2024年新高考艺体生冲刺复习考点26 幂函数与零点定理（解析版）

考点26易函数与零点定理

知识点一幕函数的概念

知识点二察函数的图象与性质

知识点一一知识点三函数的零点

幕

知识点四零点的存在性定理

函

数知识点五判断函数零点个数的方法

与

零

点n考点一募函数及性质

定

理考点二零点区间的判断

考点三零点个数的判断

考点

考点四已知零点个数求参

考点五比较零点的大小

考点六零点求和

一.幕函数的概念

一股地，形如)，=Y(a£R)的函数称为累函数，其中底数x是自变量，a为常数.哥函数的特征

(1)自变量x处在冢底数的位置，基指数a为常数

(2)H的系数为1

(3)只有一项

二.五种常见募函数的图象与性质

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(-co,0)减，(—8,0)和

单调性增增增

(0,+8)增(0,+oo)减

公共点(1,1)

三.新函数的性质与图象特征的关系

1.幕函数的单调性

(1)当。>0时，函数在(0,+8)上单调递增.

(2)当a<0时，函数在(0,+8)上单调递减.

(3)当工£(0,1)时，。越大，函数值越小，当x£(l,+oc)时，a越大，函数值越大.

2.某函数的奇偶性

若募函数)，=f(a£Z)是偶函数，则a必为偶数.当a是分数时，一般将其先化为根式，再判断.

四,函数的零点

1.函数零点的定义：对于函数y=/(x),把使凡r)=0的实数式•叫做函数y=/U)的零点.

2.三个等价关系；方程&)=0有实数根十数)=%)的图象与工轴有交点十数.尸危)有零点.

五.零点的存在性定理

如果函数1y=/(x)在区间［a,加上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么函数)，=/U)在区

间团，份内有零点，即存在6),使得人c)=0,这个c也就是、/U)=0的根.我们把这一结论称为函

数零点存在性定理.

六.判断函数零点个数的3种方法

1.方程法：令人幻=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

2.零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间［小句上是连续不断的曲线，且人/火力)〈0,还必须结

合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.

3.数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画由两个函数的图象，看其交点的个数，其中

交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

七.已知函数的零点(或方程根)的情况求参数问题常用的三种方法

1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.

典N例卜剖,析।-----------------------------------

考点一幕函数及性质

【例1-1】(2024•江苏常州)已知嘉函数/⑴的图象经过点(2,；),则/(x)()

A.为偶函数且在区间(0,+8)上单调递增

B.为偶函数且在区间8+0。)上单调递减

C.为奇函数且在区间(0,+8)上单调递增

D.为奇函数且在区间(0,+<功上单调递减

【答案】B

【解析】设冢函数为/(x)=£,

因为寻函数/“)的图象经过点卜4］，所以2。=：,解得。=-2,

I4；4

故/")=—,定义域为"|文工0},定义域关于原点对称，/(-x)=(-xf2=x-2=/(x),所以“X)为偶函

数，

又因为-2<0,所以/(外在区间(。,物)上单调递减，故选：B.

【例1-2］(2023甘肃)己知哥函数"x)=(〃Ll)"j2在(0,户)上单调递增，则〃?=()

A.0B.2C.0或—2D.0或2

【答案】A

【解析】因为豪函数/(x)=(〃Ll)，'j-2在(o,+8)上单调递增，所以(〃1)2=1且〃?2_4阳+2>0,解得

“2=0.故选：A

【例1-3】(2024•江苏无锡)已知点卜1)在累函数/(x)=K的图象上，设。=/'(唾25),/?=/(ln2),

。=/(由《)，则/?,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】；点(*)在基函数/(1)=犬的图象上，门总，5二一2,••・W，在(0,y)上单调递

减,vlog25>log>4=2,0=Ini<ln2<Ine=1,tan^=V3,/.0<ln2<tan-y<log,5,

/X

/(ln2)>/tang>/(log25),即Z?>c>外故选：D.

【变式】

1.12024上•吉林延边)已知某函数/(X)=("?2-5"?+5)/L2是R上的偶函数,且函数g(6=〃x)_(2a_6)x

在区间［1,3］上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(—,4)B.(一8,4]C.[6,-KO)D.(f4]U[6,"KC)

【答案】C

【解析】因为寻函数/(x)=(〃?2-5〃?+qx"L2是R上的偶函数，

则nr-5/77+5=1，解得〃?=1或〃i=4,

当〃?=1时，/(耳=/，该函数是定义域为kk*0｝的奇函数，不合乎题意；

当,〃=4时，f(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数，合乎题意.

所以=则g(x)=/-(2a-6)%,其对称轴方程为x=a-3,

因为g(x)在区间[L3]上单调递减，则a-323,解得。26.

故选：C.

2.(2024上•江西上饶•高三校考阶段练习)下列大小关系正确的是()

A.①②B.③④C.②③D.①③

【答案】C

【解析】对①，因为指数函数产化丫单调递减，所以但

①错误;

对②，因为指数函数)，=(])单调递减，所以

又因为哥函数)在(0,转)单调递增，所以(|卜(9,

所以自d，②正确;

对③，因为塞函数),=/在(。,+力)单调递增，所以③正确;

对④，因为鼎函数y=fl在(0,也)单调递减,所以(|『＜(/

即3「＜犷，④错/

故选:c.

312024上•浙江金华）（多选）已知〃力（aeR）（）

A.当a=-l时，”力的值域为RB.当a=3时，/（兀）＞〃3）

C.当a=g时，/任）是偶函数D.当a=；时，/（X）是奇函数

【答案】BC

【廨析】当。=一1时，/（x）=l,此时的值域为3＞工0},故A错误，

当。=3时,/（6=炉在R上单调递增,所以〃兀）＞〃3）,B正确,

当a时，VxeR,/（x2）=/（（-x）2）=/（x2）,所以/（丁）是偶函数，C正确，

当a=g时，（xN°），则尸（x）=x,（x＞0）,定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D

错误，

故选：BC

4.（2024上•福建漳州）（多选）已知寻函数），=/（"的图象经过点（2,8）,则下列说法正确的是（）

A.函数/（"是偶函数B.函数/（“是增函数

C.〃司＞一8的解集为（一2,+8）D./［痂7）=2

X/

【答案】BCD

【解析】设基函数/（力二/，函数过点（2.8）,即〃2）=2"=8,解得"=3,即/（x）=d,

对选项A：函数定义域为R,/（-x）=-x3=-/W＞函数为奇函数，错误；

对选项B：函数/（x）是增函数，正确；

对选项C：/（x）=/＞-8,解得人＞2正确；对选项D：/（不矛）=（外6rl=几球=2,正确;

故选：BCD.

考点二零点区间的判断

【例2・1】（2024北京）函数/。）=山」的零点所在的大致区间是（）

A.（口）B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

【答案】B

【解析】/（x）=lnx-L的定义域为（0,+巧，乂），=lnx与），=-,在（0,+8）上单调递增，

XX

所以/（x）=lnx-在（0,+8）上单调递增，又/⑴=-1<0,/（2）=ln2-l>0,所以〃1）・/（2）<0,

根据函数零点的判定定理可得函数/（x）=lnx-‘的零点所在的大致区间为（1，2）,故选：B.

X

【例2-2].（2024上•广东深圳•高三统考期末）已知函数f（M=^+4.T+a在（-1,1）内有零点，则。的取

值范围是（）

A.（-5,5）B.（^o,-5）U（5,+co）C.[-5,5]D.（一8,-5卜[5,+8）

【答案】A

【解析】y=d是增函数，）=41+。也是增函数，所以“X）是R上的增函数.

因为/（力在（T/）内有零点，所以'解得一5<々<5.故选：A

【变式】

1（2024上•浙江宁波•高三镇海中学校考期末）函数/（x）=2r+V-9的零点所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】由已知，可知析©为增函数,且/⑴=2+1-9=一6<0,/⑵=4+8-9=3>0,

根据零点存在定理，函数/⑶在（1,2）有零点，且零点是唯一的.故选：B

2.（2024上•山东济宁•高三济宁一中校考期末）函数八力=。-2+工的零点所在的区间是（）

A.（3,4）B.（2,3）C.。，2）D.（0,1）

【答案】D

【解析】因为/（x）=e、-2+x,且函数连续不间断，

所以〃0）=。°-2+0<0,/（l）=e'-2+l>0,/（2）=e2-2+2>0,

/（3）=e3-2+3>0,/（4）=e4-2+4>0

所以/（（））/⑴<（），/（1）/（2）>0,/（2）/（3）>0,/（3）/（4）>0,

由零点存在性定理得函数/（x）=e、-2+x的零点所在的区间为（0,1）,

故选：D.

3.（2023•宁夏银川•银川一中校考三模）函数”耳=1。当工+工2+，〃在区间（2,4）上存在零点，则实数〃，的

取值范围是（）

A.（-oo,-18）B.（5,+oo）

C.（5,18）D.（-18,-5）

【答案】D

【解析】若函数/（"=1%2%+/+加在区间（2,4）上存在零点，由函数/⑴在（2,4）的图象连续不断，且为

增函数,则根据零点存在定理可知,只需满足/⑵）（4）＜0,即（〃?+5）（〃?+18）＜0,解得-

所以实数，〃的取值范围是（-电-5）.故选：D.

考点三零点个数的判断

M3-1]（2024湖南）方程log"+2024）=2的实数解的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】依题意，原方程等价于.F=X+2024（X＞0,XH1）即/-％-2024=0,显然只有一个E实根.

故选：B.

【例3-2】（2024下•重庆•高三重庆八中校考开学考试）函数。孑）=己'+/-2的零点有（）

A.4个B.2个C.1个D.0个

【答案】B

【释析】令/3=eW_2=0,即e*=2—F

可知函数/（X）的零点个数即为y=e*与），=2-/的交点个数，

所以函数有两个零点，即函数2的零点有2个.故选：C.

【变式】

1.(2024上•河北沧州•高三泊头市第一中学校联考期末)直线y=2x与曲线y=的公共点的个数为

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【蟀析】直线=2x与曲线y=er-x2的公共点的个数，

转化为函数y=炉-/-2x的零点的个数，

所以转化为函数/*)=F与g(x)=V+24图象交点的个数.

/(0)=e°=l>^(())=0,/⑴=S=e<g⑴=1+2=3,

所以当使得/(x)=g(“，

又/(3)=e'>g(3)=9+6=15,所以叫近1,3),使得/(占)=8(占).

所以在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象，如图所示:

由图可知函数/")=/与g(x)=/+2x图象有3个交点,

故直线y=2x与曲线)，=/-/的公共点的个数为3.

故选：C.

2.(2023上•湖北荆门•高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习)〃x)=2e,-5f的零点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由29—5x2=0得!=],构造函数g(x)=5,求导得/(可=隼9，eA>0

g(x)在(y,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增,(2,+功上单调递减，且g⑼=0,

4??

g(2)=W>W及Xf+00时g(x)f。，g(x)的图像如图，得到g(x)=M有3个解.

e-55

故选：D.

3.(2024•广东•惠州一中校联考模拟预测)函数〃x)=sin3x-sin2x在开区间(-兀,2兀)的零点个数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【蟀析】解：法一：■/f(x)=sin2jvcosx4-cos2Asinx-sin2x,

=2sinxcos2.r+cos2.vsin.v—2sinxcosx，

=sinA(2cos2x+2cos?x-1-2cosr),

=siav(4cos2x-2cosx-l),

令/(x)=。,则sinx=。或4cos2x-2cosx-1=0,

即：sinx=0或cosx=""或cosx=,

44

如四所示；

由绍像可知,

函数/（x）共8个零点.

51)5L=2sin〃]_。s岂5,

法二：因为/（x）=sin—X+-X-sin

22]22)2222

由f(x)=0,^sin-.r=0,或cos?x=0,

22

所以=或2%=2+女乃，即工=2匕I,或工=2+

—,AeZ,

22255

311379

因为一冗＜工＜2兀，所以x=（）,或工=一二4,一二肛二肛二匹肛二不,二乃共8个零点.故选：D

555553

考点四已知零点个数求参

【例4・1】（2024下•安徽•高三合肥一中校联考阶段练习）若函数〃x）=sinsx-g（＜。＞0）在区间（0,%）恰

I/

存三个零点，两个极值点，则。的取值范围是（)

717n7

A.3，-6"B.7,3

1117)720^

C.D.

【答案】A

7t7t,（。＞0）,依题意可得2兀-VW孚，解得

【解析】当x£（0,兀），则s.-ge—,(0K——

J333236

即。的取值范围是K（7，三17做选：A

o

【例4-2]（2024北京）已知函数=1+g卜恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（

)

B.U(4e,oo)

D.U(2e,a>)

【解析】由题意知方程恰有2个不同的实数根.

1\

XI

设g（x）=Wx，则直线yX+-与函数g（x）的图象恰有2个不同的交点,

eI2）

\-x

因为g'(x)=,当x<l时，g'(x)>0,当x>l时.，g'(x)vO,

式X）在区间（-00,1）上单调递增，在区间（1,+00）上单调递减,

—g⑴4―)，

当Xf-co时，g(x)f-co,当x->+8时，g(x)fO,当X>O时，g(x)>0,

团可以作出g（X）的大致图象，如图所示,

易知直线y=+J过定点（-；，。｝当直线＞=a（x+£］与函数g（x）的图象相切时，设切点为,贵｝

.

则。==F=^、，解得玉=；或/=-1,

e/+52

•••当直线V=〃1+；）与函数g（x）的图象相切时，。=在或a=2e,

数形结合可知，实数〃的取值范围为（。,壶）52e,+e）.故选：D.

【变式】

1.（2024下•广东深圳•高三红岭中学校考阶段练习）已知函数/（4）=疝（5+?）（0＞0）在［0,2］上有且仅

有5个零点，则/*）的极值点个数为（）

A.4B.4或5C.5D.5或6

【答案】D

【解析】当HO,2］时，:++由函数八M在［。、2］上自且仅有5个零点，

得5兀工2&+：＜6兀，当5兀石23+：工］兀时，函数/⑶有5个极值点，

442

当，兀＜2/+?＜6兀时，函数/*）有6个极值点，

所以“X）的极值点个数为5或6.

故选：D

2.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/（刈=而（3+,（。＞0）,若/（*）在0,y上有两个零点，则。

的双值范围是（）

［5A「511）「5八「5八

1_2）122ylL2）L2）

【答案】C

【解析】因为0«工《斗，所以上必+肾与口+三，

33333

因为函数/(x)=sin[@x+')®>U)在区间0,-y上有2个零点,

所以2兀£0&十2<3兀，解得工4/<4,

332

即口的取值范围是|，4)

故选：C.

3.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=cos%x-瓜in3sscox+g(3>0)在区间[0,可有且仅有2

个零点，则。的取值范围是()

.47)「814s)71311729、

A.—B.—12,12JD.

[33)133J12,12J

【答案】A

由题意/(x)=cos26yx-TSsiiw.tcosrw.r+g

【解析】

1+cos2cox6.c1(c兀1“八、

=------------—sin2MX+—=COSI269.r+—1+1(3>0),

当x=()时，t=2cox+—=—<n

33t

若函数J'(x)=cos%x-\/5sinscos5+J(口>0)在区间［0,可有且仅有2个零点,

则这两个零点只能是兀,3兀，

t=2(071+-237r

347

则当X=7时,解得可K

C兀LJJ

t—2CUK-I—<5兀

3

故选：A.

—v一XX<0

4.(2024上•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)已知函数/%)=1;一，函数g(x)=/("-〃7

lnx,x>0

有三个不同的零点.，X2,x3,则内•8,当的取值范围是()

A・[叫B-H)。,。包口.㈣

【答案】C

【辞析】作出函数J'(x)的图象如图，

不妨设内<±<芯，则,“)=，〃有三个不同的根，则OKmvJ,

当X40时，一Y一工一〃?=0，得l2+1+〃?=0，则内・工2=用，

m

当x>()时,lnx3=m,x$=e",则内•x2•x3=me,

设/?(〃?)=me"(04〃?<：),则h\m)=(/??+1)e,H>0,

所以〃(M在()4)上单调递增，

L

所以，?(x)e即AT.F的取值范围是。，:亚

考点五比较零点的大小

【例5】(2024•全国•高三专题练习)已知储，*2，*3满足(g)=1。&N，(g)=1og1X2，(；)=log।»

则巧，5的大小关系为()

A.<x2<x3B.x2<x3<X)C..v,<x3<x,D.x2<<x3

【答案】C

【解析】在同一平面直角坐标系内作出

/I\v/iV(1Y+]

y=log,)，=-、y=-sy=-的图像

2I，/\^z\^/

日。g「过点g/)、(l,0)；),=出过点(0,l)、(l,；)；

(IA-Viri\ii

y=—J过点(01)、(l,§)：y=过点(0,5)、(lq),

则产(「、y=(gj、与k"g;图像交点横坐标依次增大，

),=61与)log：图像

交点横坐标分别为林不、/，则大<七<七.

【变式】

1.（2024・全国•高三专题练习）已知/（"=6）7-2,g（x）=logj—x—2,Mx）=V—x-2的零点分

别是a,b>c,则a,b,c的大小顺序是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

【答案】B

【解析】函数〃X）=6JT-2,g（x）=bg;T-2,=—的零点，

即为函数），=x+2分别与函数尸（；］、尸煦\）7的图象交点的横坐标，

故选：B

2（2022・全国・高三专题练习）已知函数/（力=2'+2乂8（工）=1。8/+2工,/?（工）=31+2工的零点分别为〃,瓦仁,

则。也c的（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

【答案】A

【解析】由题可得。，4C即为y=-2x的图象分别与y=21y=log2x,)，=3，的交点的横坐标,

如用，画出函数图象，由图可得，b>c>a.

故选：A.

t

3(2022•安徽合肥•合肥市第六中学校考模拟预测)已知函数/(%)=2+x,^(x)=log2A+.r,/?(x)=2sinx+x

的零点分别为04c•则4,b,c的大小顺序为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】由〃(x)=2sinx+x=0得x=0,

由/*)=。得2X=-x，由以幻=。得唾2x=-'.

在司一平面直角坐标系中画出y=2，、y=log2x,y=的图象,

由空象知〃<0,Z?>0,:.a<c<b.

4.(2024•陕西西安)已知函数/'(x)=2'+x,^(x)=log2x+.r,/?(x)=V+x的零点分别为a、b、c,

则，7、〃、。的大小顺序为()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<a<cD.h<c<a

【答案】A

【解析】因为函数V=x均为R上的增函数，故函数/（x）=2，+x为R上的增函数，

因为/（一1）=：-1<0，/（0）=1>0,所以，一1<〃<0,

因为函数'=1。吕2%、y="在（。，e）上均为增函数，故函数&（》）二1。己2入'十4在（°，+8）1二为增函数，

因为g（g）=-l+g<0，g⑴=1>0.所以，\<b<\,

由A（c）=c（c2+1）=0可得c=0,因此，a<c<b.

故选：A.

考点六零点求和

【例6-1］（2024上•山东枣庄•高三统考期末）已知/（.。=28§21+氐m2乂］£（0,2兀），则/（3）的零点之

和为（）

41014

A.—itB.—7tC.—itD.10兀

333

【答案】C

［解析】】由/（3）=2cos2X+\/3sin2x=0,

则2'“c；-I+石sin2x=0,所以cos2x+V3sin2x=一1，

即sin2xH—］=—,

I612

所以2工+2=0+2也从£2或2；1+2=-2+2日,攵£2,

6666

7TIF

解得：x=—+ht,keZn£x=—+E,女eZ,

26

因为x«0,2兀），所以％耳或粤

22o6

所以/（"的零点之和为弓+当+等+等=?,

22663

故选：C.

【例6-2】（2024上•广东揭阳•高三统考期末）困数/（x）=ln3十%-1的所有零点之和为（）

X

A.-2B.-1

【答案】D

【解析】由〃力=0得，In匚=17,令g（x）=ln士匚，y=l-x,

XX

因为g(x)+g(2-x)=ln^--+ln——=In1=0,

x2-x

/X，X-2々、/十一/，八

所以函数g（x）=ln匚的图象关于点（1,0）对称，

X

又因为），=1-%的图象关于点（1,0）对称，

如绍所示，两个函数图象有两个公共点，横坐标依次为

这构•个交点关于点（1,0）对称，所以X+g=2.

故选：D.

y=ln(l-y)

【变式】

1.（2023•江苏苏州•校联考模拟预测）已知函数/"）=sin（27uj+工，则直线y=x-2与〃x）的图象的

X—2

所有交点的横坐标之和为（）

【答案】c

【解析】由f（X）=X-2可得sin（2xv）=x-2--二,

X—2

令g(x)=sin(2叫，//(x)=x-2-

则函数g（x）=sin（2派）的定义域为R,其最小正周期为7=芋=1,

g(4—x)=sin[2n(4-x)]=sin(8K-2nx)=—sin(2TLV)=-^(X),

所以,函数g（x）的图象关于点（2,0）对称,

函数〃（x）=x-2---的定义域为{琲-2},

对任意的xe{x|xw2},/z(4-x)=(4-x)-2-^—iy-y=2-x-^—=-/7(A),

所以，函数万(”的图象也关于点(2,0)对称，

因为函数y=x-2、)，=——二在(2,+8)上均为增函数，

则函数人⑺在(2,+8)上也为增函数,如F图所示:

由组可知，函数g(x)、/(X)的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点(2,0)对称，

因比，直线尸1-2与的图象的所有交点的横坐标之和为4x3=12.

故选：C.

2.(2023•四川成都•模拟预测)已知定义在R上的奇函数)=/(%),对于VxeR都有/(l+x)=/(l-x),

当-lWx<0时，/(x)=log2(-X),则函数g(x)=/(x)-2在(0,8)内所有的零点之和为()

A.16B.12C.10D.8

【答案】B

【解析】由题意定义在R卜的奇函数N=/(x),对干心wR,都有f(l+x)=f(l-x).

图象关于直线x=l对称；

且八1+x)="1—x)=-f(x-l),即/(2+x)=-f(x),

故/(4+x)=-/(2+%)=/*),

即函数M是以4为周期的周期函数，

当0vx<l,则一IK—xvO,则/(一x)=log2x=-/(x),

故/(X)=Tog?X，。<文$I,

当l<x<2,则—1WX—2VO,因为/(2+x)=­/3),.•./(x)=-jF(x—2),

则f(x)=-〃x-2)=-log2(2T),lWx<2；

当2<x<3时，则0<1一2<1,.•./(“)=-/(x-2)=log2(x-2),

由图象可知/(A)的图象与y=2在(0,8)内仅有4个交点，

不昉设这4个交点的横坐标从左向右依次为冷和孙七，

由J：x=l为图象对•称轴，且函数周期为4,故x=5也为函数图象的对称轴，

故由图象可知X，七关Fx=l对称,七，七关丁％=5对称,

故％+x,=2,&+x4=10,则%+/+七+凡=12,

即函数2(x)=/(x)-2在(0,8)内所有的零点之和为12,

故选：B

3.(2023•青海西宁•统考二模)函数f(x)=4si吟"-卜-1|的所有零点之和为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】令〃幻=0,得4sin；X=|x-l],解得工=-3或x=5,即为零点,

令g(x)=4s呜%,/7(x)=|x-l|,

T_2n_

g(x)的周期三,对称轴x=l+4k,kwZ,且〃(x)的对称轴x=l,

2

做出g(/)=4sin5x和力(耳=卜-1|的图象如图所示：

显然，/“)在(0,1)和(1,2)上各存在一个零点，

•・飞(5)=4金|=4=皿5)=15-1|,介(4)=3>g(4)=0,在(4,5)上两函数必存在一个交点,

二.f(x)在(4,5］上有两个零点，同理在［-3,-2)上存在两个零点，

所以/(X)在卜3,5］上存在6个零点，

因为g(%)和%(%)关于x=1对称,则/GO零点关于x=1对称,

所以/(x)的所有零点之和为6x1=6.

故选：C

巩固基础

232

1(2024・全国•高三专题练习)设□=(%〃=符，T9‘则"'c的大小关系是()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】由小)=用在定义域上单调递减,所以得：0=信卜=(#

由g(x)=j在定义域上单调递增，所以得:

a>c>b.^tA项正确.

故选：A.

212023上•内蒙古通辽•高三校考阶段练习)函数/(x)=2'+x-17的零点所在的区间为()

A.（5,6）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】C

【解析】因为“X）在R上单调递增，且〃3）=23+3-17=-6<0,/（4）=24+4-17=3>0,

所以/（x）的零点所在的区间为（3,4）.故选：C

3.（2023上•宁夏银川•高三校联考阶段练习）函数/3）=lnx-的零点所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）

C(2，e)D.(e,3)

【答案】B

【解析】因为/（x）=In.r定义域为（。,+“）,

且尸垢乂片-出"在（0,转）上单调递增，可知f（x）=ln.L、J在（。,+8）上单调递增,

又因为/（1）=出1_；=_；,/（2）=ln2-l>ln7?-l=l-l>0.

即/⑴•〃2）<0,所以f（x）在。,2）上存在唯一零点.

故选：B

4.（2024上•内蒙古呼和浩特•高三统考开学考试）若函数/（力=2，-±-〃存在1个零点位于（1,2）内，则

.X

a的取值范围是（）

A.（0,3）B.（-3,3）C.[-3,3]D.（-3,0）

【答案】A

【解析】若函数=一。存在1个零点位于（1,2）内，

-V

〃力=2、一一一〃单调递增，又因为零点存在定理，

X

22

/.=---a<^f（2）=22---a>0,

:.0<a<3.

故选：A.

5.（2023・全国•高三专题练习）下列各图象表示的函数中没有零点的是（）.

【解析】由函数零点的概念知，函数的零点就是函数图象与X轴交点的横坐标，

结合函数零点的定义可知选项D没有零点.

故选：D

6.（2024广东）函数/（X）=（/+1）|10g2X—l的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【蟀析】易知函数的定义域为（0,+8），函数〃力=（工+1）|嗓24-1的零点个数，可转化为方程:

|1亚2'|=—Z的根的个数，

X+1

在司一坐标系中，画出函数尸|10g2M和尸匕的图象，如图：

两个函数图象有两个交点.

所以原函数有两个零点.

故选：B

7.（2023•江苏扬州・扬州中学校考模拟预测）已知函数/（灯=以2+辰+C,若b是。与c的笔比中项，则

/（x）的零点个数为（）

A.0B.0或1C.2D.0或1或2

【答案】A

【解.析】由人是〃与c的等比中项，得ac=b\

方程ar?++c=0的判别式A=—4ac=-3b2<0，因此方程ax2+bx+c=0无实根,

所以/（X）的零点个数为o.

故选：A

8.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=2'+x,^（x）=log2x+x,人⑺=/+x的零点分别为a,

b,c,则（）

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<hD.b<a<c

【答案】R

【解析】在同一坐标系中作出1y=21k1082",），=/,，=-犬的图象，

由图象知:a<c<b,

故选：B

9.（2024上•浙江温州•高三统考期末）已知函数/%）=cosx,若关于x的方程/（工）=。在上有两

个不同的根，则实数〃的取值范围是（）

【答案】c

【解析】而出函数〃X）=COSX,XG的图象,

故选：C

10.（2024.全国•模拟预测）将函数/（x）=siru"的图象先向右平移;个单位长度，再把所得函数图象的横

坐标变为原来的纵坐标不变，得到图数g（x）的图象.若出数g（x）在仔，3上没有零点，则切的

取值范围是（）

A.（0,4]B.C.（0,；u1,|D.[o,lU|，4

【答案】C

【解析】由题意，函数/（x）=si虞的图象先向右平移:个单位长度，得到y=sin（x-：J的图象，

再把所得函数图象的横坐标变为原来的（®>。），纵坐标不变，得到g（x）=sin（4”-：）的图象.

.’兀71

——

44

上没有零点，所以

717C,,

-co—<kit+Tt

124

解得4^+1<69<2A:+—,kwZ.

因为3》0,所以归=一1时，可得0（公<,；〃=0,可得

22

故或1<co<—.

22

故选:C.

2

11.（2024・全国•模拟预测）设■"）是定义在R上的奇函数,且当x>0时，f{x}=\nx-x+2xf则八幻的

零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】依题意，作出函数y=lnx与y=F-2x的图象，如图，

可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时〃X）有两个零点：

又函数“X）是定义域为R的奇函数，故当XV。时，/（X）也有两个零点，

函数/⑶是定义域为R的奇函数，所以/（0）=。，即x=0也是函数/*）的1个零点,

综上所述，共有5个零点.

故选：D.

12.（2024上•四川德阳）（多选）若四个箱函数），=£,），=Vy=F,），=x”在同一坐标系中的部分图象

如图，则久b、c、d的大小关系正确的是（）

【答案】BC

【解析】由弃函数的图象与性质，在第一象限内，在x=l的右侧部分的图象，图象由下至上，塞指数依次

增大，可得4>l>〃>0>c>d.故选：BC

13.（2024・全国•高