26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 华师版数学九年级下册练习(含答案)

26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一、单选题1．抛物线的对称轴是（）A．直线 B．直线C．直线 D．直线2．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是()A．向上， B．向下，C．向下， D．向上，3．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜04．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是()A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．a＜05．二次函数的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．6．用配方法将化成的形式为：A． B．C． D．7．要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（）A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位8．函数与抛物线的图象可能是（）．A． B．C． D．9．已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（）A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠010．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（）A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝二、填空题11．抛物线的开口方向向______，对称轴是__________，最高点的坐标是_________，函数值得最大值是________．12．把抛物线变为的形式是________．13．抛物线的最高点为（-1，-3），则b+c=____________。14．如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为________．15．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C．在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值有4个．其中正确的结论是________(只填序号)．三、解答题16．已知一个二次函数的图象经过、、三点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点的位置，求所得新抛物线的解析式.已知：二次函数（1）求出该函数图象的顶点坐标；（2）在所提供的网格中画出该函数的草图．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M在抛物线上，线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD，当点D在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标；（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．参考答案1．C解析：用对称轴公式即可得出答案．解析：抛物线的对称轴，故选：C．【点拨】本题考查了抛物线的对称轴，熟记对称轴公式是解题的关键.2．B解析：对于抛物线y=a(x−h)2+k(a≠0),当a＞0时,开口向上;当a＜0时,开口向下,顶点坐标为(h,k),据此即可完成解答.解析：由二次函数图象的性质可知,抛物线y=−3x2+4=−3(x2-0)+4，则抛物线y=−3x2+4的开口向下,顶点坐标为(0,4).故选择B.【点拨】本题考查抛物线的开口方向、顶点坐标，解题的关键是掌握抛物线的开口方向、顶点坐标的求法.3．B解析：先根据图象的开口确定a的符号，利用对称轴知b的符号，与y轴的交点确定c的符号．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴左侧，∴x=-＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选B．【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；4．D解析：：∵二次函数y=a（x-1）2+3，∴该二次函数的对称轴为直线x=1，又∵当x＜1时，y随x的增大而增大，∴a＜0.故选D．【点拨】运用了二次函数的性质，解题的关键是明确在二次函数中，当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．5．A解析：∵二次函数y=ax2-2x-3（a＜0）的对称轴为直线x,∴其顶点坐标在第二或三象限，∵当x=0时，y=-3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图象一定不经过第一象限．故选A．6．B解析：试题解析：故选B.7．D解析：根据顶点坐标的变化可以确定选项.解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1,所以新抛物线的顶点坐标为（1，-1），∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．故选D．【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，熟记平移规律和顶点坐标是解题关键.8．C解析：一次函数和二次函数与y轴交点坐标都是(0,1)，然后再对a分a>0和a<0讨论即可．解：由题意知：与抛物线与y轴的交点坐标均是(0,1)，故排除选项A；当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数开口向上，故其图象有可能为选项C所示，但不可能为选项B所示；当a<0时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数开口向下，不可能为为选项D所示；故选：C．【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的图象关系，熟练掌握函数的图象与系数之间的关系是解决本类题的关键．9．C解析：根据二次函数图象与x轴没有交点说明，建立一个关于k的不等式，解不等式即可.∵二次函数的图象与x轴无交点，∴即解得故选C．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图象与x轴交点个数的关系，掌握根的判别式是解题的关键.10．D解析：根据已知条件可将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y=a（x＋1）2﹣a＋2，把x=-2代入，可对A进行判断；利用对称性可对B进行判断；依据一元二次方程根的差别式可对C进行判断；根据抛物线的图象与性质可对D进行判断.解：由已知可得，c＝2，b＝2a，∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，A.当x＝﹣2时，y＝2，∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意；B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意；C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0，∴a＝0或a＝﹣2，∴a＝﹣2，正确，不符合题意；D.若﹣≤x≤0时2≤y≤3；在﹣≤x≤0时，当x＝﹣1时，y有最大值2﹣a，当x＝0时，有最最小值2；∴3＝2﹣a，∴a＝﹣1，故D.错误，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用求根公式和函数图象的增减性是解题的关键．11．下直线x=1（1，1）1解析：y=-4x2+8x-3=-4（x2-2x+1）+1=-4（x-1）2+1，∴开口方向向下，对称轴是直线x=1，最高点的坐标是（1，1），函数值的最大值是1．故答案为下；直线x=1；（1，1）；1．点拨：函数y=ax2+bx+c=a(x+)2+，其对称轴为直线x=-，最高点坐标为（-，），函数的最值为（a>0时是最小值，a<0时是最大值）.12．解析：y=2x2-12x-12=2(x2-6x+9)-30=2(x-3)2-30，则m=3，n=-30，则mn=-90.故答案为-90.13．-6解析：由最高点为（-1，-3），得-1=-，-3=，解得b=-2，c=-4，则b+c=-6.故答案为-6.14．(－2，0)解析：试题解析：因为P、Q点关于直线对称，所以P点到直线的距离应该与Q点到直线的距离相等，P点坐标为（4，0），所以Q点的坐标为（-2，0）.故本题的答案为（-2，0）.15．③④解析：试题分析：先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴AB=4，∴对称轴x=﹣=1，即2a+b=0．故①错误；②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②错误；③∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．故③正确；④∵△ADB为等腰直角三角形．所以AD=BD=AB，设D（1，a+b+c），又b=﹣2a，c=﹣3a，故D（1，﹣4a）；列方程求解得a=1/2或a=﹣1/2（舍去），∴只有a=1/2时三角形ABD为等腰直角三角形，故④正确；⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；同理当AC=BC时在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解．经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④．故答案是：③④．考点：1.抛物线与x轴的交点；2.二次函数图象与系数的关系；3.等腰三角形的判定．16．(1);(2)解析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用顶点式写出所得新抛物线的表达式．（1）设所求二次函数的解析式为：.由题意，得解得该二次函数的解析式为.（2）新抛物线是由二次函数的图象平移所得，.又顶点坐标是，.【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．（1）(－2，－1)；（2）见解析解析：（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）利用五点法画二次函数的图象即可．（1）化为顶点式为则该函数图象的顶点坐标为；（2）先求出自变量x在处的函数值，再列出表格当和时，当和时，当时，列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点拨】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．18．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点M（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）；（3）点P（，）或（，﹣）或（，）．解析：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解；（2）设点M（m，﹣m2+m+2）顺时针旋转90°此时点M即为点D（﹣m2+m+2，﹣m﹣1），即可求解；（3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）设点M（m，﹣m2+m+2），过点M作y轴的平行线HN，交过点A与x轴的平行线于点H，交x轴于点N，∵∠DMH+∠HDM＝90°，∠DMH+∠AMN＝90°，∴∠DHM＝∠AMN，又∵∠MHD＝∠ANM＝90°，AM＝MD，∴△MDH≌△AMN（ASA），∴DH＝MN，即：﹣m2+m+2＝|﹣m|，解得：m＝或1，故点M（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）；（3）设点Q