2024-2025学年广西梧州市龙圩区高三（上）第一次模拟数学试卷（一模）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西梧州市龙圩区高三（上）第一次模拟数学试卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2}，N={3,4}，则∁U(M∪N)=(

)A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4}2.6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有(

)A.96种 B.144种 C.192种 D.240种3.设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=−1，x=−4的距离分别d1，d2，则dA.33+2 B.233+2 4.在△ABC中，若a：b：c=4：5：6，则其最大内角的余弦值为(

)A.18 B.14 C.3105.Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a3A.2n−1 B.2−21−n C.6.已知i为虚数单位，复数z满足|z−(3+2i)|=1，则复数z对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为梯形，AB//DC，∠BAD=90°，AD=CD=2，AB=4，△PAB为正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为PA，PB的中点，则(

)A.CF//平面PAD

B.PD与平面ABCD所成角的正弦值为55

C.DE⊥PB

D.四棱锥P−ABCD8.已知a=43e13，A.a<2<b B.2<a<b C.a<b<2 D.b<a<2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，若函数f(2x−3)的图像关于点(2,1)对称，f(2+x)−f(2−x)=4x，且f(0)=0，则(

)A.f(x)的图像关于点(1,1)对称 B.f(x+4)=f(x)

C.f′(1026)=2 D.i=110.已知空间中两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是(

)A.若m//n，m⊂α，则n//α B.若α//β，m⊂α，则m//β

C.若m⊥β，n⊂β，则m⊥n D.若α⊥β，n⊂β，则n⊥α11.已知函数f(x)=x2−2x,0≤x≤2sinA.f(52)=−22

B.函数图像关于直线x=1对称

C.函数的值域为[−1,0]

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=a，a为常数，则P(−1≤ξ≤0)=______．13.已知△ABC的角A，B，C满足tanAtanBtanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，若A≤B≤C，则tanC−tanB=______．14.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，∀x∈R，有f(x)−f(−x)=x3，在(0,+∞)上有2f′(x)−3x2>0，若f(m−2)−f(m)≥−3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

各项均不为零的数列{an}前n项和为Sn，数列{nan2}前n项和为Tn，且a1=2，Tn=16.(本小题15分)

如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2CD，AB⊥BC，AC⊥CD，以AC为折痕将△ACD折起，使点D到达点P的位置，且PB=5CD．

(1)证明：AB⊥平面PBC；

(2)若M为PA的中点，求直线PB与平面MBC17.(本小题15分)

为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．

(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；

(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；

(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=sin(ωx−π3)的图象关于直线x=π对称，其中ω为实数．

(1)若ω∈(12,1)，求函数f(x)的周期；

(2)在(1)的条件下，若当19.(本小题17分)

设函数f(x)=axn+1+bxn+c(x>0)，其中a+b=0，n为正整数，a，b，c均为常数，曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y−1=0．

(1)求a，b，c的值；

(2)求函数f(x)的最大值；

(3)证明：对任意的x∈(0,+∞)都有参考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.B

6.A

7.A

8.A

9.ACD

10.BC

11.AC

12.1213.1

14.{m|m≤1}

15.解：(

I

)数列{nan2}前n项和为Tn，因为a1=2,Tn=Sn2(n=1,2,3,…)，所以4+2a22=(2+a2)2，

所以a2=4，或a2=0(舍)

(

II

)因为Tn=Sn2(n=1,2,3,…)，所以Tn−1=Sn−12(n=2,3,…)，16.证明：(1)∵BC=2CD=2PC，又PB=5CD，

∴PB2=5CD2=5PC2=BC2+PC2，

∴PC⊥BC，由AC⊥CD，可知AC⊥PC，

∵AC，BC⊂平面ABC，AC∩BC=C，

∴PC⊥平面ABC，

∵AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB，

又AB⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC，

∴AB⊥平面PBC．

解：(2)取AC的中点O，连接OM，OB，由(1)知，PC⊥平面ABC，OM为△PAC的中位线，

∴OM//PC，∴OM⊥平面ABC．

又∵AC，OB⊂平面ABC，

∴OM⊥AC，OM⊥OB，即OM，OB，AC两两垂直，

以O为原点，OB，OC，OM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz，

设CD=2，则AB=BC=4，AC=42，OB=12AC=22，OM=12PC=1，

则P(0,22,2)，B(22,0,0)，C(0,22,0)，M(0,0,1)，

则PB=(22,−22,−2)，BC=(−22,217.解：(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，

则P(A)=C43(34)314+C44(34)4=189256．X234P343数学期望E(X)=2×314+3×47+4×314=3．

(3)由(1)知，小明进入决赛的概率为P(A)=189256；

记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件18.解：(1)∵ω∈(12,1)，函数f(x)=sin(ωx−π3)的图象关于直线x=π对称，其中ω为实数，

∴ωπ−π3=kπ+π2，k∈Z，即ω=k+56，k∈Z，∴ω=56．

故函数f(x)的周期为2πω=12π5．

(2)在(1)的条件下，当x∈[0,3π]时，方程f(x)=2+m有两个不同的实数根，

即sin(519.(1)解：∵a+b=0，∴f(1)=a+b+c=c．

由点(1,c)在直线x+y=1上，可得1+c=1，即c=0.(1分)

∵f′(x)=a(n+1)xn+bnxn−1，∴f′(1)=(a+b)n+a=a.(2分)

又∵切线x+y=1的斜率为−1，∴a=−1，

∵a+b=0，∴b=1，

∴a=−1，b=1，c=0.(3分)

(2)解：由(1)知，f(x)=−xn+1+xn，故f′(x)=(n+1)xn−1(nn+1−x).(4分)

令f′(x)=0，解得x=nn+1，即f′(x)在(0,+∞)上有唯一零点x=nn+1.(5分)

当0<x<nn+1时，f′(x)>0，故f(x)在(0,nn+1)上单调递增；

(6分)

当x>nn+1时，f′(x)<0，故f(x)在(nn