2024-2025学年高中数学1.4周练卷3习题含解析新人教A版必修4

周练卷(三)一、选择题(每小题5分，共35分)1．函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,2)))的最小正周期是(C)A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C．2π D．π解析：函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,2)))＝2sinx，∴函数的最小正周期是2π.2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(B)A．y＝sin(2x＋eq\f(π,2)) B．y＝cos(2x＋eq\f(π,2))C．y＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4)) D．y＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))解析：y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x是周期为π的偶函数，y＝cos(2x＋eq\f(π,2))＝－sin2x是周期为π的奇函数，y＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))是周期为π的非奇非偶函数，y＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))是周期为2π的非奇非偶函数．故选B.3．函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))的图象的一条对称轴方程为(A)A．x＝eq\f(π,12) B．x＝eq\f(5π,12)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(π,6)解析：令2x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)，k∈Z，当k＝0时，x＝eq\f(π,12)，故选A.4．函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))在区间[0，eq\f(π,2)]上的最小值为(B)A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．0解析：由x∈[0，eq\f(π,2)]得2x－eq\f(π,4)∈[－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]，所以sin(2x－eq\f(π,4))∈[－eq\f(\r(2),2)，1]，故函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))在区间[0，eq\f(π,2)]上的最小值为－eq\f(\r(2),2).5．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于(C)A．0 B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．π解析：因为y＝sinx的图象的对称轴为x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以函数y＝sin(x＋φ)的图象的对称轴应满意x＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.又y＝sin(x＋φ)是偶函数，所以x＝0是函数图象的一条对称轴，所以φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.又0≤φ≤π，所以当k＝0时，φ＝eq\f(π,2).6．若函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为eq\f(π,2)，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则x0＝(B)A.eq\f(π,12) B.eq\f(5π,12)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,4)解析：依题意，T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，令2x＋eq\f(π,6)＝kπ，解得x＝－eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，因为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈[0，eq\f(π,2)]，所以x0＝eq\f(5π,12)，选择B.7．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω＝(C)A．3 B．2C.eq\f(3,2) D.eq\f(2,3)解析：因为当0≤ωx≤eq\f(π,2)时，函数f(x)为增函数，当eq\f(π,2)≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，即当0≤x≤eq\f(π,2ω)时，函数f(x)为增函数，当eq\f(π,2ω)≤x≤eq\f(π,ω)时，函数f(x)为减函数，所以eq\f(π,2ω)＝eq\f(π,3)，所以ω＝eq\f(3,2).二、填空题(每小题5分，共20分)8．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的最小正周期为π.解析：由sin[2(x＋π)－eq\f(π,3)]＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋2π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，可知函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的最小正周期为π.9．函数y＝eq\r(sinx－cosx)的定义域为{x|2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)，k∈Z}．解析：要使函数式有意义，必需有sinx－cosx≥0.在同始终角坐标系中画出[0,2π]内y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满意sinx＝cosx的x为eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，结合正、余弦函数的周期是2π，可得所求定义域为{x|2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)，k∈Z}．10．当x∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是eq\f(7,8)，最大值是2.解析：∵x∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]，∴－eq\f(1,2)≤sinx≤1，y＝3－sinx－2cos2x＝1－sinx＋2(1－cos2x)＝2sin2x－sinx＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,4)))2＋eq\f(7,8)，当sinx＝eq\f(1,4)时，ymin＝eq\f(7,8)；当sinx＝1或sinx＝－eq\f(1,2)时，ymax＝2.11．定义在R上的奇函数f(x)对于随意x∈R，有f(x)＝f(2－x)，若tanα＝eq\f(1,2)，则f(－10sinαcosα)的值为0.解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，由f(x)＝f(2－x)，得f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为4.又∵tanα＝eq\f(1,2)，∴α为第一或第三象限角．当α为第一象限角时，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，当α为第三象限角时，sinα＝－eq\f(\r(5),5)，cosα＝－eq\f(2\r(5),5)，∴－10sinα·cosα＝－4，∴f(－10sinαcosα)＝f(－4)＝f(0)＝0.三、解答题(本大题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．(15分)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数，且0<φ<2π.(1)求φ；(2)求函数f(x)的单调增区间．解：(1)方法一：因为f(x)是奇函数，所以对随意的x都有f(x)＝－f(－x)，即sin(2x＋φ)＝－sin(－2x＋φ)＝sin(2x－φ)，依据正弦函数的图象可得2x＋φ＝2x－φ＋2kπ，即φ＝kπ，k∈Z.依据0<φ<2π，可得φ＝π.方法二：因为函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，即sinφ＝0，所以φ＝kπ，k∈Z.依据0<φ<2π，可得φ＝π.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π)＝－sin2x，它的单调增区间实质是y＝sin2x的单调减区间[kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3π,4)](k∈Z)．13．(15分)已知函数f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋1，所以函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)当x∈[0，eq\f(π,2)]时，2x＋eq\f(π,4)∈[eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)]，由正弦函数y＝sinx在[eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)]上的图象知，当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,8)时，f(x)取最大值eq\r(2)＋1；当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)，即x＝eq\f(π,2)时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的最大值为eq\r(2)＋1，最小值为0.14．(15分)已知函数f(x)＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))．(1)利用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；(2)当x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,8)]时，方程f(x)－a＝0有解，求实数a的取值范围．解：(1)按五个关键点列表如下：X＝2x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(5π,8)eq\f(7π,8)eq\f(9π,8)f(x)＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))