2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE第2课时均值不等式的应用关键实力·攻重难类型用均值不等式证明不等式┃┃典例剖析__■1．无附加条件的不等式的证明典例1已知a，b，c>0，求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.思路探究：由条件中a，b，c>0及待证不等式的结构特征知，先用均值不等式证eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，再进行证明即可．解析：∵a，b，c>0，∴利用均值不等式可得eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的留意点：(1)多次运用均值不等式时，要留意等号能否成立．(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时留意运用．(3)对不能干脆运用均值不等式的证明可重新组合，达到运用均值不等式的条件．2．有附加条件的不等式的证明典例2已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥9.思路探究：本题的关键是把分子的“1”换成a＋b，由均值不等式即可证明．解析：方法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋eq\f(1,a)＝1＋eq\f(a＋b,a)＝2＋eq\f(b,a).同理1＋eq\f(1,b)＝2＋eq\f(a,b).故(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))＝(2＋eq\f(b,a))(2＋eq\f(a,b))＝5＋2(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥5＋4＝9.所以(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥9，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号．方法二：(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝1＋eq\f(a＋b,ab)＋eq\f(1,ab)＝1＋eq\f(2,ab)，因为a，b为正数，所以ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，所以eq\f(1,ab)≥4，eq\f(2,ab)≥8.因此(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的两种题型(1)无附加条件的不等式的证明．其解题思路：视察待证不等式的结构形式，若不能干脆运用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到运用均值不等式的条件．(2)有附加条件的不等式的证明．视察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地运用已知条件，条件的奇妙代换是一种较为重要的变形．┃┃对点训练__■1．已知x>0，y>0，z>0，求证：(eq\f(y,x)＋eq\f(z,x))(eq\f(x,y)＋eq\f(z,y))(eq\f(x,z)＋eq\f(y,z))≥8.证明：∵x>0，y>0，z>0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(z,x)≥eq\f(2\r(yz),x)>0，eq\f(x,y)＋eq\f(z,y)≥eq\f(2\r(xz),y)>0，eq\f(x,z)＋eq\f(y,z)≥eq\f(2\r(xy),z)>0，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号同时成立．∴(eq\f(y,x)＋eq\f(z,x))(eq\f(x,y)＋eq\f(z,y))(eq\f(x,z)＋eq\f(y,z))≥eq\f(8\r(yz)·\r(xz)·\r(xy),xyz)＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．类型利用均值不等式解决实际问题┃┃典例剖析__■典例3如图所示，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原来的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36m长的钢筋网，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时思路探究：设每间虎笼长为xm，宽为ym，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而问题(2)是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值，因此可用均值不等式来解决．解析：设每间虎笼长为xm，宽为ym，每间虎笼的面积为Sm2.(1)由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，S＝xy.方法一：由2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，得2eq\r(6xy)≤18，解得xy≤eq\f(27,2)，S≤eq\f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2)，,y＝3.))故每间虎笼长为eq\f(9,2)m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f(3,2)y.∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝(9－eq\f(3,2)y)y＝eq\f(3,2)(6－y)·y.∵0<y<6，∴6－y>0.∴S≤eq\f(3,2)·[eq\f(6－y＋y,2)]2＝eq\f(27,2).当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5，故每间虎笼长为4.5m，宽为3(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为lm，则l＝4x＋6y.方法一：∵2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅2x＝3y时等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.))故每间虎笼长为6m，宽为4方法二：由xy＝24，得x＝eq\f(24,y).∴l＝4x＋6y＝eq\f(96,y)＋6y＝6(eq\f(16,y)＋y)≥6×2eq\r(\f(16,y)·y)＝48.当且仅当eq\f(16,y)＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长为6m，宽为4归纳提升：求实际问题中最值的一般思路1．读懂题意，设出变量，列出函数关系式．2．把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题．3．在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解．4．正确地写出答案．┃┃对点训练__■2．某公司安排建一面长为a米的玻璃幕墙，先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为(50m＋100m2)元．假设全部立柱的粗细都忽视不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元(总造价＝立柱造价(1)求y关于x的函数关系式；(2)当a＝56时，怎样设计能使总造价最低？解析：(1)依题意可知eq\f(a,m)＝x－1，所以m＝eq\f(a,x－1)，y＝6400x＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(50a,x－1)＋100\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x－1)))2))(x－1)＝6400x＋50a＋eq\f(100a2,x－1)(x∈N，且x≥2)．(2)y＝6400x＋50a＋eq\f(100a2,x－1)＝100eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(64x－1＋\f(a2,x－1)))＋50a＋6400.∵x∈N，且x≥2，∴x－1>0.∴y≥200eq\r(64x－1·\f(a2,x－1))＋50a＋6400＝1650a＋6400，当且仅当64(x－1)＝eq\f(a2,x－1)，即x＝eq\f(a,8)＋1时，等号成立．又∵a＝56，∴当x＝8时，ymin＝98800.所以，安装8根立柱时，总造价最低．易混易错警示忽视等号成立的条件┃┃典例剖析__■典例4求函数y＝x(1－x)，x∈[eq\f(2,3)，1)的最大值．错因探究：由eq\f(2,3)≤x<1，易知1－x>0，从而错解为y＝x(1－x)≤[eq\f(x＋1－x,2)]2＝eq\f(1,4).而x＝1－x在x＝eq\f(1,2)时才能取“＝”，但eq\f(2,3)≤x<1，因而不等式取不到等号，从而最大值为eq\f(1,4)是错误的．解析：y＝x(1－x)＝－x2＋x＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，当x＝eq\f(2,3)时，ymax＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(2,9).误区警示：利用均值不等式求最值时，等号必需取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答．学科核心素养与不等式有关的恒成立问题┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围．对于求不等式成立时参数的范围问题，在可能的状况下把参数分别出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上详细的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为求最值问题，即y≥m恒成立⇔ymin≥m；y≤m恒成立⇔ymax≤m.但要留意分别参数法不是万能的，假如分别参数后，得出的函数解析式较为困难，性质很难探讨，就不要运用分别参数法．典例5已知函数y＝－eq\f(1,a)＋eq\f(2,x)，若y＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是__(－∞，0)∪[eq\f(1,4)，＋∞)__.解析：∵y＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即－eq\f(1,a)＋eq\f(2,x)＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴eq\f(1,a)≤2(x＋eq\f(1,x))在(0，＋∞)上恒成立．当a<0时，不等式恒成立；当a>0时，∵2(x＋eq\f(1,x))≥4，当且仅当x＝1时，等号成立，∴0<eq\f(1,a)≤4，解得a≥eq\f(1,4).∴a<0或a≥eq\f(1,4).课堂检测·固双基1．若实数a，b满意ab>0，则a2＋4b2＋eq\f(1,ab)的最小值为(C)A．8 B．6C．4 D．2解析：干脆利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果．实数a，b满意ab>0，则a2＋4b2＋eq\f(1,ab)≥4ab＋eq\f(1,ab)≥4，当且仅当a＝2b，且ab＝eq\f(1,2)时，等号成立，故选C．2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(D)A．eq\f(1,ab)≤eq\f(1,4) B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C．eq\r(ab)≥2 D．a2＋b2≥8解析：4＝a＋b≥2eq\r(ab)(当且仅当a＝b时，等号成立)，即eq\r(ab)≤2，ab≤4，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,4)，A，C不成立；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(4,ab)≥1，B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8.3．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25_m2解析：设矩形的一边为xm，则另一边为eq\f(1,2)×(20－2x)＝(10－x