2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.2事件的相互独立性习题含解析新人教A版必修第二册

.2事务的相互独立性课后篇巩固提升基础达标练1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A. B. C. D.解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,则两个指针同时落在奇数区域的概率为.答案A2.(2024广东执信中学高三月考)社区开展“建军90周年主题活动——军事学问竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为()A. B. C. D.解析由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-×1-=,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-.故选C.答案C3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为()A. B. C. D.解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为.答案C4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事务A表示“第一次摸得白球”,假如“其次次摸得白球”记为事务B,否则记为事务C,那么事务A与B,A与C间的关系是()A.A与B,A与C均相互独立B.A与B相互独立,A与C互斥C.A与B,A与C均互斥D.A与B互斥,A与C相互独立解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对其次次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.答案A5.台风在危害人类的同时,也在爱护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星精确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报精确的概率是.

解析设甲、乙、丙预报精确依次记为事务A,B,C,不精确记为事务,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报精确的事务有AB,AC,BC,ABC,这四个事务两两互斥.∴至少两颗卫星预报精确的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案0.9026.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为,问题得到解决的概率为.

解析甲、乙两人都未能解决的概率为1-1-=.问题得到解决就是至少有1人能解决问题,∴P=1-.答案7.甲、乙、丙三位高校毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为,且各自能否被选中相互之间没有影响.(1)求三人都被选中的概率;(2)求只有两人被选中的概率.解记甲、乙、丙被选中的事务分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)∵A,B,C是相互独立事务,∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.(2)三种情形:①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(BC)=P()P(B)P(C)=.②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(AC)=P(A)P()P(C)=.③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(AB)=P(A)P(B)P()=.以上三种状况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=.实力提升练1.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()A. B. C. D.解析这两项都不合格的概率是,则至少有一项合格的概率是1-.答案D2.在电路图中(如图),开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是()A. B. C. D.解析设开关a,b,c闭合的事务分别为A,B,C,则灯亮这一事务E=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,则P(E)=P(ABC∪AB∪AC)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=.答案B3.(多选题)(2024全国高一专题练习)下列对各事务发生的概率推断正确的是()A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为D.设两个独立事务A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事务A发生的概率是解析对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的状况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-2×,故A正确;对于B,用A,B,C分别表示事务甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为1-,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事务A,则P(A)=,设“从乙袋中取到白球”为事务B,则P(B)=,故取到同色球的概率为,故C正确;对于D,易得P(A∩)=P(B∩),即P(A)P()=P(B)P(),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B).又P()=,所以P()=P()=,所以P(A)=,故D错误.答案AC4.设两个相互独立事务A与B,若事务A发生的概率为p,事务B发生的概率为1-p,则A与B同时发生的概率的最大值为.

解析事务A与B同时发生的概率为p(1-p)=p-p2(p∈[0,1]),当p=时,最大值为.答案5.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成果的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事务A;“抽出的学生英语口语测试成果不低于85分”记为事务B,则的值是.

解析从这20名学生中随机抽取一人,样本点总数为20个.事务A包含的样本点有10个,故P(A)=;事务B包含的样本点有9个,P(B)=,事务AB包含的基本领件有5个,故P(AB)=,故.答案6.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮其次次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.(1)求P2的值;(2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式.解(1)P2=.(2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×=-Pn-1+(n∈N,n≥2).7.甲、乙二人进行一次围棋竞赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这次竞赛的成功,同时竞赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局竞赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(1)求再赛2局结束这次竞赛的概率;(2)求甲获得这次竞赛成功的概率.解记Ai表示事务“第i局甲获胜”,i=3,4,5,Bj表示事务“第j局乙获胜”,j=3,4,5.(1)记A表示事务“再赛2局结束竞赛”.A=A3A4∪B3B4.由于各局竞赛结果相互独立,故P(A)=P(A3A4∪B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)·P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.(2)记事务B表示“甲获得这次竞赛的成功”.因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次竞赛的成功当且仅当在后面的竞赛中,甲先胜2局,从而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5,由于各局竞赛结果相互独立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)·P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.素养培优练在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次