2024高考数学一轮复习专练66高考大题专练六概率与统计分布列的综合运用含解析理新人教版

PAGE专练66高考大题专练(六)概率与统计、分布列的综合运用1．[2024·天津卷]设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为eq\f(2,3).假定甲、乙两位同学到校状况互不影响，且任一同学每天到校状况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事务“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事务M发生的概率．2．[2024·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球竞赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；竞赛前抽签确定首先竞赛的两人，另一人轮空；每场竞赛的胜者与轮空者进行下一场竞赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人接着竞赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，竞赛结束．经抽签，甲、乙首先竞赛，丙轮空．设每场竞赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2).(1)求甲连胜四场的概率；(2)求须要进行第五场竞赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．3．[2024·全国卷Ⅲ]为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．依据试验数据分别得到如下直方图：记C为事务：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)4.[2024·山东烟台一中月考]某科技公司新研制生产一种特别疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，依据测量结果得到频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)技术分析人员认为，本次测量的产品的质量指标值X听从正态分布N(μ，12.22)，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在(187.8,212.2)内的概率；(3)设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满意函数关系y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.4x，x≤205，,0.8x－100，x>205.))假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本．参考数据：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545.5．[2024·全国卷Ⅲ]某学生爱好小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园熬炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：熬炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；(2)求一天中到该公园熬炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．依据所给数据，完成下面的2×2列联表，并依据列联表，推断是否有95%的把握认为一天中到该公园熬炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828专练66高考大题专练(六)概率与统计、分布列的综合运用1.解析：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事务和相互独立事务的概率计算公式等基础学问．考查运用概率学问解决简洁实际问题的实力．(1)因为甲同学上学期间的三天中到校状况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为eq\f(2,3)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，从而P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3－k，k＝0,1,2,3.所以，随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)随机变量X的数学期望E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事务{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事务{X＝3}与{Y＝1}，事务{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P({X＝3})P({Y＝1})＋P({X＝2})P({Y＝0})＝eq\f(8,27)×eq\f(2,9)＋eq\f(4,9)×eq\f(1,27)＝eq\f(20,243).2．解析：(1)甲连胜四场的概率为eq\f(1,16).(2)依据赛制，至少须要进行四场竞赛，至多须要进行五场竞赛．竞赛四场结束，共有三种状况：甲连胜四场的概率为eq\f(1,16)；乙连胜四场的概率为eq\f(1,16)；丙上场后连胜三场的概率为eq\f(1,8).所以须要进行第五场竞赛的概率为1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最终获胜，有两种状况：竞赛四场结束且丙最终获胜的概率为eq\f(1,8)；竞赛五场结束且丙最终获胜，则从其次场起先的四场竞赛依据丙的胜、负、轮空结果有三种状况：胜输赢胜，输赢空胜，负空胜胜，概率分别为eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最终获胜的概率为eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).3．解析：本题主要考查频率分布直方图，考查考生的识图实力、阅读理解实力，考查的核心素养是数据分析、数学运算．(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.4．解析：(1)由10×(a＋0.009＋0.022＋0.033＋0.024＋0.008＋a)＝1，解得a＝0.002.(2)依题意，μ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，故X～N(200,12.22)，所以P(187.8<X<212.2)＝P(200－12.2<X<200＋12.2)≈0.6827，故测量数据落在(187.8，212.2)内的概率约为0.6827.(3)依据题意得平均成本为0.4×170×0.02＋0.4×180×0.09＋0.4×190×0.22＋0.4×200×0.33＋(0.8×210－100)×0.24＋(0.8×220－100)×0.08＋(0.8×230－100)×0.02＝75.04，故生产该疫苗的平均成本为75.04元．5．解析：(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表.空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园熬炼的平均人次的估计值为eq\f(1