5.3.3命题定理与证明（教学课件）七年级数学下册（人教版）2

命题、定理、证明1.理解命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；（重点）2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.（重点、难点）我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如：

(1)中华人民共和国的首都是北京.……()

(2)我们班的同学多么聪明!……………()

(3)浪费是可耻的.………()

(4)春天到了，花儿开了.………………()

判断描述判断描述在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：(1)画线段AB=3厘米.……()(2)两条直线相交，只有一个交点.……()描述判断观察下列语句，它们有什么共同点？(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；(3)对顶角相等；(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.像上边这样，判断一件事情的语句，叫作命题(proposition).1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.注意：一般地，命题由题设和结论两部分组成.题设：是已知事项；结论：是由已知事项推出的事项.数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是_____，“那么”后接的部分是_____.例如，命题(1)中，“两条直线都与第三条直线平行”是_____，“这两条直线也互相平行”是_____.(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；题设结论题设结论

可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它写成“如果……，那么……”的形式.例如，命题(3)“对顶角相等”(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；________________________________________________________________(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.________________________________________________________________如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补.如果等式两边加同一个数，那么结果仍是等式.例1.指出下列命题的题设和结论，并把(3)写成“如果……，那么……”的形式.

(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；

(2)如果∠1=∠2，2=∠3，那么∠1=∠3；

(3)两直线平行，同位角相等.

解：(1)题设：AB⊥CD，垂足为O，结论：∠AOC=90°；(2)题设：∠1=∠2，2=∠3，结论：∠1=∠3；(3)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：同位角相等.如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；(3)对顶角相等；(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.再举出学过的2～3个真命题.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；(3)相等的角是对顶角.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.例2.判断下列命题是真命题还是假命题.(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；(3)相等的角是对顶角.解：(1)假命题，反例：如图∠1=60°，∠2=120°，∠1与∠2互补，但它们不是邻补角.(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；(3)相等的角是对顶角.解：(2)假命题，反例：6能被2整除，但它不能被4整除.(3)假命题，反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.

解：命题“同位角相等”是假命题.反例：如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1与∠2是同位角，且∠1=90°，∠2=110°，但它们不相等.如何证实一个命题是真命题呢？如何证实一个命题是真命题呢？我们学过的一些图形的性质，都是真命题.其中有些命题是基本事实(公理)，如“两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.

它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.例3.如图，已知直线b∥c，a⊥b.求证a⊥c.证明：∵a⊥b(已知)∴∠1=90°(垂直的定义)又∵

b∥c(已知)∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)∴∠2=∠1=90°(等量代换)∴a⊥c(垂直的定义)例4.如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面四个式子中,请你选择其中三个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明.①AB⊥BC;②CD⊥BC;③BE//CF;④∠1=∠2.题设(已知):________________. 结论(求证):________________.证明:∵AB⊥BC,CD⊥BC(已知)∴∠ABC=∠DCB=90°(垂直定义)∵BE//CF(已知)∴∠EBC=∠FCB(两直线平行，内错角相等)∵∠1+∠EBC=∠ABC=90°∠2+∠FCB=∠DCB=90°(已知)∴∠1=∠2(等角的余角相等)①②③④如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面四个式子中,请你选择其中三个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明.①AB⊥BC;②CD⊥BC;③BE//CF;④∠1=∠2.题设(已知):________________. 结论(求证):________________.证明:AB⊥BC，CD⊥BC(已知)∴∠ABC=∠DCB=90°(垂直定义)∵∠1=∠2(已知)∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2(等式的性质)即∠EBC=∠FCB∴BE//CF(内错角相等，两直线平行)①②④③如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面四个式子中,请你选择其中三个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明.①AB⊥BC;②CD⊥BC;③BE//CF;④∠1=∠2.题设(已知):________________. 结论(求证):________________.证明:BE//CF(已知)∴∠EBC=∠FCB(两直线平行，内错角相等)∵∠1=∠2(已知)∴∠EBC+∠1=∠FCB+∠2(等式的性质)即∠ABC=∠DCB∵CD⊥BC(已知)，∴∠DCB=90°(垂直定义)∴∠ABC=90°(等量代换),即AB⊥BC(垂直定义)②③④①1.下列句子中哪些是命题?(1)猴子是动物的一种;…………………()

(2)玫瑰花是动物;………………………()

(3)美丽的天空;…………………………()

(4)同位角相等，两直线平行;…………()

(5)负数都小于零;………()

(6)你的作业做完了吗?…………………()

(7)所有的质数都是奇数;………………()

(8)过直线l外一点作l的平行线;………()

(9)如果a>b,a>c,那么b=c.……………()

√√×√√×√×√2.下列叙述错误的是()A.所有命题都有题设和结论B.所有命题都是定理C.所有定理都是真命题D.所有定理都是命题3.有下列语句:①画∠AOB的平分线;②直角都相等;③同旁内角互补吗?④两点确定一条直线.其中命题的个数为()A.1B.2C.3D.4BB4.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a//b;②b//c;③a⊥b;④a//c;⑤a⊥c.以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论，组成一个你认为不正确的命题是()A.已知①②,则④B.已知③⑤,则②C.已知②④,则①D.已知①②，则⑤D5.指出下列命题的题设和结论.(1)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等;(2)内错角相等，两直线平行.(3)两点之间，线段最短.解:(1)题设:两条平行线被第三条直线所截;结论:内错角相等.(2)题设:两条直线被第三条直线所截的内错角相等;结论:这两条直线平行.(3)题设:在所有连接两点的线中;结论:线段最短.6.将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.(1)同旁内角互补,两直线平行;(2)同角的补角相等;(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.解:(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等;(3)在同一平面内,如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.7.已知，如图AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD//BE.证明:∵AB//CD(已知)∴∠4=∠_______(_____________________)∵∠3=∠4(已知)∴∠3=∠_______(_________)∵∠1=∠2(已知)∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF

(___________)即_________=__________∴∠3=∠_______(_________)∴AD//BE(_______________________)BAE两直线平行,同位角相等BAE等量代换等式的性质∠BAE∠CADCAD等量代换内错角相等，两直线