圆的标准方程

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期第二学期课题圆的标准方程教学目标理解用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征.2.会判断点与圆的位置关系.3.能根据所给条件求圆的标准方程，并能应用圆的标准方程解决简单的数学问题.教学内容教学重点：掌握圆的标准方程的求法及应用，判断点与圆的位置关系.教学难点：会根据已知条件求圆的标准方程.教学过程创设情境，引入课题多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.今天我就和大家一起学习：圆的标准方程.类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素。探究新知（1）圆的几何要素圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.（2）圆的标准方程在平面直角坐标系中，圆心A的坐标为，半径为r，为圆上任意一点，就是以下点的集合.根据两点间的距离公式，，两边平方，得.对于以上过程，我们容易得到，圆上的点满足方程；反过来，满足方程，说明点到圆心的距离等于半径，也就是点在圆上。我们把这个方程称为圆心为半径为r的圆的标准方程.强调注意：1.与直线的方程相比，它是关于x，y的二元二次方程，有a,b,r三个待定参量，也就是知道了圆心坐标和半径，可直接写出圆的标准方程，反之亦对！2.括号内x,y的系数都是1, 3.括号内x减的那个数为圆心的横坐标，y减的那个数为纵坐标，括号与括号之间是+特别地：圆心在原点时，a=0,b=0，所以圆的标准方程为课堂练习已知圆心和半径写出圆的标准方程1.圆心为(1,2)，r=22.圆心为(-1,2)，r=13.圆心为(1,-2),r=21师生活动：学生口答完成，教师点评总结，引导学生进一步认识圆的标准方程的特征.设计意图：初步认识圆的标准方程，了解圆的标准方程的结构特点.思考交流应用方程（1）点与圆的位置关系例1求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，−7），分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上．解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上．把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上师生活动：学生自主完成，教师适时点拨.设计意图：为加深对圆的标准方程的理解，教材设置了例1.例1分为两部分，首先根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程------从几何到代数；然后根据点的坐标是否满足圆的方程，来判断点与圆的位置关系------从代数到几何，充分体现了坐标法的思想.探究：一、点M0（x（1）（x（2）（x（3）（x二、点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？在圆内，则；在圆外，则（2）求圆的标准方程的应用例2的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.虽然已知的三个点不在同一条直线上，只有确定了，a,b,r,圆的标准方程就确定了.解1：设所求的方程是.因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程.于是，即.三式两两相减，得，解得，代入，得.所以，的外接圆的标准方程是.在解法1中除了学到待定系数法的基本步骤外，还应该注意运算，课堂设置了如何解这个方程组的环节，注重基础，及基本的运算，尽量避免因为计算问题导致的失分。另外，三角形外接圆的圆心是三角形的外心，即三边中垂线的交点。分别求直线AB，BC的垂直平分线，垂直平分线的交点O就是圆心坐标，线段AO的长就是圆的半径。法2：因为A（5，1），B（7，-3），所以AB的中点D的坐标为（6，-1），直线AB的斜率k所以线段AB的垂直平分线l1l1:y+1=12(x−6)同理可得线段BC的垂直平分线l2的方程是x+y圆心O的坐标是方程组x−2得x=2y=−3所以圆心O的坐标是（2，-3）半径是AO所以，△ABC的外接圆的标准方程是（x−2师生活动：先思后说，先练后讲.教师启发引导学生比较、归纳得出求任意三角形外接圆的方程的两种方法.在分析过程中，突出图形在在分析问题中的辅助作用.设计意图：为巩固圆的标准方程，教材设置了例2.用待定系数法和数形结合法分别求解圆的标准方程，让学生比较发现，借助图形的辅助作用可以简化运算，使学生体会数与形结合的重要性和优越性.因此，我们既要重视“代数求解”，也要重视“几何直观”.教学时，要引导学生先用几何眼光观察思考，再用坐标法推证求解.对例2进行总结这就是常用的两种求圆的标准方程的方法(1)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.接下来，类比例2思考例3，进一步巩固两种方法例3已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程.分析：设圆心的坐标为．由已知条件可知，，且．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法．解法1：设圆心C的坐标为.因为圆心C在直线上，所以.①因为A，B是圆上两点，所以.根据两点间距离公式，有，即.②由①②可得，.所以圆心C的坐标是.圆的半径.所以，所求圆的标准方程是.解法2：如图，设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为，，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为.因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即.由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解.解这个方程组，得.所以圆心C的坐标是.圆的半径.所以，所求圆的标准方程是.课本中利用了以上两种方法，在教学中设置了第三种方法待定系数法，即根据三个条件列出三个方程，但要注意的是，除了代入A,B两点得到两个方程之外，第三个方程a-b+1=0是来自圆心在已知直线上，再一次巩固了待定系数法。从例2和例3的解答中我们可以得到启示，解决平面解析几何的过程中，要注意综合运用所学数学知识，代数方法比较容易想到，但有时运算会比较复杂；如果灵活运用几何知识，往往能减少运算量，使问题的解法显得简洁！四、课堂小结最后