《经济数学基础》课件第5章

第5章定积分及其应用

5.1定积分的概念与性质5.2微积分基本定理5.3定积分的计算方法5.4无限区间上的广义积分5.5定积分的应用

5.1定积分的概念与性质

5.1.1实际背景问题

引例1(校园花坛面积问题)某校园有一个椭圆花坛如图5-1所示，已测得花坛边界最长距离为20米，最短距离为10米，试计算花坛的面积.

如图5-1所示的图形，由于不是规则图形，所以它的面积不能用学过的规则图形的面积公式直接求解.

如图5-2所示的图形面积也不能用以前的面积公式计算.

观察图5-2所示的图形发现：阴影部分的面积是两个曲边四边形面积之差.这两个曲边四边形都是三条边是直线，并且两条垂直于第三条，而第四条边是曲线段，这样的图形我们称为曲边梯形.下面研究曲边梯形的面积.图5-1图5-2

1.求曲边梯形的面积

设函数f(x)在区间[a，b]上非负、连续，由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，如图5-3所示.图5-3由函数的连续性质可知，当区间[a，b]的长度很小时，f(x)的改变量很小，这时曲边梯形的面积可用矩形面积近似替代，由此启发我们把区间[a，b]划分为若干小区间，在每个小区间上用同底的小矩形面积近似代替对应的小曲边梯形面积，如图5-3所示，显然，小矩形越多，小矩形面积总和越接近曲边梯形面积.为此我们采用以下步骤：

(1)分割：在区间[a，b]内插入分点a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把区间[a，b]任意分成n个小区间[xi－1，xi]，长度记为Δxi=xi－xi－1(i=1，2，…，n).

(2)近似：在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi，第i个小曲边梯形的面积近似为

Ai≈f(ξi)fΔxi(i=1，2，…，n)

(3)求和：将n个小矩形的面积相加，得到曲边梯形面积的近似值

(4)取极限：当分割无限加细，各小区间的最大长度λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}趋近于零(λ→0)时，小矩形的面积之和趋近于曲边梯形面积，故有

2.变速直线运动的路程

引例2已知变速直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续函数，且v(t)≥0，计算物体在时间区间[T1,T2]内所经过的路程S.

由于速度v=v(t)连续，思路与引例1类似：

(1)分割：在时间区间[T1，T2]内插入分点T1=t0<t1<…<tn－1<tn=T2，把区间[T1，T2]任意分成n个小区间[ti－1，ti]，记Δti=ti－ti－1(i=1，2，…，n).

(2)近似：物体在时间区间[ti－1,ti]内所经过的路程近似为

si≈v(τi)Δti，τi∈[ti－1，ti](i=1，2，…，n)

(3)求和：物体在时间区间[T1,T2]内所经过的路程近似为

(4)取极限：记λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，则物体所经过的路程为5.1.2定积分的定义

5.1.1节中的两个引例虽然研究的对象不同，但解决问题的思路和数学过程完全相同，抓住它们的共性加以概括，可抽象出如下定义.

定义5.1

设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，在区间[a，b]中任意插入分点a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把区间[a，b]分成一些小区间[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn－1，xn]，记Δxi=xi－xi－1(i=1，2，…，n)，λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，在每个小区间上任取ξi∈[xi－1，xi]，作乘积的和式，如果

存在，则称f(x)在区间[a，b]上可积，其极限值称为f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为

其中:f(x)称为被积函数;f(x)dx称为被积表达式;x称为积分变量;a称为积分下限;b称为积分上限;[a，b]称为积分区间.

如果

不存在，则称f(x)在区间[a，b]上不可积.

由定积分的定义可知，前面讨论的两个引例可分别用定积分表示如下：

(1)曲边梯形的面积：.(2)变速直线运动的路程：对于定积分的概念，说明如下：

(1)定积分的结果是一个数，它只与被积函数f(x)和积分区间[a，b]有关，与区间[a，b]的分法、点ξ

i的取法及积分变量的记号均无关，即

(2)定义中要求a<b，为方便起见，允许b≤a，并规定

(3)可积的条件：若函数f(x)在[a，b]上连续或仅有有限个第一类间断点，则f(x)在[a，b]上可积.(证明略)

初等函数在其定义区间内部都是可积的.5.1.3定积分的几何意义

(1)若f(x)在区间[a，b]上有f(x)≥0，则表示曲边梯形的面积，即

如图5-4中阴影部分的面积可表示为图5-4

(2)若f(x)在区间[a，b]上有f(x)≤0，则表示曲边梯形的面积的相反数，即

(3)若在[a，b]上f(x)有正有负，则等于[a，b]

上位于x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积.例如，图5-5中有

其中，A1、A2、A3分别是图5-5中对应图形的面积.图5-55.1.4定积分的性质

假设函数在所讨论的区间内可积，根据定积分的定义可得如下性质.

性质1

被积函数的常量因子可提到积分号之前，即

性质2

函数的代数和可逐项积分，即

这个性质可推广到有限个函数的代数和的定积分.

性质3(积分的可加性)对任意的a≤c≤b，有

注时，结论仍成立，如图5-6和图5-7所示.图5-6图5-7性质4

如果f(x)在区间[a，b]上恒等于1，则.

性质5(积分的比较性质)在[a，b]上，若有f(x)≤g(x)，则

推论5.1

性质6(估值定理)设f(x)在[a，b]上连续，其最小值、最大值分别记为m和M，则

估值定理的几何意义：由连续曲线y=f(x)和直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积介于以b－a为底、以最小值m及最大值M为高的两个矩形面积之间，如图5-8所示.图5-8性质7(积分中值定理)如果f(x)在[a，b]上连续，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得

积分中值定理的几何意义：由连续曲线y=f(x)和直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积等于以b－a为底、以某一点ξ∈(a，b)处的函数值f(ξ)为高的矩形的面积，如图5-9所示.通常我们把称为f(x)在[a，b]上的平均值.

例1

比较定积分和的大小.

解因为1/2≤x≤1，所以x10≤x8，故由定积分性质5可得例2

估计定积分的取值范围.

解令f(x)=ln(1+x2)，则

所以f(x)在[0，1]上单调增加，于是

0=f(0)≤f(x)≤f(1)=ln2

故由定积分性质6可得

5.2微积分基本定理

5.2.1变上限的定积分

定义5.2

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，x∈[a，b]，则定积分

是x的函数，称为变上限的定积分或变上限(积分)函数.

对于函数Φ(x)，有如下重要性质.

定理5.1

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则变上限积分函数Φ(x)=∫xaf(t)dt在[a，b]上可导，且

Φ′(x)=f(x)，x∈[a，b]证明给自变量x以增量Δx，则函数增量

根据积分中值定理得

ΔΦ=f(ξ)Δx(ξ在x与x+Δx之间)

则当Δx→0时，ξ→x，且f(x)在[a，b]上连续，于是

故证得

Φ′(x)=f(x)

由定理5.1可知，函数Φ(x)是f(x)的一个原函数，从而有以下推论.

推论连续函数必有原函数.例1

求下列函数的导数(1)(2)(3)解

(1)

(2)

可以看作是、

构成的复合函数，根据复合函数求导法则，得一般地，有(3)由于所以

Φ′(x)=－xarctanx

例2

计算

.

解这是一个“0/0”型的未定式，应用洛必达法则，得5.2.2微积分基本定理

定理5.2

设函数f(x)在[a，b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则有

∫baf(x)dx=F(b)－F(a)

该式称为微积分基本公式，也称为牛顿-莱布尼兹公式.

证明由定理5.1得，Φ′(x)=f(x)，而F′(x)=f(x)，所以

∫xaf(t)dt=F(x)+C(a≤x≤b)

在上式中，令x=a，可得C=－F(a)，将其代入上式，有

∫xaf(t)dt=F(x)－F(a)

再令x=b，并把积分变量t换成x，便得到

∫baf(x)dx=F(b)－F(a)

定理5.1和定理5.2揭示了微分与积分以及定积分与不定积分之间的内在联系，因此定理5.1和定理5.2统称为微积分基本定理.为方便表示，通常记F(b)－F(a)为F(x)|ba，于是，微积分基本公式可写成例3

计算∫10x2dx.

解由于1/3x3是x2的一个原函数，所以例4

计算.

解因为(arctanx)′=1/(1+x2)，所以例5

求∫02π|sinx|dx.解因为

5.3定积分的计算方法

5.3.1定积分的换元积分法

定理5.3

设函数f(x)在[a，b]上连续，作变量替换x=φ(t)，如果

(1)函数x=φ(t)在[α，β]上可导连续；

(2)当t在[α，β]上单调变化时，x在[a，b]内相应变化，且φ(α)=a，φ(β)=b，则有该式称为定积分的换元积分公式.

在应用定积分的换元积分公式时须注意：

(1)该公式从右向左应用，相当于不定积分的第一类换元积分法(凑微分法).一般不用设出新变量，这时原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的值.

(2)该公式从左向右应用，相当于不定积分的第二类换元积分法.计算时，需用x=φ(t)把原积分变量x换成新积分变量t，同时原积分区间[a，b]相应换成新积分区间[α，β]，即

换元必须同时换限，上限对应上限，下限对应下限.例5

计算.

解设f(x)=x3cosx，显然这是一个奇函数，利用上例结果可得5.3.2定积分的分部积分法

定理5.4

如果u=u(x)、v=v(x)在[a，b]上具有连续导数，则有

即定积分的分部积分公式.

证明因为u=u(x)、v=v(x)在[a，b]上具有连续导数，所以

d(uv)=udv+vdu

在上式两边取区间[a，b]上的定积分，可得即移项，得

例8

计算

解

5.4无限区间上的广义积分

在前面几节所学习的定积分中，我们研究的对象是闭区间[a，b]上的连续函数，但在许多实际问题中，常常会遇到无限区间上的积分，这样的积分称为无限区间上的广义积分，以前定义的定积分称为常义积分.

引例求曲线y=1/x2(x≥1)与直线x=1及x轴围成的开口图形(见图5-10)的面积.图5-10解如图5-10所示，任取b>1，则在区间[1，b]上对应的曲边梯形面积为∫b1(1/x2)dx，从而所求开口图形的面积为

定义5.3

设函数f(x)在[a，+∞)上连续，任取b>a，我们称极限

为函数f(x)在[a，+∞)上的广义积分，记作若

存在，则称此广义积分收敛，否则称此广义积分发散.

类似地，可定义在(－∞，b]上连续函数f(x)的广义积分：在(－∞，+∞)上连续函数f(x)的广义积分：

为了书写方便，在计算中可省去极限符号，记为其中f(x)=F′(x)，F(±∞)应理解为极限运算.如例2中的计算可简化为

5.5定积分的应用

5.5.1定积分的几何应用

1.求平面图形的面积

(1)由区间[a，b]上的连续曲线y=y1(x)、y=y2(x)与直线x=a、x=b围成的平面图形(如图5-11所示)的面积公式为

(2)由区间[c，d]上的连续曲线x=x1(y)、x=x2(y)以及直线y=c、y=d围成的平面图形(如图5-12所示)的面积公式为图5-11图5-12例1

求椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的面积.

解如图5-13所示，

选取x为积分变量，根据图形的对称性，所求面积为图5-13令x=asint，则dx=acostdt.当x=0时，t=0;当x=a时，t=π/2.于是因此，椭圆的面积为S=πab.当a=b=R时，得圆的面积公式S=πR2.

例2

计算抛物线y2=2x与直线x－y=4所围成的平面图形的面积.

解方法1:如图5-14所示，联立方程组，求出两条曲线的交点(2，－2)和(8，4)，选取y为积分变量，则y∈[－2，4]，所求面积为图5-14方法2:选取x为积分变量，则x∈[0，8].由于下边界是分段曲线，故用直线x=2将图形分成两部分，左侧图形的面积为右侧图形的面积为故所求图形的面积为例3

求曲线y=sinx与y=cosx(x∈[0，π])所围成的平面图形的面积.

解如图5-15所示，曲线y=sinx与y=cosx的交点为,因此所求面积为

2.用定积分求旋转体的体积

由连续曲线y=f(x)≥0和x轴及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图5-16所示，在点x处其垂直于x轴的截面为圆，截面面积S(x)=π[f(x)]2，故旋转体的体积公式为

类似地，由连续曲线x=g(y)≥0和y轴及直线y=c、y=d(c<d)所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而形成的旋转体(见图5-17)的体积公式为图5-16图5-17例4

求抛物线y=x2+1和x轴及直线x=0、x=2所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一