2024艺术生高考数学复习学案(三)

数系的扩张与复数的四则运算⑴

【考点及要求】了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数

表示法及复数相等的充要条件。理解复数代数形式

的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。

【基础学问】

1.数的扩展：数系扩展的脉络是：f

f,用集合符号表示为O

C,事实上前者是后者的真子集.

2.复数的概念及分类：⑴概念：形如a+bi(a,b£/?)的数叫做,

其中心b分别为它的和.

⑵分类：①若4+历R)为实数，则,②若

a+bi(a,beR)为虚数，则,③若a+bi(a,beR)为

纯虚数，则；

⑶复数相等：若复数a+bi=c+di(a,bcdGR)=;

⑷共轲复数：a+bi与c+di(a,b,c,dsR)共软<=>;

3.复数的加、减、乘、除去处法则：设

\\z-z}\-\z-z2l|=2o(a为正常数,2a<|Z]-Z2])则

⑴加法：Z1+z2=(a+bi)+(c+di)—;

(2)减法：Z]-z2=(a+hi)-(c+di)=;

(3)乘法：Z1•z2=(a+bi)・(c+di)=;

⑷乘方：z，”・z”=;(zmy,=

n

亿•z2)=;

(5)除法：二丝”五="以

z2c+diz2c+di

4.复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫

做,叫做实

轴，叫做虚轴；实轴上的点表示,除原点外，

虚轴上的点都表示.

5.复数的模：向量0Z的模叫做复数z=a+bi（a,beR）的

（或）,

记作（或）,即|z|=|a+4]

■________________9•

复数模的性质：⑴IzJ-lz,|<|z,±z21<|z,|+|z2|；⑵

|z|2=|z|2=|Z21=1z2|=z*z;

6.常见的结论：

⑴柏勺运算律：i4n=1,i4w+,=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n+4=l,in+in+1+in+2+in+3=0;

（2）（l±i）2=______;生=_______;==_______;

1-z1+z

2

（3）设6y=土立，，则勿'=;ar=;

22------------------------------

1+69+ar=;

【基本训练】

1.若（a-2>i=b-i,其中a,beR,i是虚数单位,则a2+b2等

于.

2.设复数Z[=1+；2=x+2i（xwR）,若ZjZ2为实数，则工等

于.

3,若z=cos6?+/sin0（i是虚数单位），则使z?=-1的。值可能

是・

5.已知复数z0=3+2i,复数z满意z-2z>z0=5z,则复数z=

6.i是虚数单位，i+25+3『+4厂++8产=.

【典型例题】

例1.已知：复数2=（々2_7々+6）+（〃2一5〃一6»（〃£区），试求实数〃分

别取什么值时，复数Z分别为：

（1）实数；（2）虚数；⑶纯虚数；⑷复数Z在复平面上对应的点在工轴

上方；

3

练习：复数Z的实部和虚部都为整数，且满意z+W是实数，1<Z

Z

--^6,求复数z.

Z

例2.计算下列各题:

(2+21)4A+(正)2007

⑴⑵-2/3+i,

5

(1-V3/)1+2月1-1

(3)(2+3i)(2-3，)⑷(净+*

(1-0(5-120

4

【课堂检测】

1.下列命题中：⑴两个复数肯定不能比较大小；(2)z=m+〃i,当

且仅当"?=0,/2W0时，z为虚数;⑶假如Z；+z?2=0,则Z]=Z2=0；(4)

假如则(Z]-Z2)2+(Z2-Z3)2N0,其中正确的的命题的个数

是.

2.罟=___；(詈产=______；复数(")4=__________；

3+21-ZI

复数z=_L的共轲复数是______；

1-z

3.已知复数2=-工+正L贝h+2+22+23+……+Z2008=.

22-------------

4.若复数(l+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，贝

______________•

5,设/(〃)=(二)〃+(上勺5cZ),则集合中的元素个数

1-1\-i

为・

6.已知复数z=l+i,假如z：+〃z+-=]_j,求实数〃、b的值.

z~-z+1

§84数系的扩张与复数的四则运算⑵

【基础训练】

1.若复数z=m(m+\)+(m2-\)i是纯虚数，则实数用的值

为.

5

2.复数z=±-1在复平面内所对应的点在_____________.

1+i

3.若〃=-1+3J,V=-L-且给出下列命题⑴—=1;⑵〃3+口3=2；

2222

(3)~1+'=1；⑷u=/其中正确的命题是.

UV

4.假如ZI、Z2£C且满意IZ[Z2|—|Z1一二2|=1,贝(]H+Zzl_.

【典型例题】

例3.设Z为虚数，G=Z+，是实数，且-1VG<2,

Z

⑴求|z|的值及Z的实部的取值范围；

(2)设〃==，求证：〃为纯虚数；⑶求0-〃2的最小值.

1+z

练习：设X、y是实数，且上—三=三，求x+y的值.

1-z1-2/1-3/

例4.若关于/的方程/+(产+3/+a》=()有纯虚数根，求实数/的值和

该方程的根.

6

练习：关于R的方程/_（2+i）x+l+加=0,（用ER）有一实根为〃，设复数

z=（2m+i）（l-2ni），求小、九的值及复数z的值.

例5.设关于x的方程x2—（ian0+i）x—（2+i）=0.

（1）若方程有实数根，求锐角。和方程的实根；

（2）证明：对随意。工攵7+乙（左£Z）,方程无纯虚数根.

7

练习：已知关于，的方程产+(2+)+2盯+(..y)i=O,(x,)，£R).

(1)当方程有实根时，求点(x,y)的轨迹方程；

(2)若方程有实根，求此实根的取值范围.

【课堂小结】

【课堂检测】

1.复数虫在复平面上对应的点位于第______象限.

i

2.复数(IT?-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的点在虚轴上,

8

则实数m的值是.

3.若复数z满意|z|-z='，则z=_____________.

l-2z

4.若复数z满意方程Z2+2=0,则Z3=____________;

5.若关于工的一元二次实系数方程/+〃氏+夕=0有一根为1+，(，为虚数

单位)，则4=.

6.设z?=8+6i,求--16z-W^的值.

【课堂作业】

1.已知复数Zi、Z2满意|z1|二|z2|=1,且Zi+Z2=i,求Zi、Z2.

2.已知复数z满意|z-(4-5i)|-1,求|z+i|的最大值与

最小值.

3.已知复数z、w满意w二--,(l+3i)z为纯虚数，Iw|=5V2,

2+i

求w.

9

4.已知/(z)=2z+z-3z,f(z+0=6-3/.求/(-z).

5.已知关于x的方程x?-(6+i)x+9+ai=0(a£R)有实数

根b.

(1)求实数a、b的值；

(2)若复数z满意-bi|-2|z|=0,求z为何值时，|z|

有最小值，并求出|z|的值.

§85复数的几何意义⑴

【考点及要求】了解复数的代数表示法及几何意义；理解复数及复

数加、减运算的几何意义，并能依据几何意义解决

简洁问题。

【基础学问】

1.复平面内两点间的距离公式：

两个复数的就是复平面内与这两个复数对应的两点间的

距离；设两个复数4、Z2在复平面内对应点分别为乙、Z2，d为点4、Z2

间的距离，则1=;

2.常见的复数对应点的轨迹有：已知复平面内定点4、Z2，及动点Z

10

①方程Iz_Z|1=1Z-Z2|表不；

②Iz-Z1|=r（r>0为常数）表不;

③|z-Z||+|z-ZzI=2〃（。为正常数，2a>|zt-z2|）表

示；

④||z-z,|-|z-z2l|=2〃（〃为正常数,2a<|z「Z21）表

示；

【基础训练】

1.满意条件|z-i|=|3+4i|的复数Z在复平面内对应点的轨

迹是.

2.若关于x的方程x2-mx+2=0有一个虚根1+1,则实数m

的值为.

3.已知z=3+oi,且|z-2|<2,则实数〃的取值范围是.

4.已知复数z满意|z+1|+|z-1|=2,则z在复平面内对应

点的轨迹是.

5.“复数。+砥氏北R）为纯虚数“是％=0”的条件.

6.若（―,—）,则复数（cos6+sin6）+（sin6—cos6"在复平面内所

44

对应的点在第象限.

7.AABC三个顶点所对应的复数z、z2、z3,复数z满意

|z-Z]|=|z-z21=|z-z31,则复数Z对应点的是AABC的.

8.非零复数z「z?满意关系Iz+zj=I,则五肯定是

【典型例题】

11

例1.已知复数Z满意Z+2，、日均为实数（，为虚数单位），且复

数（Z+出）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

练习：已知集合"=«4+3)+份-l)i,8},N={3i,(/_l)+S+2)i},同时

满意MGMC)NuM,MnNw中，求整数a、b.

例2,已知四边形Q45C,顶点0、A、C对应的得数为0、3+2i、-2+4,，

试求：

（1）4。表示的复数，3c表示的复数；⑵对角线C4表示的复数；⑶

求B点对应的复数.

12

练习：1.复平面上三点A、B、C分别对应复数1,2i,5+2i,则A、

B、C所构成的三角形是.

2.复平面内有三点A、B、。，点A对应的复数为2+i,向量而对应

的复数为1+2L向量就对应的复数是3-i,求。点对应的复数.

【课堂检测】

1.若|z|=1,则告肯定是__________.

l+z~

2.假如AABC是锐角三角形，则复数z=(cosB-sinA)+z(sinB-cosA)对

应的点位于.

3.已知平行四边形0ABC的三个顶点0、A、C分别对应复数0,1+

i,3-i.试求：

(1)而和直表示的复数；(2)点B对应的复数.

§86复数的概念及几何意义⑵

【典型例题】

例3.设复数z=x+yi(x,)，£R),在下列条件下求动点Z(x,y)的轨迹.

13

(1)|2z+i|=2;(2)|Z4-1+Z|=|2-1-Z|;(3)

|z+5i|—|z—5i|=8;

(4)|z+l|=2|z-l|;(5)\z+i\+\z-i\=272；(6)

I|z+l|-|z-l|=V2;(7)z=-3i;(8)

z=3cos9+4isin。.

例4.已知zee,|z-2|=1,求|z+2+5i|的最大值和最小

值.

练习：1.已知复数Z满意lz+3+4/,区2,则|z|的最大值为.

2.已知复数z=(x-2)+yi(x,)，£&的模为6,则山的最大值和最小

x+l

值分别为.

14

例5.设复数4=x+yi(x,y£R,ywO),z2=cosa+isina(aGR),且

z；+2用ER,4在复平面上所对应的点在直线y=x上，求|4-2|的取

值范围.

例6.已知复数z=x+)，i(x,y£R)满意方程|z+2"|+|z-2"|=6,

(1).求动点P(x,y)的轨迹方程；

(2).试问是否存在直线/,使/与动点P(x,y)的轨迹交于不同的两点

M与N,且线段MN恰被直线工=-工平分？若存在，求出直线/的斜率

2

取值范围；若不存在，请说明理由；

15

【课堂小结】

【课堂检测】

1.已知|z』=1,|z2|=1,IZ1+z2|=V3,求|zi-z2|.

2.复平面内有A、B、C三点，点A对应的复数为2+i,向量BA对应的

复数为l+2i,向量8c对应的复数是3-i,求C点对应的复数.

16

3.复数Z［满意Z］・Z2+2%=3+山（4£R*2为Z］的共辗复数），且其对应的点

在其次象限，求。的取值范围.

§87命题的四种形式及充分条件与必要条件⑴

【考点及要求】了解四种命题的形式及相互之间的关系；理解必要

条件、充分条件与充要

条件的意义，会分析四种命题的相互关系.

【基础学问】

1.原命题：若p则4；逆命题为：;否命题为：;

逆否命题为：；

2.四种命题的真假关系：两个命题互为逆否命题，它们有

的真假性；四种命题中真命题或假命题的个数必为个.

3.充分条件与必要条件：

⑴假如p=>夕,贝IJ〃是g的,q是p;

⑵假如pnq,qnp,则p是q;

⑶假如,贝如是q的充分而不必要条件；

⑷假如,贝如是"的必要而不充分条件；

⑸假如,贝匹是乡的既不充分也不必要条件;

【基础训练】

1.设集合M={x|0<x<3},N={x|0<x<2},那么“QeM”是“〃£N”

的条件.

17

2.设原命题“若a+b22,则a,b中至少有一个不小于1”则原命

题与其逆命题的真假状况是.

3.命题：“若a2+b2=0(a,b£R),则a=b=0”的逆否命题

是.

4.设a£R,则a>l是的条件.

a

5.若Q与B-c都是非零向量，则aa-b=a-cv是“aJL(B-c)”的.

—条件

6.一次函数)的图象同时经过第一、三、四象限的必要但

nn

不充分条件是.

7.已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分

条件，则s是q的条件，r是q的条件，p是

s的条件，

8.用充分、必要条件填空：①xWl且yW2是x+yW3的

②xW］或yW2是x+yW3的.

【典型例题】

例1.填空：

⑴是(/G0o(夕G6)成立的条件.

⑵在空间四点中，无三点共线是四点共面的条件.

⑶“在△力%中，］=60。,且cosB+cosC=lf9是“△/8。是等边

三角形”的条件.

⑷设集合/=｛长方体｝,8=｛正四棱柱｝,则是“xJB”的

18

条件.

⑸一元二次方程〃“2+2犬+1=0,(〃w0)有一个正根和一个负根的充分不

必要条件是—.

⑹命题甲：ad+2奴+1>0的解集是实数集R;命题乙：0<々<1,则命题

甲是命题乙成立的条件.

⑺已知〃>0,设命题甲为：两个实数〃/满意k-命题乙为：

两个实数〃/满意l|v/z且区-那么甲是乙的条

件.

⑻给出下列命题①实数〃=0是直线Q/-2y=1与2ax-2y=3平行的充

要条件；②若尺。〃=0是时+|4=|。+4成立的充要条件；③已知

“若孙=0,则工=0或y=0”的逆否命题是“若xwO或yw0贝！|

孙工0”;④“若。和〃都是偶数，贝卜+〃是偶数”的否命题是假命

题。其中正确命题的序号是.

【课堂检测】

1.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，

那么丁是甲的条件.

2.以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，A为

非零常数，I%I-1&1=3则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C

上肯定点A作圆的动点弦AB,0为坐标原点，若。。='(04+0B),贝！］

2

动点P的轨迹为椭圆；③方程2/—5x+2=0的两根可分别作为椭圆和

222

双曲线的离心率;④双曲线在-5=1与椭圆？+)尸=1有相同的焦点。

25935

其中真命题的序号为(写出全部真命题的序号)

3.设外尸，/为两两不重合的平面，/,/〃,刀为两两不重合的直线，给

19

出下列四个命题：(1)若a-Ly,/?_Ly,贝la〃尸；(2)若

muaguajnllB，nll0,驰all仇(3)若a〃/?，/ua,则〃/〃；(4)

若ac0=l、/3cy=m,yca=〃九则加〃几

其中真命题的个数是.

§88命题的四种形式及充分条件与必要条件⑵

【典型例题】

例2.已知c>0,设P：函数kc'在R上单调递减，Q：不等式x+|x

-2c|>l的解集为R,假如P和Q有且仅有一个正确，求c的取

值范围.

练习：设有两个命题：①关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x£R

恒成立；②函数f(x)=一(5—24厂是减函数.若命题有且只有

一个是真命题，则实数a的取值范围是.

例3.(对随意实数为b,c,给出下列合题：

①“a=b”是"ac=bc”充要条件;②%+5是无理数“是“是无

理数”的充要条件③“办房是“才>'的充分条件；④，，水5”是

“水3”的必要条件.其中真命题的个数是.

练习：有下列四个命题：

①“若x+y=O,则乂y互为相反数”的逆命题;

20

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若”1,则1+2力+4=0有实根”的逆命题;

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的个

数是.

例4.求证：关于x的方程产+26+〃=0有两均小于2的实数根的充

分不必要条件是〃之2且同工4。

证明:

练习：已知4>0/>0,试求对随意x〉l,不等式以+—匚〉。恒成立

X-1

的充要条件

21

【课堂检测】

1.“直线与平面。内多数条直线垂直”是“直线与平面a垂直”的一

__________条件

2.推断命题“若〃>0,则加=0有实数根”的逆否命题的真假;

【课堂作业】

22

1.已知函数/")=4sin?(工+x)-275cos2x-l,条件〃：工条件

442

q:|/(x)-/n|<2,若p是q的充分条件，求实数m的取值范围,

2.设有两个命题：(1)关于x的不等式/+2方+4>0对一切xcR恒

成立；(2)函数/(幻=_(5-・是减函数，若命题有且只有一个是真

命题，求实数〃的取值范围。

§89逻辑连接词及全称、存在量词⑴

【考点及要求】了解逻辑连接词“或”、“且“、“非”的含义，学会

用它们正确表示相关的数学命题；常用的全称、存

在量词及全称、存在性命题的基本形式，对全称、

存在性命题的否定。

【基础学问】

1.常见词语的否定：如：“等于、大于、小于、是、都是、至多一个、

至少一个、随意的、全部的、至多n个、随意两个、或、且“的否

23

定分另I1是：___________________________

2.复合命题形式的真假判别方法；

.

Ur

Ln

pq_-PP或qP且q

真真

真假

假真

假假

3.命题的否定与否命题的区分，全称性命题的否定为存在性命题，

存在性命题的否定为全称性命题.

【基础训练】

1.指出命题"2<3"的形式是,判定它的真假为o

写出该命题的否定为.

2.写出命题“VXER,ax24-4A+1>0"的否定形

式.

3.命题p：存在实数m,使方程x'+mx+l=0有实数根，则“非p"

形式的命题是

4.推断下列命题的真假：

(2)VxeQ，；/

(1)VXG/?,X2+X+1>0;4774

是有理数；

(3)3a,/?G7?,sin(cr+B)=sina+sin0;⑷Vx£Z,3yGQ,3x-2y=10;

⑸R,方程or+/?=0恰有一实数解.

【典型例题】

24

例L在下列结论中，①"八q”为真是“/八夕”为真的充分不必要条件;

②“〃八4“为假是“pv.为真的充分不必要条

件；

③“pvq”为真是Jp”为假的必要不充分条

件；

④Jp”为真是“p/\g”为假的必要不充分条

件；

正确的是.

练习：由下列各组命题构成的“〃或夕”、“〃且非〃”形式的命

题中，“〃或为真，"〃且/'为假，“非〃”为真的是

()

A.P：3是偶数，q：4是奇数；Bp：3+2=6,q：5>3；

C.p：QaR,q：N=Z；Dp：菱形对角线相互平分，q：菱形

对角线相互垂直

例2.写出下列命题的否定并判别真假。

(1)全等的三角形是相像三角形。

(2)若x,y都是奇数，则x+y是偶数0

(3)若xy=O,则x=0或y=0o

(4)至少有一个实数X,使得sinx+cosx=\/^

25

练习：对于下述命题P,写出“非P”形式的命题，并推断“P”

与“非P"的真假：

(Dp：9ieAAB(其中全集U=N*,A=｛质数｝,B=｛正奇数｝).

⑵P：底面是正多边形的棱锥是正棱锥.

⑶P：随意正整数都是质数或合数.

(4)p：三角形有且仅有一个外接圆.

【课堂检测】

26

1.若命题"P且q”为假，且“非P”光假，则.

2•假如看=印，那么力是5的条件.

3.“p或q为真命题”是“P且q为真命题”的条

件.

4.命题“不论m取什么实数，/+]_〃|=0必有实数根”的否定是

，这是一个合题(填“真”或“假”)

5.设命题p：|4x一3|W1；命题：q：x2—(2a+l)x+a(a+1)<0.若

-1P是iq的必要而不充分条件，则实数a的取值范围

是.

§90逻辑连接词及全称、存在量词⑵

【典型例题】

例3.已知两个命题p：3是13的约数；q：3是方程Y一4x+3=()的

解.试写出这组命题构成的“p或q”,"p且q”，“非p”形式的复

合命题，并推断它们的真假.

27

练习：写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式

的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假.

(Dp：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数

的乘积能被3整除.

(2)p：对角线相互垂直的四边形是菱形，q：对角线相互平分

的四边形是菱形.

例4,已知命题P:方程x?+mx+1=0有两个不等的负实根。命题Q:

方程4x?+4(m-2)x+l=0无实根。若"P或Q”为真，“P且Q”为假,

求实数m的取值范围。

28

练习：已知〃:/一8X一20K0,g:—+2x+1-阳2K0(/??>0),且非〃是非的

必要不充分条件，求实数m的取值范围。

例5.设a,b,c,d£R,求证：ac=2(b+d)是方程x2+ax+b=0与

方程x2+cx+d=0中至少有一个有实根的充分但不必要条件.

29

【课堂检测】

1.在下列命题中：

(1)VXG/?,x2>0.(2)*wR,使得%+%+l<0.(3)若tana=tan(3,

则a二下.

⑷若auN则&、鼠c成等比数列；其中真命题的序号

为.

2.已知函数f(x)与g(x)的定义域都是R,则f(x)>g(x)恒成立的充

分不必要条件

是•

A.3xeR,f(x)>g(x)B.存在多数个x£R,使得

f(x)>g(x)

C.VxER,都有f(x)〉g(x)+lD.不存在x£R,使f(x)W

g(x)

【课堂作业】

1.已知p:l-^~-<2,7：X2-2x+l-m2<0(w>0),若—是r的必要不

充分条件，求实数〃2的取值范围.

30

2.设命题P:函数/（x）=IgSx?-九+'a）的定义域为R;命题q：不等式

16

J2x+1<1+ox对一切正实数均成立,假如p或q为真命题，p且q为假命

题，求实数。的取值范围.

§91合情推理和演绎推理⑴

【考点及要求】了解合情推理的含义及其在数学发觉中的作用，能

利用类比和归纳等进行简洁的合情推理；了解演绎

推理的重要性，驾驭演绎推理的基本模式，并能它

们进行一些简洁推理，了解合情推理和演绎推理之

间的联系和差异。

【基础学问】

1.推理一般包括合情推理和演绎推理；

2.合情推理包括和；

归纳推理：从个别事实中推演出,这样的推

理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程

是：、、.

类比推理：依据两个（或两类）对象之间在某些方面的相像或相

同，推演出它们在其它方面也或,这样的推理称

为类比推理，类比推理的思维过程

是：、、.

31

3.演绎推理：演绎推理是,依据严格的逻辑法则得到

的推理过程；三段论常用格式为：①M是P,

②,③S是P；其中①是,它供应了一个个一

般性原理；②是,它指出了一个个特别对象；③

是,它依据一般原理，对特别状况作出的推断.

4•合情推理是依据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定

理等）、试验和实践的结果，以及个人的阅历和直觉等推想某些结果

的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题

的过程中，合情推理具有揣测和发觉结论、探究和供应思路的作用，

有得于创新意识的培育。演绎推理是依据已有的事实和正确的结论，

依据严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.

【基本训练】

1.前提：当n=0时,n2-n+ll=ll；当n=l时,4-n+H=11；当n=2

时，n2-n+ll=13；

当n=3时，存-n+ll=17；归纳推理；当n=4时，存-n+ll=23；

当n=5时，n2-n+ll=31；

11,11,13,17,23,31都是质数.

结论对于全部的自然数的值都是质数.

2.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴

32

是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。

由此猜想：.

3.三角形的内角和是180度，凸四边形的内角和是360度，凸五边

形的内角和是540度，……

由此猜想：凸n边形的内角和是.

4.金受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀，

铁受热后体积膨胀，金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们

受热后分子的凝合力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从

而导致体积膨胀，所以，全部的金属受热后都.

5.归纳推理的一般模式：Si具有P,S2具有P,……,Sn具有P,

（Si，S2,…,Sn是A类事物的对象）所以.

6.已知：矩形的对角线的平方等于长与宽的平方和，

类比推理结论：.

【典型例题】

例1.视察，1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,

1+3+5+7+9—25—5,

结论：____________________________________

练习：1.视察下列等式，并从中归纳出一般的结论：

33

小11小112小1113/人

(1)—=—(2)—+-=—(3)—+—+—=—(4)

2226326124

11114

—H--1---1--=—

2612205

结论：.

2.阅读下列各式：①=2「②,曜=32③,值三=4三

V3V3V8V8V15V15

④KI"后,'；结

-/'UA-•.•

例2.在AABC中，〃、氏c•分别是角A、B、C所对的边，则

片b・cosC+c・cos8,类比到空间图形：在三棱锥P-A3C中，三个侧

面「AB、PBC、尸AC与底面ABC所成的二面角分别为a、1y,相应的

结论是.

练习：若三角形内切圆的半径为“三边长分别为a、氏c,则三角

形的面积S=L-(a+〃+c);依据类比推理的思想，若四面体内切球的

2

半径为R,四个面的面积为外§2、S3、§4,则四面体的体积为V

【课堂检测】

—2<.2.+.1-2<--2-+-2—2<--2-+-3由此猜想:

33+1'33+2'33+3

2.磨擦双手(S1)能产生热(P),敲击石头(S2)能产生热(P),

锤击铁块(S3)能产生热(P),

34

所以，物质运动能产生热.

3.在AAfiC中，ABlACyADA.BC^D^,求证:一U=-U+—,那么

AD2AB2AC2

在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理

由.

§92合情推理和演绎推理⑵

凸四边形有一条对角线，凸五边形有条对角线，凸五边形有

条对角线，

凸六边形有条对角线，比凸五边形多条；……凸n边

形有多少条对角线？

猜想：凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多条对角线。

由此，凸n边形对角线条数为.

练习：在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；

三条直线相交，最多有几个交点？

35

四条直线相交，最多有几个交点？

五条直线相交，最多有几个交点？

n条直线相交，最多有几个交点？

例4.如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金

属片从一根针上全部移到另一根针上.

⑴每次只能移动1个金属片；

⑵较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推想；把n个金属

片从1号针移到3号针，最少须要移动多少次？

36

例6.已知数列｛〃“｝的第1项q=1且4〃+i=〃；](〃=1、2、3)，试归纳出

这个数列的通项公式.

练习：已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S”，且满意q=[a〃+2S〃S“_i=0(〃22)

乙

、

⑴问数列_L是否为等差数列？⑵求〃〃和s.；

£,

222

⑶求证：51+5,+53+..S^<--—

123〃24/?

【课堂作业】

数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法

推理得出它们之间的关系.

多面体面数顶点数棱数

(F)(V)(E)

三棱锥

四棱锥

三棱柱

五棱锥

立方体

正八面体

五棱柱

截角正方

体

尖顶塔

§93干脆证明与间接证明⑴

38

【考点及要求】了解干脆证明的两种基本方法一一分析法和综合法；

了解分析法和综合法的思索过程及特点；了解间接

证明的一种基本方法一一反证法，了解反证法的思

索过程及特点；

【基础学问】

1.干脆证明：干脆从原命题的条件逐步推得结论成立，这种证明方法

叫干脆证明；

干脆证明的两种基本方法一一分析法和综合法

(1)综合法----------------------;⑵分析法一

2.间接证明：间接证明是不同于干脆证明的又一类证明方法，反证

法是一种常用的间接证明方法；反证法即从

起先，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明白

原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).

【基本训练】

1.命题“对于随意角acos4j—sin48=cos2。”的证明：

acos4sin40=(cos20-sin2^)(cos20+sin26)=cos2sin20=cos20”过程

应用了.

2.V2AA8C中，已知cos4cosB>sin4sin8,则AA8C肯定是

39

三角形.

3.用反证法证明"假如a>b,那么五〉蛎”反设的内容

是.

4.q>c或是Q+Z?>c+d的条件.

5.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应当

是.

6.命题"AABC中，若ZA>ZB,则。>人”的结论否定应当

是・

【典型例题】

例1.设久b为互不相等的正数，且a+b=l,分别用分析法、综合

法证明：-+->4

ab

练习：求证：V3-V2>V6-V5

40

例2.设%b是两相异的正数，求证：关于'的一元二次方程

(a2+b2)x2+4"x+2a0=0没有实数根.

练习：设/0)=3。/+2"+。，若〃+/?+c=OJ(O)•/⑴，

⑴求证：方程有/(幻=0实根；⑵-2<2<一1.

41

【课堂检测】

1.在锐角三角形ABC中，求证：sinA+sinB+sinC>cosA4-cosB-FcosC.

2.三角形ABC的三边a、反c的倒数成等差数列，求证：ZB<90°.

42

§94合情推理和演绎推理⑵

【典型例题】

例3.若a、b、c、x、y、z均为实数

a=x2-2y+^-,b=y2-2z+—,c=z2-2x+—,

236

求证：久。、c中至少有一个大于0.

练习：若x>0,y>0,且x+y>2,求证：<2或匕^<2中至少有

yx

一个成立.

43

3v2

例4.若M、N是椭圆C：5+==1(〃>“0)上关于原点对称的两个点,

crb~

点P是椭圆上随意一点，当直线PM、PN的斜率都存在时，记为

kpM、kpN,那么•怎z之积是与点P位置无关的定值；试对双曲线

丫2、,2

1-七=1(〃>0/〉0)写出具有类似特征的性质，并加以证明.

a~h~

44

练习：已知椭圆的两焦点为小飞,。）、6（6,o）,离心率为.

⑴求此椭圆的方程；

（2）设直线/:y=x+m,若/与此椭圆相交于P、Q两点，且PQ等于

椭圆的短轴长，求加的值；

⑶以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角

形ABC,这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个？

若不存在，请说明理由.

【课堂检测】

1.①sin210°+cos240°+sin10°C6?540°=—;②

4

sin260+cos236°+sin60cos360=-,由上面两题的结构规律,你能否提出

4

一个猜想？并证明你的结论.

45

2.列方程：x2+4ax—4a+3=0,x2+(a—1)x+a2=0,x2+2ax

—2a=0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围.

【课堂作业】

1.求证：0是无理数.

32

2.f(x)=ax-2bx+3cx(a>b、CER)的图象关于原点对称，且当x=l时,

/(X)取微小值-2.

⑴求4、枚C的值；

⑵当时，图象上是否存在两点，使得过两点的切线相互垂

直？并证明你的结论.

§95平面的性质与直线的位置关系

【考点及要求】

1.驾驭平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关

系，能够依据图形想象它们的位置关系。

46

2.驾驭两条直线平行和垂直关系的有关概念，并能用上述概念

进任论证和解决有关问题。

【基本训练】

1.下列命题中，正确的是（）

A首尾相接的四条线段在同一平面内B三条相

互平行的线段在同一平面内

C两两相交的三条直线在同一平面内

D若四个点中的三个点在同始终线上，那么这四个点在同一平

面内

2."a,b为异面直线”是指：①aGb=①，但a不平行于b；

②au平面a,bu平面B且aAb二中；③au平面a,bu平面B且

aGB=中；④au平面a,b（z平面a；⑤不存在任何平面a,能使

aua且bua成立.上述结论中，正确的有（）

A①④⑤B①③④C②④D

①⑤

3.正方体的一条对角线与正方体的棱可组成异面直线的有

对.

4.在空间四边形ABCD中，E、H分别为AB、AD的中点，EEBC,

G£CD,且CF：CB=CG：CD=2：3,那么四边形EFGH是；

若BD=6cm,四边形EFGH的面积为28c仇则EH与FG间的距离为

47

5.如图所示的水平放置的平面图形的

直观图，所表示的图形ABCD是(

A.随意梯形B.直角梯形

随意四边形D.平行四边形

【典型例题讲练】

例1.已知：如图，不共面的三条直线a,b,c相交于点P,AWa,

Bea,Ceb,Dec.

求证：与是异面直线.

ADBCza

例2.三个平面Q,B,Y两两相交，a,b,c是三条交线.

(1)若aCb=P,求证：a,b,c三线共点；

48

（2）若@〃，用反证法证明直线a,b,c相互平行.

例3.如图，正方体ABCD-ABCD中,棱长为a.9

（1）求异面直线AB与&C所成角的大小;

（2）若P、Q、R分别是棱CG,A.DHAB的中

求过这三点的截面的周长.

【课堂小结】

【课堂检测】

1.假如a,b是异面直线，P是不在a,b上的随意一点，下列

四个结论：①过P肯定可作直线/与a,b都相交；②过P肯定可作

直线/与a,b都垂直；③过P肯定可作平面。与a,b都平行；④过

P肯定可作直线/与a,b都平行.其中正确的结论有个.

49

2.①相互垂直的两条直线，有且只有一个公共点；②经过一点

有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同始终线的两条直线

相互平行；④两条平行线之一垂直始终线，则另一条也垂直此直线.

上述命题中，正确命题有个.

3.设a,b,c是空间三条直线，a//b,a与c相交，则b与c

必（）A相交B异面C

平行D不平行

4.A,B,C为空间三点，经过这三点（）

A能确定一个平面B能

确定多数个平面