安徽省A10联盟2024−2025学年高三上学期11月段考数学试题含答案

安徽省A10联盟2024−2025学年高三上学期11月段考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．若，则复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知空间向量若，则（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A． B．1 C． D．或5．“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（

）A． B．C． D．7．已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中，若此圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（

）A．若，，，则B．若，则C．若，则D．若，，，则10．已知平面向量均为单位向量，且，则（

）A．B．C．D．在上的投影向量为11．已知函数有2个零点，则（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知正数满足，则的最小值为.13．已知数列满足，，记数列的前项和为，则.14．已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知，函数是奇函数，.(1)求实数的值；(2)若，使得，求实数的取值范围.16．在△中，内角的对边分别是，且.(1)求证：；(2)若，且是边的中点，求的最小值.17．已知四棱锥中，°，平面平面，.点分别在线段上，且四点共面，.(1)求证：；(2)求平面与平面所成角的余弦值.18．已知数列的前项和分别为，其中为等比数列，且.(1)求数列的前项和；(2)在（1）的条件下，比较与0.7的大小关系，并说明理由.19．定义：记函数的导函数为f′x，若f′x在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若f′x在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数.(1)求证：为区间上的凹函数；(2)若为区间的凸函数，求实数的取值范围；(3)求证：当时，.

参考答案1．【答案】D【详解】因为，，因此，，故选：D.2．【答案】A【详解】由题意得，，故复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故选：.3．【答案】D【详解】由可存在实数，使得，即，故，解得，故，故选：D4．【答案】C【详解】由题意得，，则.故选:.5．【答案】A【详解】由“数列为递增数列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选：.6．【答案】B【详解】设的内角所对的边分别为，因为，所以由正弦定所得，又，所以，由余弦定理得，所以，所以顶点为费马点，故点到各顶点的距离之和为，故选：.7．【答案】A【详解】作出图像，令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且，则，解得，故选：.8．【答案】B【详解】设圆台的上、下底面圆半径分别为，由题意得，，，解得.如图，设圆台的上、下底面圆心分别为，则圆台的高为.设球的半径为，球心到点所在的底面的距离为，则到点所在的底面的距离为，由题意得，，解得，所以球的表面积为.故选:.9．【答案】AD【详解】对于A，由线面平行的判定定理可知A正确；对于B，若，则可能平行，故B错误；对于C，若，则可能，故C错误；对于D，若，，则，又因为，则，故D正确.故选：AD.10．【答案】BCD【详解】因为平面向量均为单位向量，所以，又，即，即，所以，即，故A错误；因为，所以，故B正确；又，则，且，所以，故C正确；在上的投影向量为，故D正确；故选：BCD11．【答案】AD【详解】，令，，则，即为偶函数，当时，，且，即函数在上单调递增，所以关于x=1对称，且在上单调递减，在上单调递增，则，所以，解得，故正确，故错误；由知，，故C错误；由知，，令，，即φx在上单调递减，所以，所以，故正确.故选：.12．【答案】20【详解】由题意得，，当且仅当，即，时等号成立.故答案为：20.13．【答案】【详解】由题意得，，，，，所以为周期数列，所以.故答案为：14．【答案】【详解】由题意得，，因为，所以，则，所以，所以，解得，故.令，解得，解得，因为在区间上没有零点，所以（），解得，因为，所以，解得，由，得，所以，因为，所以或，当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.15．【答案】(1)3(2)【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，即，解得，因为，所以.当时，，此时的定义域为，关于原点对称，满足题意.综上，.（2）由题意得，，由（1）知，，易得在上单调递增，故.，当时，，所以，所以，解得，即实数的取值范围为.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）设△内角，、、的对边分别是、、.∵，∴，整理得，由正弦定理得.（2）∵，且是边的中点，∴，由余弦定理得，，则.∵，∴，由，得（当且仅当时等号成立.），∴，∴，故的最小值为.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，平面，所以.在△中，，由，可得，所以，因为.所以为的中点.因为°，故//.因为平面，所以//平面.因为平面平面，所以//.所以//，所以为的中点.又，所以.（2）分别以直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的向量为，则，即令，则，于是.因为平面，且∥，所以平面，所以.由（1）可知，而，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量.则.故平面与平面所成角的余弦值为.18．【答案】(1)(2)，理由见解析【详解】（1）当时，，则；当时，；当时，，相减得，，整理得，即，累加可得，，即，故.综上所述，.由可知等比数列的公比不为1，则，解得，故，解得，则.由题意得，，故，，故，故.（2）因为，所以，当时，因为，所以，当时，.综上所述，.19．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【详解】（1）由题意得，，记f′x的导函数为f则，所以f′x在区间0,+所以为区间0,+∞上的凹函数.（2）由题意得，，则，令，则，故.令，则，故在上单调递增，故，则，故，故实数的取值范围为.（3）由题意得，.当时，，符合题意，当时，因为，则，则即证，即证，设，则，所以在0,1上单调递减，在1,