重难点06 函数零点问题七大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（解析版）

高中数学精编资源2/2重难点专题06函数零点问题七大题型汇总题型1分段函数的零点 1题型2唯一零点问题 8题型3指对幂函数零点 12题型4含有绝对值函数的零点 18题型5复合函数零点 25题型6函数中的整数问题 31题型7三角函数的零点 38题型1分段函数的零点【例题1】（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数fx=cosπx-πaA．32,52 B．3【答案】C【分析】根据参数a的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解.【详解】由函数fx=cos当a≤0时，对任意x>0，函数f(x)=(x-a)2-4在(0,+当x≥a时，f(x)=(x-a)由(x-a)2-4=0，  可得则在x≥a上，f(x)=(x-a)所以f(x)=cos(πx-πa)在因为0<x<a，所以-a<x-a<0，-π所以-7π2综上所述，实数a的取值范围为52故选：C.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.【变式1-1】1.（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）关于函数，fx=log甲：5是该函数的零点.乙：4是该函数的零点.丙：该函数的所有零点之积为0.丁：方程fx若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】结合命题的矛盾性，先判断丙、丁均正确，然后分情况讨论甲乙，进行判断解题；【详解】当x∈3.5,+∞时，即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确.由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0，则f0=log①若甲正确，则f5=b-5=0，则可得f由fx=1，可得log解得x=2或x=4，方程fx故丁正确.，若甲正确，乙错误；②若乙正确，则f4=0，即b-4=0，则可得f由fx=1，可得log解得x=2，方程fx综上，甲正确，乙错误，故选：B【变式1-1】2.（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）设fx是定义在R上的函数，若Fx=fx+（1）当x∈2,（2）g（3）若gm≥2（4）若hx=gA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】由题可得fx=x-x2，后由题目条件可得gx大致图象.（1）由题目条件可得x∈2,3时，gx=2gx-1=4gx-2=4fx-2；（2）注意k=1【详解】因Fx=fx+x2是奇函数，则则2fx又注意到x∈1,2时，x-1∈0,1，则gx=2gx-1=2fx-1；x∈（1）x∈2,3时，x-1∈1,2，（2）注意到当k=1时，g2k-1（3）当x∈3,4时，由以上分析：gx=8fx-3=-8x-3x-4，则g72（4）hx=gx-kx-2有三个零点等价于gx图象与直线y=kx-2有3个交点.由图可得，当直线y=kx-2与gx在x∈0,1时的图象相切时，满足题意.注意到当x∈0,1时，gx图象上有一点B1k<k故选：A

【点睛】关键点睛：本题涉及求函数解析式及对于类周期函数性质的考查.本题由函数奇偶性确定fx解析式后，结合题目条件得到了g【变式1-1】3.（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）设a∈R，函数f(x)=-2ax-1+4a-a2,x<ax【答案】{2}∪(52，【分析】设h(x)=f(x)-g(x)，结合题意可知函数h(x)在区间[0，+∞)内恰有3个零点，分析a≤0时不符合题意，a>0时，结合二次函数Δ=8a-16的正负及h【详解】由题意，函数f(x)与函数g(x)=ax在区间[0，+∞设h(x)=f(x)-g(x)=-2a|x-1|-ax+4a-即函数h(x)在区间[0，+∞当a≤0时，函数h(x)在区间[0，+∞当a>0时，函数y=x2-(2a+2)x+Δ=所以，函数h(x)在[a，a+1)上单调递减，在(a+1,+∞)上单调递增，且ha当Δ=8a-16<0，即a<2时，函数h(x)在区间[a，+所以函数h(x)=-2a|x-1|-ax+4a-a2在[0，当Δ=8a-16=0，即a=2时，函数h(x)在区间[2，+则当x∈[0，2)时，h(x)=-4|x-1|-2x+4，令h(x)=-4|x-1|-2x+4=0，解得x=0或x=4当Δ=8a-16>0h(a)=-2a+5<0，即a>52时，函数h(x)在区间则函数h(x)=-2a|x-1|-ax+4a-a2=ax+2a-a则2a-a2≤0a+2a-a当Δ=8a-16>0h(a)=-2a+5≥0，即2<a≤52时，函数h(x)在区间则函数h(x)=-2a|x-1|-ax+4a-a2=ax+2a-a则2a-a2=0a+2a-a综上所述，a的取值范围是{2}∪(52，故答案为：{2}∪(52，【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数y=fx(1)直接法：令fx(2)零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且fa【变式1-1】4.（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数fx=cosπx,0<x<ax2-4ax+8,x≥a，当a=1时，fx的零点个数为；若【答案】13【分析】第一空：当a=1时cosπx=0、x≥1时fx=0可得答案；第二空：y=x2-4ax+8x≥a至多有2个零点，故y=cosπx在0,a上至少有2个零点，所以a>【详解】第一空：当a=1时，当0<x<1时，fx=cosπx=0，解得当x≥1时，f故此时fx第二空：显然，y=x2-4ax+8x≥a至多有2个零点，故y=cosπx在①若y=cosπx0<x<a恰有2个零点，则32<a≤52，此时y=此时32②若y=cosπx0<x<a恰有3个零点，则52<a≤所以y=x③当a>72时，fa而y=cosπxx<a此时fx综上，32<a≤2故答案为：1；32【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题.题型2唯一零点问题【例题2】（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）在数列an中，a1=1，且函数fA．1021 B．1022 C．1023 D．1024【答案】A【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断f'(x)为偶函数，根据有唯一零点知f'【详解】由f'(x)=5x而f'所以f'(x)为偶函数，则f'(0)=a所以{an+3}则a9故选：A【点睛】关键点点睛：判断导函数f'(x)为偶函数，进而得到【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数g(x)，h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g(x)+h(x)=ex+x，若函数f(x)=A．13 B．12【答案】C【分析】首先利用方程组法求函数g(x)的解析式，由解析式判断f(x)的对称性，利用导数分析f(x)的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值f(1)=0，即可求正实数λ值.【详解】由题设，{g(x)+h(x)=ex由f(x)=e|x-1|+λg(x-1)-2λ2当x≥1时，f(x)=ex-1+所以f(x)单调递增，故x<1时f(x)单调递减，且当x趋向于正负无穷大时f(x)都趋向于正无穷大，所以f(x)仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即f(1)=0，解得λ=1.故选：C【点睛】关键点点睛：奇偶性求函数解析式，导数分析函数的单调性、极值，根据零点的个数及对称性、单调性求参数值.【变式2-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=12aA．-∞,0 B．-∞,0C．-∞,0∪1,+∞【答案】B【分析】根据函数的奇偶性变换得到a=2sinx【详解】fx=12a当x>0时，fx=1设k=2sinxy'=cosx2，当x=0时，ya=21-cos【点睛】本题考查了利用导数解决函数的零点问题，将题目转化为函数y=2sin【变式2-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=2e|x-2|-1A．-2 B．-12 C．-1 D．-【答案】A【详解】函数f(x)=2e设x-2=t，则函数y=2e则2e设g(t)=2et-∵函数f(t)有唯一零点，∴y=g(t)与y=a∴此交点的横坐标为0，∴2-a=a2，解得a=-2故选A．【变式2-1】4.（2021春•洛阳期末）存在实数a使得函数fx=2x+A．-∞,14 B．-∞,0 C．0,【答案】A【分析】根据函数y=2【详解】令t=2x（t>0）是增函数，y=t+1t，由对勾函数性质y=t+1所以t=1时，ymin=2，此时x=0，因此f(x)有唯一零点，则零点为f(0)=-ma2+a-1=0，m=0时，a=1有解，m≠0时，则Δ=1-4m≥0，m≤综上m≤1故选：A．题型3指对幂函数零点【例题3】（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）定义在R上的偶函数fx满足f2-x=fx+2，当x∈0,2时，fx=(eA．e-110C．e-111【答案】D【分析】等价于y=fx与y=mx+1(m>0)的图象在x∈0,10有5个交点，利用已知可得fx是周期为4的函数，且图象关于x=2【详解】f2-又fx是偶函数，所以f-x=f所以fx的周期为4，由f2-x=fx+2得当x∈0,2时，fx=若在区间x∈0,10内，函数gx=f等价于y=fx与y=mx+1(m>0)的图象在x∈结合图象，当x=10时y=fx与y=mx+1(m>0)当m=0时y=fx与y=mx+1(m>0)可得A10,e，此时e=10m+1则实数m的取值范围是0,e故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的解题的关键点是等价于y=fx与y=mx+1(m>0)的图象在x∈【变式3-1】1.（2021秋•绍兴期末）已知a,b,c∈R，a+b+c=0，若3ax2+2bx+c=0(a≠0)的两个实根是x1，x2A．36 B．33 C．3【答案】D【解析】根据12x1-1+【详解】因为3ax2+2bx+c=0(a≠0)的两个实根是x所以x1+x所以12x1-1=214c3a+4b因为a+b+c=0，所以23a4c+4b+4a-a=23.即12所以12x1故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【变式3-1】2.（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知λ>0，若关于x的方程ex-1x-λx+λA．-∞,1 B．1,+∞ C．【答案】B【分析】化简ex-1λx-x+lnλx=ex-lnλx-1-x-lnλx=0，令t=x-lnλx，转化为et【详解】由题意得，ex-1令t=x-lnλx，问题转化为设ht=e当t∈-∞,1时，h't<0，ht单调递减；当又由h1=0，所以ht存在唯一零点t=1，即1=x-即1+lnλ=x-lnx，令当x∈0,1时，p'x<0；当x∈所以函数px在0,1上单调递减，在1,+所以1+lnλ≥p1故实数λ的取值范围为1,+∞故选：B.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．【变式3-1】3.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数fx=eA．0,1 B．1,C．e1e【答案】D【分析】由函数fx有两个大于1的零点，得fx在1,+∞【详解】因为函数fx=ex-a由fx=e当a≤0时，f'x>0恒成立，所以f(x)当a>0时，显然f'x=ex当0<a≤e时，当x∈1,+∞时，f'x当a>e时，因为f所以存在x0∈1,a，使得f当x∈1,x0时，f当x∈x0,+∞时，所以f(x)在x=x而f(1)=e>0，当x趋向正无穷时，所以当函数fx有两个大于1的零点时，只要ffx设y=xex(x>1)，则y设g(x)=1-xlnx，则g'(x)=-lnx-1，当对于D，当a∈ee+1,e当x0≥e时，1-故选：D.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．【变式3-1】4.（多选）（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知fx=elnxx+xeA．存在实数k，使得xB．xC．k∈D．lnx【答案】BCD【分析】化简方程，令elnxx=t，得到t2+(1-k)t-k+1=0．构造函数g(x)=elnxx，则g'(x)=e⋅1-lnxx2，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x【详解】由方程elnxx令elnxx=t，则有t+令函数g(x)=elnxx令g'x>0，解得0<x<e，令所以g(x)在(0,e)上单调递增，在所以gx作出图象如图所示，要使关于x的方程elnxx+xeln且x1<x2<x3，结合图象可得关于t的方程t2+(1-k)t-k+1=0令gt若t1≤0,0<t2<1若t1=1,0<t综上k∈1,由图结合单调性可知x3若f1=1-k=0，则k=1，又lnx

故选：BCD.【点睛】本题主要考查导数的应用，解答本题的关键是：令g(x)=elnxx，判断出函数g(x)的单调性，结合图象将e题型4含有绝对值函数的零点【例题4】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=ax2-2x-【答案】-【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．【详解】（1）当x2-ax+1≥0时，fx即a-1x-1若a=1时，x=-1若a≠1时，x=1a-1或若方程有一根为x=-1，则1+a+1≥0，即a≥-2若方程有一根为x=1a-1，则1a-12-a×若x=1a-1=-1时，a=0（2）当x2-ax+1<0时，fx即a+1x-1若a=-1时，x=1，显然x2若a≠-1时，x=1或x=1若方程有一根为x=1，则1-a+1<0，即a>2；若方程有一根为x=1a+1，则1a+1若x=1a+1=1时，a=0综上，当a<-2时，零点为1a+1，1当-2≤a<0时，零点为1a-1，-1当a=0时，只有一个零点-1；当0<a<1时，零点为1a-1，-1当a=1时，只有一个零点-1；当1<a≤2时，零点为1a-1，-1当a>2时，零点为1,-1．所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1．故答案为：-∞【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．【变式4-1】1.（2021春•宁夏校级月考）已知函数fx=x2+3x，x∈R【答案】0,1∪【详解】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画fx=xfx与gx图象恰有四个交点．当y=ax-1与y=x2+3x（或y=-ax-1与y=-x2-3x）相切时，fx与gx图象恰有三个交点．把y=ax-1代入y=x2+3x，得x2+3x=ax-1，即x（方法二）显然x≠1，∴a=x2+3xx-1∵t+4t∈-∞,-4∪4,+∞，∴考点：方程的根与函数的零点．【变式4-1】2.（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数fx=x2+(4a-3)x+3a,x<0loga(x+1)+1,x⩾0（a>0且a≠1）在【答案】1【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据fx为减函数，得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出a【详解】函数fx=x2+(4a-3)x+3a,在R上单调递减，则：3-4a2解得，13由图象可知，在[0,+∞)上,fx故在(-∞,0)上,fx当3a>2即a>23时,联立则Δ=4a-22-4当1≤3a≤2时,由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为13故答案为13【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题.【变式4-1】3.（2021秋•瑶海区校级期末）已知函数fx，gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足fx+gx=2x-x，则f0的值为【答案】112或【分析】构造函数方程并根据奇偶性可求得函数fx2t-λ⋅1【详解】∵fx，gx分别是定义在∴g0=0，f∵f-x=f又∵fx∴f-x①+②：2fx=2令h又∵h换元设x-2021=t又∵关于x的方程2x-2021设mt∵mt为偶函数，∴当且仅当t=0时为唯一零点，∴1-λ-2λ2=0，解得故答案为：0；12或【点睛】关键点睛：构造函数方程并根据奇偶性求函数解析式、利用偶函数的对称性求解是解题关键.【变式4-1】4.（2023·青海西宁·统考二模）函数fxA．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】令f(x)=0两个解为零点，将零点问题转换成gx=4sinπ2x，hx=x-1两个函【详解】令f(x)=0，得4sinπ2x=x-1令gx=4singx的周期T=2ππ2=4，对称轴做出gx=4sin显然，f(x)在0,1和1,2上各存在一个零点，∵g5=4sin∴f(x)在(4,5]上有两个零点，同理f(x)在[-3,-2)上存在两个零点，所以f(x)在-3,5上存在6个零点，因为gx和hx关于x=1对称，则f(x)零点关于所以f(x)的所有零点之和为6×1=6.故选：C【变式4-1】5.（2021•义乌市月考）已知f(x)=|x|+a2-1⋅ln|x+a|【答案】0.【分析】要使f(x)⩾0在定义域上恒成立，则函数h(x)=|x|+a2-1【详解】令ln|x+a|=0，解得x=1-a或x=-1-a，依题意，函数h(x)=|x|+a2-1的零点也为x=1-a或x=-1-a，（因为y=ln|x+a|的值域为R，若函数h(x)=|x|+a2-1的零点不为x=1-a即|1-a|+a2-1=0经检验，a=0符合题意．故答案为：0．【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，函数的零点，考查逻辑推理能力，属于中档题．题型5复合函数零点【例题5】（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知函数gx=2x,x<0A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】令gx=u，则方程ggx-19gx-1=0变为了【详解】首先由gx定义知道u=gx≥0，又由y=gu的定义域知道然后在同一直角坐标系中先分别画出y=gu和y=

设方程gu=ln则由图可知0<u现在在同一直角坐标系中先分别画出gx，y=u1，y=

由图可知gx分别与y=u1，y=u2所以方程gg则函数fx故选：D.【点睛】关键点睛：解题关键是首先将原问题转化为求方程ggx-19gx【变式5-1】1.（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）函数fx=1ex+1，若A．1,2 B．3C．0,32【答案】D【分析】由gx=0可得出fx=32或fx=a，数形结合可知直线y=3【详解】由gx=2f解得fx=3

由图可知，直线y=32与函数又因为函数gx有四个零点，故直线y=a与函数fx有两个零点，且所以，1<a<2且a≠3因此，实数a的取值范围是1,3故选：D.【变式5-1】2.（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知函数fx=ex,x≤02x,x＞0，gx=xA．1-ln3 B．1+ln3【答案】C【分析】根据已知条件画出函数图像，得到gx与y=m的交点的横坐标一个在0,1上，另一个在1,+∞上，转化为研究hx【详解】由fx的解析式，可知fx在且值域为0,1，在0,+∞上单调递增，且值域为0,+函数fx所以在fx的值域0,1上，任意函数值都有两个x在值域1,+∞上，任意函数值都有一个x要使Fx=gf则gx与y=m的交点的横坐标一个在0,1上，另一个在1,+由gx=x2-2x此时gt1=g结合fx的图像及x1<则x1所以x1-2x令hx=lnx-3x+4，当0<x<13时，h'x>0,所以h(x)max=h13【点睛】思路点睛：本题考查函数与导数的综合问题.复合函数要层层分析，通过图像加以辅助，多变量问题要寻找变量之间的关系，实现消元，从而解答.【变式5-1】3.（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数fx=-x2+x+2,x<02x【答案】4,5【分析】利用导数求出fx在0,+∞上的单调性与极大值，即可画出函数fx的图象，依题意可得关于x的方程2ef2x-afx+2e=0恰有6个不相等的实数根，令fx=t，则关于t【详解】当x≥0时fx=2xex，则f当x>1时f'所以fx在0,1上单调递增，在1,+则fx在x=1处取得极大值，f1=2e，且x>0时f当x<0时fx=-x2+x+2所以fx

对于函数gx=2ef2令fx=t，则要使2ef2即关于t的2et2-at+2e=0令gt=2et2所以Δ=a2所以实数a的取值范围为4,5.故答案为：4,5【点睛】关键点睛：本题解答的关键是利用导数说明函数的单调性，得到函数的大致图象，将函数的零点问题转化为一元二次方程根的分布问题.【变式5-1】4.（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知函数fx=lnx,x≥12x3-3x2+1,x<1，则x∈-1,e【答案】-40,【分析】根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值，即可求出x∈-1,e时，fx的最小值，令t=fx，则t2-t+a=0，0<t<1有两个解，则Δ=1-4a>0【详解】当x∈1,e时，fx所以此时函数的最小值为f1当x∈[-1,1)时，fx=2x当-1≤x<0时，f'x>0，当0<x<1所以fx在[-1,0)上递增，在(0,1)因为f-1所以函数的最小值为-4，综上，当x∈-1,e时，fx函数fx

令t=fx，则由gx=因为函数gx所以t2所以Δ=1-4a>0，且满足0<解得0<a<1即实数a的取值范围是0,1故答案为：-4，0,【点睛】关键点点睛：此题考查分段函数的最值的求法，以及根据函灵敏的零点个数求参数的范围，解题的关键是画出函数的图象，结合图形求解，考查学生的转化能力和数形结合的思想，属于较难题.题型6函数中的整数问题【例题6】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知函数fx=lnx+1-mx2有两个零点A．0,e2 B．ln3e【答案】D【分析】将函数fx=lnx+1-mx2,(x>0)有两个零点a,b【详解】由题意函数fx=ln即fx=ln设hx=ln令h'x=0，解得x=e-12，当0<x<当x>e-12时，故当x=e-1又x=1e时，hx=0；当当x>1e时，作出函数hx直线y=m与hx=ln由题意知a∈1e,因为存在唯一的整数x0∈a,b又直线y=m与hx由图可知：h2<m≤h1故选：D.【点睛】关键点睛：本题是根据函数零点的个数求参数的取值范围问题，关键在于要保证存在唯一的整数x0【变式6-1】1.（多选）（2023·全国·高三专题练习）关于x的函数f(x)=x+kxA．5 B．6 C．7 D．9【答案】ABC【分析】利用对勾函数得性质画出函数图象，结合最值列出不等关系，求出实数k的取值范围，进而得到答案.【详解】由对勾函数得单调性可知，fxx>0时，有两个零点，须满足：k>0，且2k-k<0⇒k>4；x<0时，有两个零点，须满足：k>0，且当k=0时，当x>0时，fx=x单调递增，无零点，当x≤0时，当k<0时，当x>0时，fx=x+kx-k综上：实数k的取值范围为[5，9)，故选：ABC.【变式6-1】2.（多选）（2023·全国·高三专题练习）若ax-4x2+b≥0对任意x∈A．-7 B．-5 C．-6 D．-17【答案】BCD【分析】对b分类讨论，当b≥0时，由ax-4x2+b≥0可得ax【详解】当b≥0时，由ax-4x2+即a≤4x对任意x当b<0时，由ax-4x可设fx=ax-4，由题意可知a<04a=--b，再由a，b所以a+b的可能取值为-17或-5故选：BCD【变式6-1】3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数fx=2x-3e2-ax+1ex【答案】1+【分析】将题目转化为存在唯一的整数x0，使得gx0在直线hx=a【详解】函数fx=2x-3e2-设gx=2x-3即存在唯一的整数x0，使得gx0g'x=e25-2xex，当x∈-∞,52时，g'x>0,gx

若要存在唯一的整数x0，使得gx0则g1>h1h0≥g0解得a∈1+故答案为：1+e【点睛】关键点点睛:用导数求参数的范围问题，将题目转化两个函数的交点问题求解是解题的关键.【变式6-1】4.（2023·全国·高三专题练习）函数fx=easinx-asinxa<-1．若∃x【答案】-5【分析】根据题意，构造函数φx=ex-e-x-2xx<0，利用导数与函数的单调性得到f【详解】fx=easinf'x=acosxeasinx-1，当x∈0,2π时，fx构造函数φx=e由基本不等式可得，当x<0时，φ'x>0恒成立，所以函数φx在-∞,0单调递增，且即f3π2若∃x0∈R即fx亦即e-a构造函数gx=x-lnx，可知gx又a<-1，所以e-a>1，-a3令t=-a，则t>1，构造函数ht=t-3lntt>1在t∈3,+∞单调递增．又h3h4=4-3ln4<0，故整数a≤-5，所以整数a的最大值为-5．故答案为：-5.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【变式6-1】5.（2021•中卫二模）已知函数fx=kx-1+14A．3e3C．3e3【答案】C【解析】函数fx的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，转化为f【详解】因为fx所以f'由kx+14e令g(x)=3xex，则g'(x)=x∈(1,+∞),g'(x)<0作出函数g(x)与y=kx+1当f'所以2k+1故选：C【点睛】本题以解不等式为载体,要求考生抓住函数图象和性质的本质,建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，属于难题.题型7三角函数的零点【例题7】（多选）（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）设函数fx=sinωx+πA．fx在0,2B．fx在0,2C．fx在0,D．ω的取值范围是12【答案】ACD【分析】由fx在0,2π有且仅有5个零点，可得5π≤2π【详解】因为fx=sin

所以5π≤2πω+π对于AB，由函数y=sinx在π5,2π对于C，当x∈0,π10因为125≤ω<2910，所以ωπ所以fx在0,故选：ACD【变式7-1】1.（多选）（2023秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考开学考试）函数f(x)=kx-|sinx|在(0,+∞A．β∈5π4C．tanβ+π4=1+β1-β D．f(x)【答案】ACD【分析】根据零点存在定理来判断A；根据导数的几何意义推出tanβ=β，结合零点即方程的根来判断B；根据导数的几何意义推出tan【详解】由于函数f(x)=kx-|sinx|在(0,+∞故函数y=kx,y=|sinx|的图象在作出函数y=kx,y=|sin

要满足题意，需满足y=kx与y=|sinx|在由图象可知α∈(0,π)当x∈(0,π]时，y=sinx由于α<β，则设y=kx与y=|sinx|在(π此时y'=-cos于是tanβ+对于A，当x∈(π,2π)时，f(x)=kx+sinx由于f(β)=kβ+sinβ=0，即令h(x)=-xcosx+sin即h(x)=-xcosh(5π4故h(x)=-xcosx+sinx在对于B，当x∈(0,π]时，f(α)=kα-当x∈(π,2π)时，tanβ=β，故tanβ-α=β-α=-对于D，当x∈(0,π]时，f(x)=kx-β-π∈(0,π)，当0<x<β-π时，f即f(x)在(0,β-π)单调递减，在即x=β-π为函数在(当x∈(π,2π)时，f(x)=kx+sinx当π<x<β时，f'(x)<0，当β<x<2即f(x)在(π,β)单调递减，在即x=β为函数在(π,2π)即f(x)在(0,2π)上有2个极值点，设为则x1=β-π,故选：ACD【点睛】难点点睛：本题综合性强，难度较大，解答时要能综合利用函数零点知识以及导数知识，灵活求解，要注意数形结合方法的应用.【变式7-1】2.（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）若存在实数a及正整数n，使得fx=cos2x-asinx在区间(0,nπ【答案】5【分析】利用换元思想将问题转化为方程2t【详解】由题意知，fx令fx=0，t=sin而Δ=a2+8>0，则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，当t2<-1时，一个周期2π内有两个零点，则n=2022或n=2021当t2=-1时，一个周期2π内有三个零点，则需要2022即n=674×2=1348；当-1<t2<0时，此时2-a-1>0若-1<a<1，此时0<t则一个周期2π则需要20224即n=2×505+1=1011；若a=-1，此时t2=-1则一个周期2π则需要20223即n=674×2=1348；若a<-1，此时t1一个周期2π则n=2022或n=2023.综上所述，这样的正整数n有5个，分别是1011,1348,2021,2022,2023.故答案为：5【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，属于中档题.【变式7-1】3.（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数f(x)=cos2ωx+3sin再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)的解析式的两个作为已知.条件①：函数f(x)的最小正周期为π；条件②：函数f(x)的图象经过点0,1条件③：函数f(x)的最大值为32(1)求f(x)的解析式及最小值；(2)若函数f(x)在区间0,t（t>0）上有且仅有1个零点，求t的取值范围.【答案】(1)选择①②f(x)=sin(2x+π6)，f(x)的最小值为-1；选择①③(2)选择①②t∈[5π【分析】（1）利用三角恒等变换化简f(x)，选择①②：由周期得出ω，由f(0)=12得出m，进而求出f(x)的解析式及最小值；选择①③：由周期得出ω，由f(x)的最大值为32得出m，进而求出f(x)的解析式及最小值；选择②③：由f(0)=1+m=12得m=-12，又因为函数f(x)（2）因为x∈[0,t]，所以2x+π【详解】（1）由题可知，f(x)=cos2ωx+选择①②：因为T=2π2ω又因为f(0)=1+m=12，所以所以f(x)=sin当2x+π6=2kπ-所以函数f(x)的最小值为-1．选择①③：因为T=2π2ω又因为函数f(x)的最大值为m+32=所以f(x)=sin当2x+π6=2kπ-所以函数f(x)的最小值为-1+1选择②③：因为f(0)=1+m=12，所以又因为函数f(x)的最大值为m+32=32（2）选择①②：f(x)=因为x∈[0,t]，所以2x+π又因为f(x)在区间0,t（t>0）上有且仅有1个零点，所以π≤2t+π6<2π选择①③：f(x)=因为x∈[0,t]，所以2x+π又因为f(x)在区间0,t（t>0）上有且仅有1个零点，又sinx=-12时，x=-所以7π6≤2t+π6<1.（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数f(x)=ex+x-2的零点为x1，函数g(x)=2-x-lnx的零点为x2，给出以下三个结论：①e【答案】①③【分析】根据函数零点的定义结合函数的单调性推出x1=lnx2=2-x2，可得【详解】由题意得ex1+即x1和lnx2而f(x)=ex+x-2∴f(x)在R上有且仅有一个零点，∴x又x1又f(0)=-1<0,f1而y=-x2+2x∴x∵0<x1<则lnx而x1-x2<0,综上，所有正确结论的序号为①③，故答案为：①③【点睛】关键点睛：本题综合性较强，涉及到函数零点以及单调性以及不等式证明相关知识，解答的关键在于根据lnx2+x2-2=0，变式为elnx22．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数fx=mlnx-2+n+1x【答案】e【分析】设函数的零点为t，则t+mlnt-2+nt=0，则点m,n【详解】设函数的零点为t，则t+mlnt-2+nt=0，则点m,n因为m2+n2表示（0,0）与（m,n令y=t令gt=lnt-2t当x∈e3,e4时，g'所以m2+n故答案为：e3．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数fx=x-1【答案】2,+【分析】求导得到导函数，构造y=x2-mx+1，确定Δ>0，排除m<-2的情况，确定函数的单调性，确定f1【详解】fx=x-1x-m设y=x2-mx+1当Δ≤0时，y=x2-mx+1≥0恒成立，即故Δ>0，即m>2或m<-2当m<-2时，f'x≥0fx单调递增，不满足，故m>2现证明m>2时满足条件：设方程的两个解为x1，x2，不妨取x1<x当x∈0,x1和x∈当x∈x1,f1=0，故fx当x趋近0时，fx趋近-∞，当x趋近+∞时，f故fx在0,x1综上所述：实数m的取值范围是2,+∞故答案为：2,+∞【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据Δ的大小分类讨论m的取值范围是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要灵活掌握.4．（2023·广东韶关·统考模拟预测）定义xx∈R为与x距离最近的整数（当x为两相邻整数算术平均数时，x取较大整数），令函数fx=x，如：f54=1，A．17 B．18910 C．19 D．【答案】C【分析】根据题意，分析1fn的规律，将1fn重新分组，第n组为2n个1n【详解】根据题意，函数fx当1≤n≤2时，有0.5<n<1.5，则fn当3≤n≤6，有1.5<n<2.5，则fn当7≤n≤12，有2.5<n<3.5，则fn当13≤n≤20，有3.5<n<4.5，则fn……，当2k-12<n<2k+12此时k2-k+14<n<k2+k+14，包含由此可以将1fn重新分组，各组依次为1,1、12,12,第n组为2n个1n，则每组中各个数之和为2n×前9组共有(2+18)×92=90个数，则1f100是第则1f故选：C．【点睛】关键点睛：本题解答的关键是找到1fn的规律，确定5．（2023·全国·统考高考真题）函数fx=xA．-∞,-2 B．-∞,-3【答案】B【分析】写出f'【详解】f(x)=x3+ax+2若fx要存在3个零点，则fx要存在极大值和极小值，则令f'(x)=3x2+a=0且当x∈-∞,-当x∈--a3故fx的极大值为f--a若fx要存在3个零点，则f--a3>0故选：B.6．（2021·天津·统考高考真题）设a∈R，函数f(x)=cos(2πx-2πa).x<ax2A．2,94C．2,94【答案】A【分析】由x2-2a+1x+a2+5=0【详解】∵x2-2由2πx-2πa=π2+kπ,k∈Z由0<k2+（1）x<a时，当-5≤-2a-12<-4时，f当-6≤-2a-12<-5，f当-7≤-2a-12<-6，f（2）当x≥a时，f(x)=xΔ=4当a<2时，Δ<0，fx当a=2时，Δ=0，fx当a>2时，令f(a)=a2-2a(a+1)+a2所以若a>52时，综上，要使f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点，则应满足74<a≤942<a≤则可解得a的取值范围是2,9【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x<a和x≥a两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.7．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知函数f(x)=xA．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A，结合f(x)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，f'x=3x2-1，令令f'(x)<0得所以f(x)在(-∞,-33)，(因f(-33)=1+23所以，函数fx在-当x≥33时，fx≥f3综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)=x3-x，该函数的定义域为R则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；令f'x=3x2当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1，当切点为(-1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：AC.8．（2022·北京·统考高考真题）若函数f(x)=Asinx-3cosx的一个零点为π3，则A=【答案】1-【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x-π【详解