《圆的标准方程》

教学设计教学设计教学设计课题名称《圆的标准方程》姓名工作单位年级学科高一数学教材版本人教A版一、教学内容分析解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》（人民教育出版社）A版必修二，第四章第一节《圆的标准方程》第一课时。本节安排在“直线与方程”之后，是“坐标法思想”的进一步应用；本节试图在直角坐标系下来探索圆的标准方程。而圆也是最简单的曲线，本节的学习将为后面学习其它圆锥曲线及其方程奠定一定学习基础。可以说，本节内容整体上在知识体系中起到了承上启下的作用，具有重要的地位。二、教学目标1．知识与技能目标：①正确掌握圆的标准方程及其推导过程。②会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径；由不同的已知条件求得圆的标准方程。③掌握点与圆位置关系的判定。2．过程与方法目标：①学会用坐标法的方法求动点轨迹方程——解析法。②对学生进行数形结合，类比，坐标法，待定系数法等数学思想方法的渗透。3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。②利用圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心。三、教学重难点重点：圆的标准方程推导及应用、坐标法的基本思想。难点：根据不同的已知条件，利用直接法、待定系数法或几何性质法求圆的标准方程。四、学情分析本节内容是继学生学习了直线的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究椭圆、双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，能有效发展学生自主学习能力。五、教学过程教师活动预设学生活动设计意图导入新课通过第三章的学习，我们知道笛卡尔所创立的平面直角坐标系使得点有了坐标，直线有了方程，通过直线的方程用代数的方法研究他们的几何性质与位置关系，从而实现数与形的有机结合，也就是数形结合。那么我们所熟悉的圆能否用方程表示呢？这就是我们本节课学习的内容——圆的标准方程。学生类比思考。类比学习，通过直线的方程激活学生已有的认知结构，引出课题。（二）创设情境观赏图片了解生活中的圆，生活中处处充满着圆这样一个完美对称图形，那么大家知道它们蕴含着怎样的数学知识吗？学生观赏图片并思考。激发学生的学习兴趣。（三）引导探究、构建方程（1）回顾初中圆的定义平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。其中定点指的是圆心确定的是圆的位置，定长是半径确定的是圆的大小。用集合语言描述圆上一动点M所满足的关系，即P={M||MA|=r}。（2）回顾利用坐标法求曲线方程的基本步骤。（建系设点、找关系写方程、化简验证）（3）推导圆标准方程①建系设点要研究圆不妨把它放在我们所熟悉的平面直角坐标系内，已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一点M坐标为(x，y)，求该圆的方程②找关系写方程P={M||MA|=r}利用点到点距离公式将几何条件转化为代数条件：③化简、验证将两侧进行平方得到思考:是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程吗？由上推导过程可知：（1）若点M(x，y)在圆上,则点M的坐标满足方程;（2）反之,若点M(x，y)的坐标适合方程，则说明点M与圆心A的距离为r,即点M在圆上。因此我们把称为以点A(a，b)为圆心,r为半径的圆的标准方程。师生共同回顾圆的定义。学生进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法。挑出完成较好的同学的推导过程，并用电脑白板展示给大家。提醒同学们可类比直线的方程和方程的直线从两方面说明，同桌之间相互讨论试试看能否说明该方程为圆的方程。回顾圆的定义，温故而知新，明确确定圆的两个关键因素——圆心和半径。体会用坐标法研究圆的目的：使几何问题代数化。通过学生自己证明培养学生的探究能力。调动学生的积极性，使更多的学生能参与到课堂中来。通过与直线类比引导学生自己证明(x–a)2+(y–b)2=r2为圆的方程，得出结论。巩固新知题型一下列方程是圆吗?若是求出圆心和半径。快问快答，学生口答，教师点评。强化训练，并通过练习（4）渗透分类讨论的思想。深入探究、归纳概括探究点与圆的位置关系写出圆心为A（2，-3）,半径长等于5的圆的标准方程，试判断点M1（5，-7），M2（1，2）是否在这个圆上？探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x–a)2+(y–b)2=r2的关系的判断方法：代数方法几何问题代数方法几何问题点在圆外(x0–a)2+(y0–b)2＞r2点在圆上(x0–a)2+(y0–b)2=r2点在圆内(x0–a)2+(y0–b)2＜r2M1AM1AxyOM3M3M2M2把M1(5，–7)，M2(1，2)的坐标代入方程(x–2)2+(y+3)2=25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M1在这个圆上；把M2(1，2)的坐标代入方程(x–2)2+(y+3)2=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上。学生口答引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手，分析总结出判断点与圆的位置关系的方法。巩固提高应用拓展、提高辨识题型二：写出下列圆的标准方程。（直接法）(1)圆心在原点,半径为1(2)圆心在点C(-3,4),半径为(3)圆心在点C(-8,3)，且经过点M(-5,-1)(4)圆的一条直径的端点分别是A(-1,1)和B(1,3)例2已知圆心为C的圆C.经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在L:x–y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.方法一：待定系数法根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.BxBxoyAAAAClAACBCB由初中学过的垂径定理可知圆心在直线AB的垂直平分线和直线L的交点上。确定圆心后，计算即为半径。将全班分成两部分，分别用不同方法来做该题，并试着总结出两种方法的优缺点。思考题：例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程.和例(2)类比，共同说出例（3）就可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：方法一：待定系数法方法二：几何性质法学生快速口答四人小组合作探究，看看哪个小组能总结出更多的方法和思路。由小组派代表来总结做题思路和方法，另一小组补充说明。挑选两位同学将其计算过程投影到屏幕上，然后各自分享在计算过程中遇到的问题和该方法的优缺点。方法一：待定系数法思路好想，但解题过程繁琐不好算。方法二：几何性质法思路综合难想，但解题过程相对简单。总之两种方法各有千秋。强化训练，使学生充分参与课堂。充分发挥学生分组讨论，合作交流的力量，为学生设立探究空间。让学生展示交流成果，体验到科学研究与发现的复杂与艰辛，体会两种方法的优缺点。（七）回顾反思、总结提升让学生自己先总结本节的知识和方法，谈谈本节课有哪些收获，以提高学生自我获知知识的能力，教师根据学生的的回答适时地归纳与提炼,帮助学生提升学习经验。小结:1：圆心为（a,b）,半径为r的圆的标准方程是。2：求圆的标准方程的方法：直接法（2）待定系数法（3）几何性质法3：判断点与圆的位置关系4:体会数学中的类比思想，数形结合思想性质法。由一位同学来分享本节课的收获，老师帮助补充升华。简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆。（八）作业布置必做题：教材P93练习A组第2题．选做题：教材P94练习B组第1题（选做）课后完成，巩固新知。针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，学有余力的学生完成选做题。六、板书设计例1例2解法一：待定系数法解法二：几何性质法例3§4.例1例2解法一：待定系数法解法二：几何性质法例3圆心为（a,b）半径为r的圆的标准方程是点与圆的位置关系的判断三、求圆的标准方程的方法七、教学反思本节课采用让学生