广西壮族自治区河池市十校协作体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题

2024年秋季学期高二年级校联体第二次联考数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线上的点到焦点F的距离为A．1B．2C．3D．42．已知直线，，则与的距离为A．1B．2C．D．3．若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点（0，2），，则该椭圆的标准方程为A．B．C．D．4．已知两个向量，，且，则的值为A．2B．4C．6D．85．已知直线平分圆C：的周长，则a＝A．2B．4C．6D．86．已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．7．在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为A．B．C．D．8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于A．6B．7C．8D．9二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知直线，，则下列说法正确的是A．当时，直线的倾斜角为135°B．当时，C．若，则D．直线始终过定点（-1，0）10．如图，正方体的棱长为1，M是上的中点，以下说法正确的是A．△MAC的面积是定值B．与同向的单位向量是C．与夹角的余弦值为D．平面的一个法向量是（1，1，-1）11．已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点N（4，4），点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有A．存在4个点M，使得B．直线MA与直线MB斜率乘积为定值C．有最小值D．的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知直线l过点（l，2），倾斜角为45°，则直线l的纵截距为________________．13．已知圆与直线相切，则r＝________________．14．双曲线C：的离心率为________________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知△ABC的顶点分别为A（2，2），B（4，-2），C（-6，2）．（1）求BC边的中线所在直线的方程；（2）求BC边的垂直平分线所在直线的方程．16．（15分）已知椭圆C：，M为椭圆上一点，，分别为它的左右焦点，M到，距离之和为4，离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：与椭圆交于A，B两点，求|AB|的长以及三角形AOB面积．17．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱，，且，，，E为PC中点．（1）求点C到平面EAD的距离；（2）求平面PBC与平面EAD夹角的正弦值．18．（17分）已知圆，圆．（1）证明两圆相交，并求两圆公共弦长；（2）已知过点（0，1）的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率．19．（17分）设抛物线C：的焦点为F，已知点F到圆E：上一点的距离的最大值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）已知，是双曲线左右焦点，过右焦点的直线l与C交于M，N两点．证明：．2024年秋季学期高二年级校联体第二次联考数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【答案】C【详解】由焦半径公式得：．故选：C2．【答案】C【详解】由题意得，与的距离．故选：C．3．【答案】B【详解】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点（0，2），所以，，，椭圆的标准方程为．故选：B．4．【答案】A【详解】，，，，．故选：A．5．【答案】A【详解】由，可得圆心为（0，1），因为直线平分圆C：的周长，所以直线过圆的圆心，则，解得．故选：A．6．【答案】D【详解】已知抛物线的准线为，所以双曲线的一个焦点为（-4，0），所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为．故选：D．7．【答案】B【详解】底面ABCD为等腰梯形，，，，如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H，以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．则D（0，0，0），，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，两式相减可得，令，解得，，则平面的一个法向量为，则到平面的夹角正弦值，故选：B．8．【答案】B【详解】由双曲线的对称性以及A，B是双曲线上关于原点对称的两点可知，A，B，O三点共线，连接，，，，，则四边形为矩形，所以，，由双曲线C：可得，，则，所以，所以，又，所以，解得，所以．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．【答案】ABD【详解】对于A，当时，直线，故斜率，则倾斜角为135°，A正确，对于B，等价于，解得，故B正确，对于C，若，且，故，故C错误，对于D，令且，解得，，故恒过（-1，0），D正确，故选：ABD．10．【答案】BC【详解】A选项：M在上且，M到AC的距离等于到AC的距离，则为定值1，，故A选项错误；如图所示建系，A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），，，B选项：，与同向的单位向量为，故B选项正确；C选项：，，，，故C选项正确；D选项：设，则，，即不垂直，不垂直，（1，1，-1）不是面的一个法向量，故D选项错误；故选：BC．11．【答案】AD【详解】对于A中，由椭圆C：，可得，，，且，可得，所以，故在第一象限有点M，使得，根据对称性四个象限各有一个，一共4个，所以A正确；对于B中，设，则，且A（-5，0），B（5，0），可得，则为定值，所以B错误．对于C中，由椭圆的定义，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，所以C错误．对于D中，由点N在椭圆外，设直线，与椭圆相交于，，如图所示，则，因为，且，可得，即，所以，所以，所以D正确．选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【答案】1【详解】由题意知，斜率为，则直线方程为，令即，，直线l的纵截距为1．故答案为：1．13．【答案】【详解】由已知圆得标准方程为的圆心为（1，-3），半径为r，依题意，．故答案为：．14．【答案】2或【详解】当，所以．当，，故答案为：2或．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．【详解】（1）设BC中点D的坐标为，则，，BC边的中线AD过点A（2，2），D（-1，0）两点，AD所在直线方程为，即；（2）BC的斜率，BC的垂直平分线的斜率，BC的垂直平分线所在直线的方程为，即．16．【详解】（1）由题意得，解得，，故，故椭圆方程为；（2）由得，，则弦长O到直线l：距离为：所以三角形AOB面积：17．【详解】（1）设AC与BD交点为O，连接OE，则，所以，所以OC，OD，OE三条直线两两互相垂直，以OC，OD，OE所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意知，，则A（-1，0，0），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），P（-1，0，2），E（0，0，1），，设平面EAD的法向量为，，可取．，则点C到平面EAD的距离：（2），，，，设平面PBC的法向量为，则，可取．所以，所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为，所以平面PBC与平面PAD夹角的正弦值为．18．【详解】（1）圆化成标准方程为，圆心，半径，圆化成标准方程为，圆心，半径，由，所以两圆相交，两圆方程作差得．即公共弦所在直线的方程为．圆的圆心到直线距离为：公共弦长为：（2）由题可知，设，，①当直