考点7 平面解析几何-五年（2020-2024）高考数学真题专项分类汇编

五年（2020-2024）高考真题专项分类汇编PAGEPAGE7考点7平面解析几何——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编一、选择题1．[2021年新高考Ⅱ卷]若抛物线的焦点到直线的距离为，则()A.1 B.2 C. D.42．[2021年新高考Ⅰ卷]已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为()A.13 B.12 C.9 D.63．[2023年新课标Ⅰ卷]设椭圆，的离心率分别为，.若，则()A. B. C. D.4．[2024年新课标Ⅱ卷]已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为()A. B.C. D.5．[2023年新课标Ⅰ卷]过点与圆相切的两条直线的夹角为，则()A.1 B. C. D.6．[2023年新课标Ⅱ卷]已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则()A. B. C. D.二、多项选择题7．[2021年新高考Ⅰ卷]已知点P在圆上，点，，则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当最小时，D.当最大时，8．[2022年新高考Ⅱ卷]已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点.若，则()A.直线AB的斜率为 B.C. D.9．[2024年新课标Ⅰ卷]设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则()A.B.点在C上C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C上时，10．[2022年新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则()A.C的准线为 B.直线AB与C相切C. D.三、填空题11．[2024年新课标Ⅰ卷]设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为__________.12．[2021年新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且.若，则C的准线方程为_____.13．[2023年新课标Ⅰ卷]已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，.点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为__________.14．[2022年新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且，，则l的方程为__________.15．[2022年新高考Ⅰ卷]已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.16．[2022年新高考Ⅱ卷]设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是___________.四、解答题17．[2024年新课标Ⅰ卷]已知和为椭圆上两点.（1）求C的离心率；（2）若过P的直线l交C于另一点B，且的面积为9，求l的方程.18．[2023年新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.19.[2020年新高考Ⅰ卷]已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且，，D为垂足.证明：存在定点Q，使得为定值.20．[2021年新高考Ⅰ卷]在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.21．[2023年

新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.22．[2022年新高考Ⅱ卷]已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②；③.

——★参考答案★——1．答案：B解析：本题考查点到直线的距离及抛物线的焦点坐标.抛物线的焦点为.由题意，得，解得.2．答案：C解析：由题意可知，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为9，故选C.3．答案：A解析：由椭圆的方程知离心率，由椭圆的方程知.又，即，化简得，，，.故选A.4．答案：A解析：设，则，因为点P在曲线C上，所以，即，所以线段的中点M的轨迹方程为，故选A.5．答案：B解析：设圆为圆C，化简得，圆心为，半径.如图，设，则，，易知，则，所以.故选B.6．答案：C解析：设直线与x轴交于点，直线方程与椭圆方程联立得，，解得.设，到直线AB的距离分别为，，由题意得，，所以.由三角形相似可得，，解得或.因为，所以，故选C.7．答案：ACD解析：设圆的圆心为，由题知直线AB的方程为，即，则圆心M到直线AB的距离，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为，，故A正确.点P到直线AB的距离的最小值为，，故B不正确.过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当最小时，点P与N重合，，当最大时，点P与Q重合，，故C，D正确.8．答案：ACD解析：由，可知.代入，得（负值已舍去）.，直线AB的方程为.联立，得，则，得，则.故，，，.选项A，，故正确.选项B，，故错误.选项C，，故正确.选项D，易得，，，.因为，所以为钝角.因为，所以为钝角，所以，故正确.选ACD.9．答案：ABD解析：因为坐标原点O在曲线C上，所以，又，所以，所以A正确.因为点到点的距离与到定直线的距离之积为，所以点在曲线C上，所以B正确.设（，）是曲线C在第一象限的点，则有，所以，令，则，因为，且，所以函数在附近单调递减，即必定存在一小区间使得单调递减，所以在区间上均有，所以纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误.因为点在C上，所以且，得，所以，所以D正确.综上，选ABD.10．答案：BCD解析：对于A，由点在抛物线C上，得，解得，则C的准线为，故A错误.对于B，由点A，B的坐标得直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，由得，解得.将代入，得，所以切点为，即为A点，所以直线AB与C相切，故B正确.对于C，由于直线PQ的斜率一定存在，设直线PQ的方程为，由得，所以，则，所以（其中为与的夹角），又，所以，故C正确.对于D，由C知，由B选项知，所以.又，所以，故D正确.故选BCD.11．答案：解析：法一：由及双曲线的对称性得，因为，所以，，所以，，则C的离心率.法二：因为，所以，所以，又，所以，得，所以，得，所以C的离心率.12．答案：解析：本题考查抛物线的图象与性质.因为轴，所以点P的坐标为（假设点P在x轴上方，点P在x轴下方同理）.因为，所以，所以，即，所以，解得，所以C的准线方程为.13．答案：解析：法一：建立如图所示的坐标系，依题意设，，.由，得.又，且，，则，所以.又点A在双曲线C上，则，整理得，将，代入，得，即，解得或（舍去），故.法二：由得，设，则，.由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得.设，则，所以，解得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，可得.14．答案：解析：法一：设直线l的方程为，则点，（，）.设，（，）.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以即又因为，所以.将点，的坐标代入椭圆方程中，得两式相减，得，整理得，则，则①.又，所以由勾股定理，得②.联立①②，结合，，解得所以直线l的方程为，即.法二：设E为AB的中点，由题意知，点E既是线段AB的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以.联立直线AB与椭圆方程得消掉y得.其中，，所以AB中点E的横坐标，又，所以.因为，，所以，又，解得，所以直线，即.15．答案：13解析：设为椭圆C的左焦点.如图，连接，，.因为椭圆的离心率为，所以，所以椭圆C的方程为，且为等边三角形，则直线DE的斜率.由直线DE垂直平分线段得，，，则的周长等价于.设，，又直线DE的方程为，与椭圆方程联立得，则，.由弦长公式，得，即.所以的周长为.16．答案：解析：方法一：由题意知点关于直线的对称点为，所以，所以直线的方程为，即.由题意知圆的圆心为，半径为1，又直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得，解得，所以实数a的取值范围是.方法二：因为直线AB关于对称的直线也与直线AB关于y轴对称，圆关于y轴对称的圆的方程为，由题意知该圆与直线AB有公共点.直线AB的方程为，即.又圆的圆心为，半径为1，所以圆心到直线AB的距离，整理得，解得，所以实数a的取值范围是.17．答案：（1）（2）或解析：（1）由题知，解得，，的离心率.（2），设点B到直线PA的距离为h，则的面积为，解得.易知直线，设，则，解得或，或，故或.18．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）因为双曲线C的左焦点为，所以.由离心率，得，所以，所以C的方程为.（2）证明：设（，），，显然直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程为.因为，，所以直线的方程为，直线的方程为，联立消去y得.联立消去x整理得，则，，则，，所以，所以，所以，解得，所以点P在定直线上.19.（1）答案：解析：由题意可得：，解得：，，故椭圆方程为：.（2）答案：证明见解析解析：设点，，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去y并整理得：，可得，，因为，所以，即，根据，代入整理可得：，所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点.令Q为的中点，即，若D与P不重合，则由题设知是的斜边，故，若D与P重合，则，故存在点，使得为定值.20．答案：（1）（2）0解析：（1）由双曲线的定义可知，点M的轨迹C为焦点在x轴上的双曲线的右支，且，，所以，，所以C的方程为.（2）设，，，且，由题知，直线AB与直线PQ的斜率都存在且不相等，设直线AB的方程为.联立消去y并整理得.又直线AB与曲线C必有两个不同的交点，所以，，所以，.所以.设直线PQ的方程为，同理可得.因为，即，所以，所以或（舍去），所以，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.21．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）设点P的坐标为，依题意得，化简得，所以W的方程为.（2）证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，则，矩形ABCD的周长为.设，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，故可设直线AB的方程为，不妨设，与联立，得，则，所以.设，所以，所以，所以，，且，所以.因为，当，即时，函数在上单调递减，函数在上单调递减或是常函数（当时是常函数），函数在上单调递增，所以当时，取得最小值，且最小值为，又，所以.令，，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.当，即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以当时，取得最小值，且最小值为，又，所以.令，，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.综上，矩形ABCD的周长大于.22．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由题意得①.双曲线的渐近线方程为，②.又③，联立①②③解得，，双曲线C的方程为.（2）设直线PQ的方程为，由点P，Q的相对位置可知，且.将直线PQ的方程代入C的方程得，则，，.又，，，则.设点M的坐标为，则两式相减，得.又，，解得.两式相加，得.，，解得，因此，点M的轨迹方程为，其中k为直线PQ的斜率.若选条件①②，则证明③：由题知直线AB的方程为，设，，不妨取点A在第一象限，则解得同理