《经济数学基础》课件第4章

第4章不定积分

4.1不定积分的概念及性质4.2不定积分的换元积分法4.3分部积分法4.4常微分方程初步

4.1不定积分的概念及性质

4.1.1不定积分的概念

1.原函数

例1

已知某曲线经过坐标原点，且曲线上每一点处的切线斜率等于该点横坐标的二倍，试求该曲线的方程.

解设所求曲线的方程为y=f(x)，则由函数导数的几何意义有f′(x)=2x.

根据导数公式知(x2+C)′=2x，其中C为任意常数，故

f(x)=x2+C

又因为曲线经过坐标原点，所以有f(0)=0，将其代入上式得C=0，因此所求曲线的方程为

y=x2

此例提出一类问题：已知某一个函数f(x)，能否确定一个函数F(x)，使得F(x)的导数等于f(x)，即F′(x)=f(x).对于这类问题，我们引入如下概念.定义4.1

设函数f(x)在区间(a，b)上有定义，若存在函数F(x)，使得对于任意的x∈(a，b)，都有

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

则称F(x)为f(x)在区间(a，b)上的一个原函数.

例如，因为(sinx)′=cosx，(sinx+2)′=cosx，(sinx+C)′=

cosx，x∈(－∞，+∞)，所以sinx、sinx+2、sinx+C都是cos

x在(－∞，+∞)内的原函数.这说明cosx的原函数并不唯一，且这些原函数之间只相差一个常数.

一般而言，原函数有如下性质.性质1

若F(x)是f(x)在区间I上的原函数，则对于任意常数C，函数F(x)+C是f(x)的原函数.

证明由已知得F′(x)=f(x)，则

[F(x)+C]′=F′(x)+C′=f(x)

因此F(x)+C也是f(x)的原函数.

性质2

若F(x)、G(x)为f(x)在区间I上的两个原函数，则G(x)=F(x)+C.

证明因为F′(x)=f(x)，G′(x)=f(x)，所以

[F(x)－G(x)]′=F′(x)－G′(x)=0

根据微分中值定理推论，可得

G(x)－F(x)=C

故

G(x)=F(x)+C

2.不定积分的概念

定义4.2

若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则称f(x)的全体原函数F(x)+C为f(x)在区间I上的不定积分，记为

∫f(x)dx=F(x)+C

其中:“∫”称为积分号;f(x)称为被积函数;f(x)dx称为被积表达式;x称为积分变量;任意常数C称为积分常量.

由不定积分的定义可知，不定积分运算与导数(或微分)运算互为逆运算，故有如下性质：

(1)(∫f(x)dx

)′=f(x)或d(∫f(x)dx

)=f(x)dx；

(2)∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C.例2

求不定积分∫[dx/(1+x2)].

解因为，所以arctanx是1/(1+x2)的一个原函数，故

例3

求不定积分∫x3dx.

解因为[(1/4)x4]′=x3，所以(1/4)x4是x3的一个原函数，故

3.不定积分的几何意义

若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则函数y=F(x)的图像称为函数f(x)的一条积分曲线.于是，函数f(x)的不定积分在几何上表示由函数f(x)的一条积分曲线F(x)沿纵轴方向平移所得的积分曲线族，在横坐标相同点处其每一条积分曲线的切线是互相平行的，如图4-1所示，这就是不定积分的几何意义.图4-14.1.2基本积分公式

由于不定积分是导数的逆运算，因此根据基本初等函数的导数公式，可得到相对应的积分公式.

例如:因为x′=1，所以∫dx=x+C；因为，所以(a>0，a≠1).

类似地，我们可以得到其他不定积分的基本公式，为了方便大家掌握，我们把积分基本公式与导数公式进行对照，见表4-1.表4-1所示公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要熟记公式右边的结果，还要记清公式左边对应的形式.

例4

求不定积分∫

5xdx.

解由基本积分公式得4.1.3不定积分的性质

根据不定积分的定义和求导法则，可以得到下列性质.

性质1

函数代数和的不定积分等于各自不定积分的代数和，即

性质2

被积函数中的常量因子可以提到不定积分符号的前面，即(k为常数)例5

求不定积分.

解先利用积分性质变形，再积分:有时候，我们需要对被积函数作恒等变形后，才能应用积分性质和积分公式求不定积分.

例6

求不定积分.

解先化简被积函数，再积分:例7

求下列不定积分:

(1)；

(2)

.

解先将被积函数拆分变形，再求积分.例8

计算下列不定积分：

(1)；

(2)

.

解

(1)因为，所以(2)因为sec2x=1+tan2x，所以

4.2不定积分的换元积分法

4.2.1第一类换元积分法(凑微分法)

例1

求不定积分.

解由基本积分公式知，与该公式相近但不一致，所以不能直接套用该公式(因为

).

考虑把所求积分转化成上述公式的形式.因为d(3x+2)=3dx，所以有

验证结果，因为，所以(1/3)ln|3x+2|+C是1/(3x+2)的原函数.故该题的计算结果是正确的.

例1的解法特点是通过引入一个新变量u，先将原不定积分转化为新变量u的积分(与基本积分公式一致的形式)，然后用基本积分公式求解，最后进行变量回代而得到积分结果.这个方法可以推广，一般地，我们有下述定理.定理4.1

如果∫f(x)dx=F(x)+C，则对于x的任一可微函数u=φ(x)，有

这种先“凑”微分，再作变量代换求不定积分的方法，称为第一类换元积分法，也称凑微分法.

例2

求不定积分(a≠0).解例3

求不定积分.

解因为d(x2+5)=2xdx，所以凑微分法熟练后，可以省略换元和回代过程，直接写出积分结果.如例3的解题过程可以简化写成=ln(x2+5)+C

例4

求不定积分∫cosxsinxdx.

例4说明凑微分时把积分表达式中的那一部分凑成dφ(x),其实是灵活多变的，需要根据积分表达式具体分析，选择不同，积分结果表达形式可能不同.凑微分法运用的难点在于把积分表达式中的那一部分凑成dφ(x)，这需要解题经验的积累.下面给出一些常见的凑微分形式：例5

求下列不定积分:例7

求.

解

例8

求解=arcsin(lnx)+C

例9

求4.2.2第二类换元积分法

在第一类换元积分法中，我们是通过变量代换u=φ(x)，将形如∫f[φ(x)]φ′(x)dx的不定积分转化为形如∫f(u)du的不定积分，然后计算.有时候我们会遇到相反的情形，需要通过变量代换x=ψ(t)，将形如∫f(x)dx的不定积分转化为形如∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt的不定积分后再进行计算.

例10

求不定积分.

解这个不定积分的主要困难是分式中出现根式，凑微分法难于求出积分结果，可以考虑先把根式消去，再积分.

令x=t2(t≥0)，则dx=2tdt，于是将

代入上式，回到原积分变量，则有

定理4.2

设x=ψ(t)单调可导，如果f[ψ(t)]ψ′(t)有原函数F(t)，则

其中t=ψ－1(x)是x=ψ(t)的反函数.这种求不定积分的方法称为第二类换元积分法.

例11

求解令，t≥0，即x=t2+1，则dx=2tdt，于是例12

求解设x=asint，t∈[－(π/2)，(π/2)]，则dx=acostdt，于是为了把变量t还原为x，根据sint=(x/a)作如图4-2所示的辅助三角形，于是有图

4-2图

4-3例13

求.

解

令x=atant，则dx=asec2tdt，于为了把sect和tant换成x的函数，作如图4-3所示的辅助三角形，即tant=(x/a)，,将其代入上式，得其中，C=C1－lna，仍为任意常数.例14

求.

解令x=asect，则t∈[0，(π/2)]，dx=asecttantdt，于是根据sect=(x/a)作如图4-4所示的辅助三角形，于是有，将其代入上式，得图

4-4

4.3分部积分法

4.2节学习了换元积分法，大大拓展了求不定积分的范围，但是仍然有一些简单函数的不定积分，如∫xexdx、∫xsinxdx、

∫exsinxdx、∫lnxdx、∫arcsinxdx等不能解决.本节介绍不定积分的分部积分法.

设函数u=u(x)、v=v(x)具有连续的导数，由函数乘积的微分法则可得

d(uv)=udv+vdu

即

udv=d(uv)－vdu

两边取不定积分，可得

∫udv=uv－∫vdu

或∫uv′dx=uv－∫u′vdx

即分部积分公式.分部积分公式实际上是一个积分的转化关系式，如果公式左侧的不定积分不易计算，则利用该公式将左侧较难的积分转化为右侧较简单的积分，可起到化难为易的作用.

例1

求不定积分∫xexdx.

解设u=x，v′=ex，则du=dx，v=ex，由分部积分公式得

∫xexdx=xex－∫exdx=xex－ex+C

如果设u=ex，v′=x，则du=exdx，v=(1/2)x2，于是这时，后面的积分∫x2exdx要比原来的积分∫xexdx更复杂、更难计算.因此，应用分部积分公式求不定积分的关键在于正确地选择u和v.一般遵循以下两点：

(1)由v′易求出v；

(2)右侧积分∫u′vdx要比左侧积分∫uv′dx简单易求.

例2

计算下列不定积分:

(1)∫xcosxdx；

(2)∫x2exdx.

解

(1)设u=x，则v=sinx，于是等式右端出现了原不定积分，于是移项，除以2加上任意常数，得

在这个例子中可以看到连续使用两次分部积分公式后得到所求不定积分满足的一个方程，用解方程的方法得到所求的不定积分.

4.4常微分方程初步

4.4.1微分方程的概念

例1

已知某曲线经过点(1，0)，且曲线上每一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.

解设所求曲线的方程为y=f(x),则由导数的几何意义可得

根据导数公式知(ln|x|+C)′=(1/x)，其中C为任意常数，于是

y=ln|x|+C

又因为曲线经过点(1，0)，即y|x=1=0，将其代入上式，解得C=0，故所求曲线的方程为

y=ln|x|

例2

验证：函数y=C1sinx+C2cosx是微分方程y″+y=0的通解.

解

y′=C1cosx－C2sinx，y″=－C1sinx－C2cosx

将它们代入方程，得

y″+y=－C1sinx－C2cosx+C1sinx+C2cosx=0

所以，函数y=C1sinx+C2cosx是微分方程y″+y=0的解，且含有两个独立的任意常数，故函数y=C1sinx+C2cosx是微分方程y″+y=0的通解.

例3

求微分方程y'''=ex的通解.

解

4.4.2可分离变量的一阶微分方程

定义4.3

形如

(4-1)

的微分方程称为可分离变量的一阶微分方程.

解法：分离变量，可化为(g(y)≠0)(4-2)上式两边积分，得(4-3)则微分方程(dy/dx)=f(x)·g(y)的通解为

G(y)=F(x)+C(C为任意常数)

其中，G(y)、F(x)分别是[1/g(y)]、f(x)的一个原函数.

以上求解微分方程的方法称为变量分离法.式(4-2)称为已分离变量的微分方程.式(4-3)为式(4-1)的通解表达式.

例4

求微分方程(dy/dx)=－(x/y)的通解.

解分离变量，得

ydy=－xdx

两边积分，得故有故原方程的通解为

x2+y2=C(C=2C1)

例5

求微分方程(dy/dx)=2xy的通解.

解分离变量，得

(1/y)dy=2xdx

两边积分，得

故有

ln|y|=x2+C1

令

，则原方程的通解为

例6

求微分方程ey(1+x2)dy=2x(1+ey)dx满足初始条件y|x=0=0的特解.

解变量分离，得两边积分，得于是

ln(1+ey)=ln(1+x2)+lnC

故原方程的通解为

1+ey=C(1+x2)

即

y=ln[C(1+x2)－1]

将初始条件y|x=0=0代入上式，可得C=2，故原方程的特解为

y=ln[2(1+x2)－1]4.4.3一阶线性微分方程

定义4.4

形如

y′+P(x)y=Q(x)

(4-4)

的微分方程称为一阶线性微分方程，其特征是：未知函数及其导数都是一次的.

当Q(x)=0时，式(4-4)化为

(4-5)

方程(4-5)称为一阶线性齐次微分方程；当Q(x)≠0时，方程(4-4)称为一阶线性非齐次微分方程.

1.一阶线性齐次微分方程的通解

将方程(4-5)变量分离，得

两边积分，得

故一阶线性齐次微分方程的通解为

(4-6)

2.一阶线性非齐次微分方程的通解

方程(4-4)的通解可以利用“常数变易法”求得：首先求得方程(4-4)对应的一阶线性齐次微分方程(4-5)的通解，再将一阶线性齐次微分方程(4-5)的通解中的任意常数C换成待定函数C(x)，即设一阶线性非齐次微分方程(4-5)的通解为

(4-7)

则

(4-8)

把式(4-7)和式(4-8)代入方程(4-5)，得

两边积分，得故一阶线性非齐次微分方程的通解为(4-9)式(4-9)可化为例7

求微分方程

的通解.

解首先求解对应的一阶线性齐次微分方程

y′+2xy=0

解得通解为

其次，利用常数变易法，设原方程的解为

，则

将y、y′