四川省凉山州2024−2025学年高二上学期综合测评数学试卷含答案

四川省凉山州2024−2025学年高二上学期综合测评数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C．0 D．13．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．85．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（

）A． B． C．或 D．6．已知直线过点，且与向量平行，则直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．7．已知点在直线上的运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．8．如图，在平面四边形中，，.若点为边上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．2二、多选题（本大题共4小题）9．下列结论错误的是（）A．过点，的直线的倾斜角为B．若直线与直线垂直，则C．直线与直线之间的距离是D．过两点的直线方程为10．已知事件满足，，则下列结论正确的是（）A．B．如果，那么C．如果与互斥，那么D．如果与相互独立，那么11．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（

）A． B．直线平面C．直线与平面所成角的正切值为 D．点到平面的距离是12．已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．最大值为3三、填空题（本大题共4小题）13．已知，，且，则.14．已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为.15．直线的倾斜角的取值范围是.16．三棱锥，平面，，，，（单位：cm）则三棱锥外接球的体积等于．四、解答题（本大题共6小题）17．（1）求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程.（2）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程．18．青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．

(1)估计测试成绩的上四分位数和平均分；(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．19．已知函数是偶函数.当时，.(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；(2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围.20．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点

(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的大小．21．已知向量，，，设函数(1)求函数的单调递增区间；(2)设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值．22．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．(1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离；(2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；(3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果存在，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．

参考答案1．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选C．2．【答案】A【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．【详解】因为，所以，即．故选A．【思路导引】利用分母有理化对进行化简，从而得到共轭复数，代入到计算出结果.3．【答案】D【详解】解：∵，，，∴.故选：D．4．【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.5．【答案】D【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案.【详解】根据题意，，，，则，，结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.故选：D.

6．【答案】D【详解】设直线与轴的交点为，因为与向量平行，所以，即，则，所以.故选：D7．【答案】A【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A8．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示结合二次函数知识，即可求得答案.【详解】由于，如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，连接,由于，则≌,而，故，则，则，设，则，，故，当时，有最小值，故选：A．9．【答案】ACD【详解】对A，设直线倾斜角为，则，所以倾斜角不是，故错误；对B，由两条直线垂直，则，故正确；对C，直线，即，所以与直线之间的距离是，故错误；对D，过两点的直线方程为，故错误.故选：ACD10．【答案】BCD【详解】对于选项A，，故选项A错误；对于选项B，如果，那么，选项B正确；对于选项C，如果与互斥，那么，所以选项C正确；对于选项D，如果与相互独立，那么，所以选项D正确.故选：BCD11．【答案】ABD【详解】解：对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；对于B，取中点，连接，，，可知且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，故B正确；对于C，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，故C错误；对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；故选：ABD12．【答案】BCD【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，，若，则，去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；

对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.

故选：BCD13．【答案】3【详解】因为，，且，所以，则.故答案为：3.14．【答案】【详解】设过A、B、C的圆的方程为：（），则，解得，所以过A、B、C的圆的方程为：，又因为点D在此圆上，所以，解得，所以点D到坐标原点O的距离为.故答案为：.15．【答案】【分析】先求得直线的斜率的取值范围，进而求得倾斜角的取值范围.【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率，即，所以.16．【答案】【分析】补充图形为长方体，三棱锥的外接球，与棱长为1，1，的长方体外接球是同一个外接球，用长方体的对角线长求外接球的半径，可得球的体积．【详解】三棱锥中，平面，，，，画出几何图形如图所示；

补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，；∵对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为1，∴该三棱锥外接球的体积为．故答案为：．17．【答案】（1）；（2）.【详解】（1），所以交点坐标为设所求直线方程为：则，所以所求直线方程为（2）由圆心M在直线上，设又，所以所以，半径为所以圆的方程为：18．【答案】(1)；；(2)【详解】（1）由频率分布直方图可知，即，又，所以，．测试成绩的上四分位数即分位数，前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，则分位数，且．测试成绩的平均分为：.（2）成绩在和内的人数之比为，故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，故这2人成绩都在内的概率为．19．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）设，则，则，因为为偶函数，所以，所以，作出的图象如图：

因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；所以实数的取值范围是.（2）令，即，由（1）作出的图象如图：

由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没有零点.20．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为，，，又因为为的中点，所以到平面的距离为，则.（2）解：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成的角为，则，因为，所以，即直线与平面所成的角的大小为

21．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据向量数量积公式及三角恒等变换得到，从而利用整体法求出函数单调递增区间；（2）在（1）基础上，求出，结合三角形面积公式求出，进而由余弦定理求出答案.【详解】（1），，令，，解得，，的单调递增区间是，（2）由（1）知：，，即，，，，，的面积为，，解得，，由余弦定理得，，综上所述，结论是：.22．【答案】(1)，(2)或(3)存在，【分析】（1）将参数代入题干定义式求解；（2）通过点A的直线斜率不存在时，通过有向距离定义式检验题设条件是否符合；斜率存在时，根据有向距离条件求解直线方程即可；（3）对的参数是否等于0进行讨论，分别求解两种情况下