备战2024年高考数学一轮复习易错题01集合与常用逻辑用语含解析

易错点01集合与常用逻辑用语—备战2024年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2024年一般高等学校招生全国统一考试理科数学）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A.–4 B.–2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.【易错警示】易错点1．代表元素意义不清致错【例1】集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B等于()A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)}C．{(2,4)} D．∅【错解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝x＋2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.))故选A.【错因】导致错误的缘由是没有弄清集合中元素的意义，A中的元素是实数y，而B中的元素是实数对(x，y)，也就是说，集合A为数集，集合B为点集，因此A、B两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集．【正解】D易错点2．忽视集合元素的互异性致错【例2】已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.【错解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}．综上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．【错因】由题设条件知集合B中有四个元素，集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性冲突，导致错解．【正解】应将当a＝－5时的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．易错点3．忽视空集致错【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．【错解】由B⊆A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3.【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误会法．缘由是考虑不全面，由集合B的含义及B⊆A，忽视了集合为∅的可能而漏掉解．因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现∅的可能．【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.易错点4．推断充要条件时出错【例4】(1)设x∈R，则x>2成立的必要条件有________．(填上全部正确的序号)①x>1；②x<1；③x>3；④x<3；⑤x>0.【错解】③；因为x>3⇒x>2，所以x>2的一个必要条件为x>3.【错因】错解的主要缘由是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正含义，前者说明b⇒a；后者等价于“b是a的必要条件”，即a⇒b.【正解】①⑤；因为x>2⇒x>1，所以x>2的一个必要条件为x>1.同理x>2⇒x>0，所以x>2的一个必要条件为x>0.(2)命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．【错解】若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)>0，即a·b>0，反之也成立，所以p是q的充要条件．【错因】推断两个命题是否可以相互推导时，要留意特别状况的推断，以防推断出现错误．【正解】若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)>0⇒a·b>0；而a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．易错点5．对含有一个量词的命题否定不完全【例5】已知命题p：存在一个实数x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2<0，写出.【错解一】命题：存在一个实数x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2≥0.【错解二】命题：对随意的实数x，都有x2－x－2<0.【错因】该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的仍是特称命题，明显只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．【正解】命题：对随意的实数x，都有x2－x－2≥0.【变式练习】1．已知集合，那么（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由解得或，所以，故.所以.故选：B2．（2024·广东省高三其他（理））已知集合则=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C3．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】即中至少有一个是零；复数为纯虚数，故为小范围，故为必要不充分条件.4．（2024·济源市第六中学高二月考（文））已知命题，则命题的否定为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】命题的否定是：.故选：C.5．下列有关命题的说法错误的是（）A．若“”为假命题，则与均为假命题；B．“”是“”的充分不必要条件；C．若命题，则命题；D．“”的必要不充分条件是“”.【答案】D【解析】由题可知：时，成立，所以满意充分条件，但时，，所以必要条件不成立，故D错6．（2024·河南省郑州一中高二期中（文））下列命题中，真命题是（）A．，使得 B．，是的充分不必要条件C．， D．【答案】B【解析】对于A中，由指数函数的性质可得，所以命题“，使得”为假命题；对于B中，由，可得成立，即充分性成立，反之：例如时，，所以必要性不成，所以，是的充分不必要条件；对于C中，例如：当时，此时，所以命题“，”假命题；对于D中，当时，不成立，所以是假命题.7．方程组的解组成的集合为_________.【答案】【解析】由，解得或，代入，解得或，所以方程组的解组成的集合为，故答案为.8．已知，，则“”是“”的______条件.【答案】充分不必要【解析】由题意得，在集合中：，即，解得：，即，而，即，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.【真题演练】1．【2024年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合则A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选D．【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的学问点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2．【2024年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=A． B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2} D．{–2，2}【答案】D【解析】【分析】解肯定值不等式化简集合的表示，再依据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为，或，所以.故选D．【点睛】本题考查肯定值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.3．【2024年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合，，则A∩B中元素的个数为A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】采纳列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，，故中元素的个数为3.故选B.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道简单题.4．【2024年高考天津】设全集，集合，则A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知，则.故选C．【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.5．【2024年高考北京】已知集合，，则A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】依据交集定义干脆得结果.【详解】，故选D．【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解实力，属基础题.6．【2024年高考天津】设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成马上可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选A．【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.7．【2024年新高考全国Ⅰ卷】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}【答案】C【解析】【分析】依据集合并集概念求解.【详解】.故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解实力，属基础题.8．【2024年高考浙江】已知集合P=，Q=，则PQ=A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依据集合交集定义求解【详解】.故选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解实力，属基础题.9．【2024年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将两个条件相互推导，依据能否推导的结果推断充分必要条件.【详解】依题意，是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，依据公理可知确定一个平面，而，依据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的推断，考查公理和公理的运用，属于中档题.10．【2024年高考北京】已知，则“存在使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】依据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类探讨即可推断.【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选C．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类探讨思想的应用，属于基础题.11．【2024年高考江苏】已知集合，则_____.【答案】【解析】【分析】依据集合的交集即可计算.【详解】∵,，∴.故答案为.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．12．【2024年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中随意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中全部真命题的序号是__________．① ② ③ ④【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可推断命题的真假；利用三点共线可推断命题的真假；利用异面直线可推断命题的真假，利用线面垂直的定义可推断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于