题3分)如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为_____．【答案】55°或85°【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，∠CMB′，再根据折叠的性质求出∠NMB′即可解决问题．【详解】∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，当∠CB′M＝90°，∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°，由折叠的性质可知：∠NMB′＝∠BMB′＝75°，∴∠MNB′＝180°﹣75°﹣50°＝55°，当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°，故答案为55°或85°．【点评】考核知识点：三角形内角和.理解三角形内角和的性质定理是关键.16．(本题3分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．【答案】40°．【详解】∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为40°．17．(本题3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t=___________________，△APE的面积等于6．【答案】1.5或5或9【分析】分为两种情况讨论：当点P在AC上时：当点P在BC上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】如图1，当点P在AC上．∵△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，∴CE=4，AP=2t．∵△APE的面积等于6，∴S△APE=AP•CE=AP×4=6．∵AP=3，∴t=1.5．如图2，当点P在BC上．则t＞3∵E是DC的中点，∴BE=CE=4．∵PE，∴S=EP•AC=•EP×6=6，∴EP=2，∴t=5或t=9．总上所述，当t=1.5或5或9时，△APE的面积会等于6．故答案为1.5或5或9．【点评】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．18．(本题3分)在图中过点P任意画一条直线，最多可以得到____________个三角形.【答案】6【分析】根据题意画出图形，根据图形回答问题即可．【详解】如图1，有2个三角形；如图2，有3个三角形；如图3，有4个三角形；如图4，有4个三角形；如图5，有5个三角形，如图6，有6个三角形，综上所述，最多有6个三角形，故答案为6.【点评】本题考查了三角形，根据题意画出符合条件的图形，运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键.三、解答题(共66分)19．(本题8分)如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【答案】∠DAE＝5°，∠BOA＝120°【分析】由∠CAB＝50°，∠C＝60°可求出∠ABC；由AE、BF是角平分线，得到∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°；由AD是高，得到∠DAC；从而计算得到∠DAE和∠BOA．【详解】∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°∵AE、BF是角平分线∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°又∵AD是高∴∠ADC＝90°∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°又∵∠ABF＝35°，∠EAB＝25°∴∠BOA＝180°-∠EAB-∠ABF＝180°-25°-35°＝120°∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．【点评】本题考查了三角形角平分线、直角三角形的知识；求解的关键是熟练掌握三角形以及直角三角形的性质，从而完成求解．20．(本题8分)如图，已知D为△ABC边BC延长线一点，DF⊥AB于F，且交AC于E，∠A=30°，∠D=55°.（1）求∠ACD的度数；（2）求∠FEC的度数.【答案】（1）65°；（2）120°【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠B，再利用三角形的外角的性质求出∠ACD即可．

（2）根据∠FEC=∠ECD+∠D求解即可．【详解】（1）∵DF⊥AB，

∴∠BFD=90°，

∴∠B=90°-∠D=35°，

∵∠ACD=∠B+∠A，∠A=30°，

∴∠ACD=65°．

（2）∵∠FEC=∠ECD+∠D，∠ECD=65°，∠D=55°，

∴∠FEC=55°+65°=120°．【点评】考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．21．(本题8分)如图，已知：点P是内一点．（1）求证：；（2）若PB平分，PC平分，，求的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）110°【分析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．

（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】（1）延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，在△PBC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×140°=110°．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．22．(本题8分)问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP-∠ABP=90°-∠A．【分析】（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.【详解】（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB-（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．（3）判断：（2）中的结论不成立．证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP-∠ABP=90°-∠A．【点评】此题主要考查利用三角形内角和定理进行等角转换，熟练掌握，即可解题.23．(本题8分)已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．【答案】∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【详解】作∠ABO的平分线交AC于点D，则∠BDA＝180°-(∠DAB+∠DBA)＝180°-(∠OAB+∠OBA)＝135°，因为BD，BE分别是∠OBA和∠YBA的平分线，所以BD⊥CB，所以∠ACB＝∠BDA-∠DBC＝135°-90°＝45°．即∠ACB的大小始终为45°．【点评】本题目是一道三角形角平分线的问题，互为邻补角的两个角的平分线垂直.24．(本题8分)如图，在△BCD中，BC=1.5，BD=2.5，（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是______．（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．【答案】（1）2；（2）∠C=70°【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为偶数即可得出CD的取值；（2）由平行线的性质和已知条件求解即可．【详解】（1）∵在△BCD中，BC=1.5，BD=2.5，∴1＜CD＜4，∵CD的长为偶数，∴CD的取值是2．故答案为2；（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，∴∠AEC=55°，又∵∠A=55°，∴∠C=70°．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，掌握定理与性质是解题的关键．25．(本题8分)中，，点分别是边上的点，点是一动点，令，，．（1）若点在线段上，如图①所示，且，则_____；（2）若点在边上运动，如图②所示，则、、之间的关系为______；（3）如图③，若点在斜边的延长线上运动，请写出、、之间的关系式，并说明理由．【答案】（1）140°；（2）∠1＋∠2＝90°＋α．（3）如图1，∠2−∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠1−∠2＝∠α−90°．【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1＋∠2＝∠C＋∠α，进而得出即可；

（2）利用（1）中所求得出答案即可；

（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．【详解】（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°；

（2）由（1）得出：∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋α．

（3）如图，

分三种情况：连接ED交BA的延长线于P点，如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C＋∠1＋∠α，∴∠2−∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠2＝∠1−∠α＋∠C，∴∠1−∠2＝∠α−90°．【点评】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质和四边形内角和定理，熟练利用三角形外角的性质是解决问题的关键．26．(本题10分)如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角