数学一轮复习第三章导数及其应用微专题二导数中的函数构造问题课件

微专题二导数中的函数构造问题函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现.解题技法一、利用f

(x)进行抽象函数构造(一)利用f

(x)与x构造思路点拨出现“＋”法形式，优先构造F(x)＝xf

(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.例1设f

(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f

(x)＋xf′(x)<0，且f

(－4)＝0，则不等式xf

(x)>0的解集为__________________.(－∞，－4)∪(0,4)解析构造F

(x)＝xf

(x)，则F′(x)＝f

(x)＋xf′(x)，当x<0时，f

(x)＋xf′(x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，∴F

(x)在(－∞，0)上单调递减.∵f

(x)为偶函数，x为奇函数，∴F

(x)为奇函数，∴F

(x)在(0，＋∞)上也单调递减.根据f

(－4)＝0可得F

(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf

(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4).例2设f

(x)是定义在R上的偶函数，且f

(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f

(x)>0恒成立，则不等式f

(x)>0的解集为______________________.(－∞，－1)∪(1，＋∞)当x<0时，xf′(x)－f

(x)>0，可以推出当x<0时，F′(x)>0，F

(x)在(－∞，0)上单调递增.∵f

(x)为偶函数，x为奇函数，∴F

(x)为奇函数，∴F

(x)在(0，＋∞)上也单调递增.根据f

(1)＝0可得F

(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f

(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).F

(x)＝xnf

(x)，F′(x)＝nxn－1f

(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf

(x)＋xf′(x)]；结论：(1)出现nf

(x)＋xf′(x)形式，构造函数F

(x)＝xnf

(x)；我们根据得出的结论去解决例3.例3已知偶函数f

(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f

(－1)＝0，当x>0时，2f

(x)>xf′(x)，则使得f

(x)>0成立的x的取值范围是______________.(－1,0)∪(0,1)当x>0时，xf′(x)－2f

(x)<0，可以推出当x>0时，F′(x)<0，F

(x)在(0，＋∞)上单调递减.∵f

(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F

(x)为偶函数，∴F

(x)在(－∞，0)上单调递增.根据f

(－1)＝0可得F

(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f

(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1).(二)利用f

(x)与ex构造例4已知f

(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)<f

(x)对于x∈R恒成立，则A.f

(2)>e2f

(0)，f

(2019)>e2019f

(0) B.f

(2)<e2f

(0)，f

(2019)>e2019f

(0)C.f

(2)>e2f

(0)，f

(2019)<e2019f

(0) D.f

(2)<e2f

(0)，f

(2019)<e2019f

(0)√则F′(x)<0，F

(x)在R上单调递减，根据单调性可知选D.F

(x)＝enxf

(x)，F′(x)＝n·enxf

(x)＋enxf′(x)＝enx[f′(x)＋nf

(x)]；结论：(1)出现f′(x)＋nf

(x)形式，构造函数F

(x)＝enxf

(x)；我们根据得出的结论去解决例5，例6.例5若定义在R上的函数f

(x)满足f′(x)－2f

(x)>0，f

(0)＝1，则不等式f

(x)>e2x的解集为________.{x|x>0}函数f

(x)满足f′(x)－2f

(x)>0，则F′(x)>0，F

(x)在R上单调递增.根据单调性得x>0.例6已知函数f

(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f

(x)满足：(x－1)[f′(x)－f

(x)]>0，f

(2－x)＝f

(x)·e2－2x，则下列判断一定正确的是A.f

(1)<f

(0) B.f

(2)>e2f

(0)C.f

(3)>e3f

(0) D.f

(4)<e4f

(0)√则x≥1时F′(x)≥0，F

(x)在[1，＋∞)上单调递增.当x<1时F′(x)<0，F

(x)在(－∞，1]上单调递减.又由f

(2－x)＝f

(x)e2－2x⇔F

(2－x)＝F

(x)⇒F

(x)关于x＝1对称，根据单调性和图象，可知选C.(三)利用f

(x)与sinx，cosx构造sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.F

(x)＝f

(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f

(x)cosx；F

(x)＝f

(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f

(x)sinx；根据得出的关系式，我们来看一下例7.√二、具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.A.α>βB.α2>β2C.α<βD.α＋β>0√思路点拨构造函数f

(x)＝xsinx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.解析构造f

(x)＝xsinx形式，又∵f

(x)为偶函数，根据单调性和图象可知选